- •Понятие о моделировании.
- •2.1. Виды моделирования.
- •3.1. Математическое моделирование. Источники ошибок. Необходимость тестирования.
- •4.1. Сравнительные характеристики пакетов mathcad, matlab, maple, mathematica. Основные приемы работы в mathcad.
- •5.1. Понятие о системах с сосредоточенными и распределенными параметрами.
- •6.1. Сведение системы оду произвольного порядка к системе оду первого порядка в нормализованной форме Коши.
- •7.1. Процедуры решения ду в среде mathcad. Примеры соответствующих документов mathcad.
- •8.1. Последовательность получения математической модели колебательной механической системы с сосредоточенными параметрами.
- •9.1. Численные методы решения оду.
- •10.1. Метод Эйлера и его модификации для решения оду
- •11.1.Методы типа Рунге-Кутта для решения оду
- •13.1. Понятие о граничных задачах для оду. Метод стрельбы для решения граничной задачи.
- •14.1. Построение уравнения изогнутой оси балки при различных условиях на ее концах на основе метода стрельб.
- •15.1.Оценка погрешности решения оду. Способ Рунге для оценки такой погрешности.
- •16.1.Понятие о жестких дифференциальных уравнениях. Процедуры для решения таких уравнений в среде mathcad.
- •17.1. Классификация методов решения оду.
- •19.1. Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.
- •20.1.Вычисление площадей и объемов с использованием случайных величин.
- •21.1.О выборе количества экспериментов для получения заданной степени точности при использовании случайных величин.
- •22.1Метод Судзуо-Какутани для решения граничных задач теории потенциалов
- •23.1. Понятие о конкурирующих стратегиях
- •24.1. Моделирование смо.
- •25.1. Приближение инженерных данных.Виды приближения.
- •Поточечное среднеквадратическое приближение.
- •Непрерывное приближение в среднеквадратичном смысле.
- •Равномерное приближение.
- •1.2.Узловой метод получения математической модели системы.
- •2.2. Метод получения топологических уравнений с использованием м-матрицы.
- •3.2. Получение эквивалентной системы технических объектов.
- •4.2. Компонентные уравнения для различного типа подсистем.
- •Механическая поступательная система.
- •Механическая вращательная подсистема
- •5.2. Основные положения получения математической модели технического объекта на макроуровне.
- •6.2. Особенности выбора узлов сетки при интерполяции различными сплайнами.
- •7.2. Параметрический рациональный сплайн.
- •8.2. Обобщенные кубические сплайны.
- •9.2. Параметрический Эрмитов кубический сплайн.
- •10.2. Интерполяция кривых локальными сплайнами.
- •11.2. Вычисление интеграла по таблице значений функции с использованием интерполирующего полинома Эрмита.
- •12.2. Кубический сплайн дефекта 2 (s3,2(X)).
- •13.2. Определение сплайна. Сплайн первой степени.
- •14.2. Алгоритм «прогонка» для решения системы линейных уравнений с диагональным преобладанием.
- •15. 2. Сплайны. История возникновения. Понятие о звене сплайна.
- •16.2. Использование обратного интерполирования для решения уравнений.
- •17.2. Метод Мюллера для решения трансцендентных уравнений.
- •18.2 Области использования интерполирования.
- •19.2. Тригонометрическая интерполяция.
- •20.2. О наилучшем выборе узлов интерполирования.
- •21.2. Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.
- •24.2. Разложение аппроксиматора по системе базисных функций.
4.2. Компонентные уравнения для различного типа подсистем.
Часто объекты состоят из элементов, которые можно сгруппировать по определенному признаку в описывающие их уравнения. Эти элементы имеют одинаковую природу и отличаются только параметрами. Например, для рассмотренных систем группами таких элементов могли быть упругие элементы (пружины), демпфирующие элементы и массивные элементы. Такое же выделение различных групп можно выполнить и для других типов систем – электрических, гидравлических, тепловых и т.п. Каждая группа элементов в математическом плане описывается одинаковыми по структуре уравнениями. Элементы же называются компонентами, а описывающие их поведение, уравнения – компонентными. Из таких элементов различной природы, как из кубиков, можно собрать систему. Таким образом, если несколько систем состоят из одинаковых типов элементов, то они отличаются друг от друга только способом соединения этих элементов между собой, т.е. структурой. Иногда говорят о топологии системы, понимая под этим структуру. Оказывается, что в математическом плане эту структуру можно описать соответствующими уравнениями, основанными на законах сохранения, в разных типах систем эти законы имеют разную физическую природу, а уравнения, реализующие эти законы, называются топологическими.
Рассмотрим примеры элементов и, описывающие эти элементы, уравнения на примере электрической подсистемы, описывающей поступательное движение.
Электрическая подсистема:
Элемент типа R (сопротивление). Его компонентное уравнение:
Элемент типа С (электрическая емкость). Его компонентное уравнение:
Элемент типа L (электрическая индуктивность). Его компонентное уравнение:
Механическая поступательная система.
Элемент типа R – это элемент вязкого трения.
Уравнение массы:
Уравнение упругого элемента (пружины):
Механическая вращательная подсистема
- уравнение вязкого трения
– момент инерции
- уравнение крутильной пружины
Как видно, если ввести соответствия , то уравнение вязкого затухания в механической системе окажется по форме совпадающим с элементом R в электрической подсистеме. Уравнение массы эквивалентно уравнению электрической индуктивности. Уравнение упругого элемента оказывается таким же как уравнение конденсатора.Приведем таблицу соответствия различных типов элементов для подсистем различной природы.
Тип подсистемы |
Фазовые переменные |
Компоненты |
||||
Типа I |
Типа U |
Типа R |
Типа С |
Типа L |
||
Электрическая |
Ток |
Падение напряжения |
Сопротивление |
Емкость |
Индуктивность |
|
Механическая поступательная |
Скорость |
Сила |
Трение (демпфер) |
Упругий элемент (пружина) |
Масса |
|
Механическая вращательная |
Угловая скорость |
Момент |
Трение |
Крутильная пружина |
Момент инерции |
|
Гидравлическая |
Давление |
Расход |
Гидравлическое трение |
Гидравлическая емкость |
Гидравлическая индуктивность |
|
Тепловая |
Tемпература |
Тепловой поток |
Тепловое сопротивление |
Теплоемкость |
----------- |