- •Понятие о моделировании.
- •2.1. Виды моделирования.
- •3.1. Математическое моделирование. Источники ошибок. Необходимость тестирования.
- •4.1. Сравнительные характеристики пакетов mathcad, matlab, maple, mathematica. Основные приемы работы в mathcad.
- •5.1. Понятие о системах с сосредоточенными и распределенными параметрами.
- •6.1. Сведение системы оду произвольного порядка к системе оду первого порядка в нормализованной форме Коши.
- •7.1. Процедуры решения ду в среде mathcad. Примеры соответствующих документов mathcad.
- •8.1. Последовательность получения математической модели колебательной механической системы с сосредоточенными параметрами.
- •9.1. Численные методы решения оду.
- •10.1. Метод Эйлера и его модификации для решения оду
- •11.1.Методы типа Рунге-Кутта для решения оду
- •13.1. Понятие о граничных задачах для оду. Метод стрельбы для решения граничной задачи.
- •14.1. Построение уравнения изогнутой оси балки при различных условиях на ее концах на основе метода стрельб.
- •15.1.Оценка погрешности решения оду. Способ Рунге для оценки такой погрешности.
- •16.1.Понятие о жестких дифференциальных уравнениях. Процедуры для решения таких уравнений в среде mathcad.
- •17.1. Классификация методов решения оду.
- •19.1. Задача Бюффона как пример использования случайных величин при решении детерминированной задачи.
- •20.1.Вычисление площадей и объемов с использованием случайных величин.
- •21.1.О выборе количества экспериментов для получения заданной степени точности при использовании случайных величин.
- •22.1Метод Судзуо-Какутани для решения граничных задач теории потенциалов
- •23.1. Понятие о конкурирующих стратегиях
- •24.1. Моделирование смо.
- •25.1. Приближение инженерных данных.Виды приближения.
- •Поточечное среднеквадратическое приближение.
- •Непрерывное приближение в среднеквадратичном смысле.
- •Равномерное приближение.
- •1.2.Узловой метод получения математической модели системы.
- •2.2. Метод получения топологических уравнений с использованием м-матрицы.
- •3.2. Получение эквивалентной системы технических объектов.
- •4.2. Компонентные уравнения для различного типа подсистем.
- •Механическая поступательная система.
- •Механическая вращательная подсистема
- •5.2. Основные положения получения математической модели технического объекта на макроуровне.
- •6.2. Особенности выбора узлов сетки при интерполяции различными сплайнами.
- •7.2. Параметрический рациональный сплайн.
- •8.2. Обобщенные кубические сплайны.
- •9.2. Параметрический Эрмитов кубический сплайн.
- •10.2. Интерполяция кривых локальными сплайнами.
- •11.2. Вычисление интеграла по таблице значений функции с использованием интерполирующего полинома Эрмита.
- •12.2. Кубический сплайн дефекта 2 (s3,2(X)).
- •13.2. Определение сплайна. Сплайн первой степени.
- •14.2. Алгоритм «прогонка» для решения системы линейных уравнений с диагональным преобладанием.
- •15. 2. Сплайны. История возникновения. Понятие о звене сплайна.
- •16.2. Использование обратного интерполирования для решения уравнений.
- •17.2. Метод Мюллера для решения трансцендентных уравнений.
- •18.2 Области использования интерполирования.
- •19.2. Тригонометрическая интерполяция.
- •20.2. О наилучшем выборе узлов интерполирования.
- •21.2. Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа.
- •24.2. Разложение аппроксиматора по системе базисных функций.
15. 2. Сплайны. История возникновения. Понятие о звене сплайна.
При создании чертежей кораблей чертежники для того, чтобы провести плавную линию через заданные точки использовали тонкие гибкие рейки подвешивая к ним грузы, так чтобы рейки прошли через эту систему точек. Рейки назывались сплайнами. Сама идея переложения на математический язык называется теорией сплайнов.
Недостаток алгебраического интерполирования заключается в том, что при увеличении количества узлов – увеличивается степень интерполирования полинома, соответственно увеличивается время затрачиваемое на вычисление. Кроме того за счет большого количества операций умножения и сложения может накапливаться вычислительная погрешность. От этих недостатков свободно интерполирование с помощью сплайн. При этом на каждом подинтервале приближение проводится с помощью полинома фиксированной степени.
Вид каждого из таких полиномов отличается друг от друга (у низ разные коэффициенты), но эти полиномы должны стыковаться в одних точках подинтервалов имея одинаковые значения и может быть одинаковые производные до некоторого порядка включительно.
Т.о. при ьтаком подходе возникают следующие преимущества: 1) степень полинома не зависит от числа узлов 2) можно показать, что увеличения числа узлов приводит к стремлению погрешности к нулю.3) при низкой степени полинома время интерполирования уменьшается. Такой способ интерполяции называется кусочно-пономиальным.
Касочные полиномы образующие сплайн называются звеньями. Условие непрерывности в произвольных узлах – условие нестыковки звеньев.
16.2. Использование обратного интерполирования для решения уравнений.
Пусть корень f(x)=0 уединен на [a, b]. Предположим f(x)=0 – монотонная на [a, b]. Ну если это так , то к ней существует обратная x=F(y).
Если на [a, b] задана таблица для y=f(x),
x1 |
x2 |
… |
xn |
y1 |
y2 |
… |
yn |
то таблица
y1 |
y2 |
… |
yn |
x1 |
x2 |
… |
xn |
будет соответственно таблицей для x=F(y), тогда по второй таблице можно построить интерполируемый полином x=Ln-1(y). Тогда подставим и получим приближенное значения искомого корня x=Ln-1(0).
17.2. Метод Мюллера для решения трансцендентных уравнений.
П усть исходная функция f(x) задана аналитически на интервале [a,b] и её значения могут быть вычислены в нужных точках. Пусть f(x)=0 – корень этого уравнения уединен на интервале [a,b], тогда по значениям этой функции в узлах строят интерполяционный полином, находят его корень на этом интервале и считают, что он приблизительно равен корню уравнения на этом интервале.
Обобщением этого метода является метод Мюллера, где на [a,b] берутся три узла и по ним строится полином второй степени:
Если корней 2, то в качестве х4 выберем тот, который ближе к х2. Через точки х2, х4, х1, как через узлы проводим другую параболу. х5 – очередное приближение формул. Продолжаем операцию до тех пор, пока