- •5.4. Контур с током в магнитном поле
- •5.5. Исследование практических задач. Определение отношения заряда электрона к его массе
- •5.6. Эффект Холла
- •1.1 Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока
- •1.2 Индукция магнитного поля в центре кругового тока
- •1.3 Индукция магнитного поля на оси кругового тока
- •1.4 Индукция магнитного поля прямолинейного тока
- •1.5 Циркуляция вектора в по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля
- •1.6 Магнитное поле соленоида
- •6.1. Закон Био - Савара - Лапласа
- •6.2. Магнитное поле кругового тока
- •6.3. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля
- •6.4. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида
- •6.5. Магнитное поле прямого тока
- •6.6. Взаимодействие токов
- •6.7. Pасчет индукции магнитного поля кругового тока
- •6.8. Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида
- •6.9. Магнитное поле прямого отрезка с током
- •Ротор. Теорема Стокса.
- •6.10. Теорема Стокса
- •6.11. Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля
- •7.1. Электрические токи в атомах и молекулах
- •7.2. Намагниченность вещества. Напряженность магнитного поля
- •7.3. Циркуляция вектора намагниченности *
- •7.4. Напряженность магнитного поля
- •7.5. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость
- •7.6. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля в веществе
- •7.7. Магнитное поле заполненного веществом соленоида
- •7.8. Условия на границе раздела двух магнетиков
- •8. Электромагнитная индукция
- •8.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- •8.4. Индуктивность соленоида
- •8.5. Энергия магнитного поля
- •8.6. Вихревое электрическое поле в соленоиде
- •8.7. Токи Фуко
- •8.8. Индуктивность коаксиального кабеля
- •8.9. Взаимная индукция
- •8.10. Один из способов измерения магнитной индукции
- •9.1. Колебательный контур. Гармонические колебания
- •9.2. Затухающие электромагнитные колебания
- •9.3. Вынужденные электромагнитные колебания
- •9. Электромагнитные колебания
- •9.4. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
- •9.5. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс напряжения и резонанс тока
- •9.6. Переменный ток. Метод комплексных амплитуд
- •9.7. Мощность переменного тока
- •10. Электромагнитное поле
- •10.1. Уравнения Максвелла
- •10.2. Плотность и поток энергии электромагнитного поля
- •10.3. Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла
- •10.4. Вывод соотношения, связывающего плотность энергии электромагнитного поля и вектор Умова — Пойнтинга
- •10.5. Ковариантность уравнений Максвелла
- •1.22. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
- •1.22.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах
- •1.22.2. Граничные условия
- •1.22.3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
- •1.22.4. Пример
- •1.22.5. Приложение.
- •1.22.5.1. Формула Остроградского – Гаусса.
- •1.22.5.2. Формула Стокса.
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •Заключение.
- •Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях
- •Электрический ток в газах
- •Сверхпроводимость.
- •Контур с током в магнитном поле.
9.2. Затухающие электромагнитные колебания
Соединительные провода и проволока, из которой изготовлена катушка индуктивности, обладают некоторым сопротивлением R. Схема реального колебательного контура, учитывающая это сопротивление, показана на рис. 9.2. Правило Кирхгофа в этом случае Приводит к равенству
U + UR = L, (9.20)
где по закону Ома падение напряжения на сопротивлении
Ur = RI.
При помощи формул (9.3), (9.4) и (9.21) преобразуем равенство (9.20) к виду
Q/C + RI = -LdI/dt (9 22)
Рис. 9.2.Колебательный контур
Подстановка в это равенство выражений (9.7) и (9.8) приводит к дифференциальному уравнению
(9.23)
, . (9.24)
Нетрудно доказать, что функция
U(t) = Uое-βtcos(ωt+a) (9.25)
при произвольных значениях Uo и а является решением уравнения (9.23), если частота
ω = √ω02 – β2
где ω0 > β. Эта функция описывает так называемые затухающие колебания напряжения на конденсаторе. Ее график изображен на рис. 9.3.
(9.21)
Рис. 9.3. Затухающие колебания напряжения на конденсаторе
Um(t) = Uое-βt (9.27)
называется амплитудой затухающих колебаний. При Uo > 0 это есть монотонно убывающая функция, которая при t →∞ обращается в ноль. Поэтому величину β называют коэффициентом затухания. Уменьшение амплитуды Um(t) с течением времени принято характеризовать еще одной величиной
λ = ln Um(t)/Um(t+T) (9.28)
которую называют логарифмическим декрементом затухания. В этой формуле под знаком логарифма стоит отношение амплитуды колебаний в момент времени t к амплитуде колебаний в момент времени t + T, где
T =2/ω
- период колебаний. Подставив функцию (9.27) в формулу (9.28), получим
λ = βT
Величина
τ =1/β
имеет размерность времени. Найдем отношение двух значений функции (9.27), одно из которых соответствует произвольному моменту времени t, а другое - моменту времени t + τ:
Um(t)/Um(t+T) =1/e
Таким образом, за время τ амплитуда напряжения на конденсаторе уменьшается в е раз. Величина
τ/T =1/ λ
- число колебаний, совершаемых за время τ. Это соотношение раскрывает физический смысл логарифмического декремента
В качестве характеристики колебательного контура используют также величину
Q=/λ
которую называют добротностью контура. Используя полученные ранее формулы, можно записать следующие выражения для добротности:
Q= τ/T = /βT =ω/2β = √ω02 – β2/2β (9.30)
Если коэффициент затухания мал (β<<ω0), то
Q = ω0/2β =(1/R)√L/C (9.31)
Формула (9.26) имеет смысл только в том случае, когда коэффициент затухания β меньше собственной частоты ω0 колебаний:
β < ω0. (9.32)
Только при этом условии в контуре возможны колебания. Преобразуем неравенство (9.32) при помощи формул (9.24). После элементарных операций придем к неравенству
R<Rcr
Rcr = 2√L/C
называется критическим сопротивлением. Таким образом, приходим к заключению, что колебания в контуре возможны, когда его сопротивление R меньше критического.
Умножим уравнение (9.22) на I и преобразуем полученное равенство
так:
Это уравнение можно записать следующим образом:
dW = -Pdt,
W = (9.36)
- полная энергия контура,
P = RI2
- мощность джоулева энерговыделения, т.е. количество тепла, которое выделяется в проводнике при прохождении
по ним электрического тока. Таким образом, приходим к заключению, что энергия контура уменьшается со временем (dW < 0). За время dt энергия W электрического и магнитного полей уменьшается на величину |dW|, которая равна теплу Рdt, выделяющемуся за это время в сопротивлении.
Задача 1. Найти зависимость силы тока I в контуре от времени.
Задача 2. Установить, как изменяется с течением времени полная энергия W, запасенная в контуре.