- •5.4. Контур с током в магнитном поле
- •5.5. Исследование практических задач. Определение отношения заряда электрона к его массе
- •5.6. Эффект Холла
- •1.1 Закон Био-Савара-Лапласа для элемента тока
- •1.2 Индукция магнитного поля в центре кругового тока
- •1.3 Индукция магнитного поля на оси кругового тока
- •1.4 Индукция магнитного поля прямолинейного тока
- •1.5 Циркуляция вектора в по замкнутому контуру. Вихревой характер магнитного поля
- •1.6 Магнитное поле соленоида
- •6.1. Закон Био - Савара - Лапласа
- •6.2. Магнитное поле кругового тока
- •6.3. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля
- •6.4. Магнитное поле бесконечно длинного соленоида
- •6.5. Магнитное поле прямого тока
- •6.6. Взаимодействие токов
- •6.7. Pасчет индукции магнитного поля кругового тока
- •6.8. Расчет индукции магнитного поля на оси соленоида
- •6.9. Магнитное поле прямого отрезка с током
- •Ротор. Теорема Стокса.
- •6.10. Теорема Стокса
- •6.11. Вывод дифференциальных уравнений теории постоянного магнитного поля
- •7.1. Электрические токи в атомах и молекулах
- •7.2. Намагниченность вещества. Напряженность магнитного поля
- •7.3. Циркуляция вектора намагниченности *
- •7.4. Напряженность магнитного поля
- •7.5. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость
- •7.6. Основные уравнения теории постоянного магнитного поля в веществе
- •7.7. Магнитное поле заполненного веществом соленоида
- •7.8. Условия на границе раздела двух магнетиков
- •8. Электромагнитная индукция
- •8.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- •8.4. Индуктивность соленоида
- •8.5. Энергия магнитного поля
- •8.6. Вихревое электрическое поле в соленоиде
- •8.7. Токи Фуко
- •8.8. Индуктивность коаксиального кабеля
- •8.9. Взаимная индукция
- •8.10. Один из способов измерения магнитной индукции
- •9.1. Колебательный контур. Гармонические колебания
- •9.2. Затухающие электромагнитные колебания
- •9.3. Вынужденные электромагнитные колебания
- •9. Электромагнитные колебания
- •9.4. Дифференциальное уравнение затухающих электромагнитных колебаний
- •9.5. Дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний. Резонанс напряжения и резонанс тока
- •9.6. Переменный ток. Метод комплексных амплитуд
- •9.7. Мощность переменного тока
- •10. Электромагнитное поле
- •10.1. Уравнения Максвелла
- •10.2. Плотность и поток энергии электромагнитного поля
- •10.3. Вывод уравнения непрерывности из уравнений Максвелла
- •10.4. Вывод соотношения, связывающего плотность энергии электромагнитного поля и вектор Умова — Пойнтинга
- •10.5. Ковариантность уравнений Максвелла
- •1.22. Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
- •1.22.1. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах
- •1.22.2. Граничные условия
- •1.22.3. Уравнения Максвелла в системе уравнений магнитостатики и электростатики
- •1.22.4. Пример
- •1.22.5. Приложение.
- •1.22.5.1. Формула Остроградского – Гаусса.
- •1.22.5.2. Формула Стокса.
- •Плоские электромагнитные волны Понятие электромагнитной волны.
- •Поперечный характер электромагнитных волн.
- •Фазовая и групповая скорости электромагнитной волны.
- •Заключение.
- •Движение заряженных частиц в магнитном и электрическом полях
- •Электрический ток в газах
- •Сверхпроводимость.
- •Контур с током в магнитном поле.
5.5. Исследование практических задач. Определение отношения заряда электрона к его массе
Существуют различные методы определения отношения е/т заряда электрона к его массе, в основе которых лежат результаты исследования движения электрона в электрическом и магнитном полях. Один из них - метод магнетрона. Основным элементом экспериментальной установки, которая используется в этом методе, является специальная двух-электродная электронная лампа, электроды которой представляют собой коаксиальные (соосные) проводящие цилиндры. Воздух из лампы откачивают. Таким образом в ней создается достаточно глубокий вакуум, т.е. безвоздушное пространство. Лампу помещают внутри соленоида, который представляет собой цилиндрическую проволочную катушку. Когда по проволоке идет электрический ток, он создает внутри соленоида однородное магнитное поле, силовые линии которого направлены вдоль оси соленоида. Лампа располагается внутри соленоида так, что ее ось совпадает с осью соленоида. Внутренний цилиндр служит катодом, с поверхности которого в результате термоэлектронной эмиссии вылетают электроны, а внешний - анодом.
Когда между катодом и анодом приложено напряжение, в пространстве между ними создается электрическое поле, силовые линии которого суть радиальные прямые, перпендикулярные поверхности электродов. Электрон имеет электрический заряд - е. Поэтому на каждый электрон, вылетающий из катода лампы, действует со стороны электрического поля сила
Fэ=-е Е (5.20)
где Е - напряженность электрического поля. Так как воздух из лампы откачан и электроны беспрепятственно движутся под действием электрического поля вдоль его силовых линий от катода к аноду.
Когда в соленоиде идет ток, создающий внутри него магнитное поле, на электрон действует сила Лоренца
Fм = -е[vB], . (5.21)
которая называется магнитной в отличие от силы (5.20), называемой электрической. Индукция В магнитного поля направлена вдоль оси соленоида. Магнитная сила перпендикулярна и вектору индукции В , и вектору скорости электрона v. Поэтому в магнитном поле траектория электрона искривляется. Чем сильнее магнитное поле, тем больше кривизна траектории электрона. При значениях магнитной индукции больших некоторого значения Вкр, которое называют критическим, траектории электронов искривляются так сильно, что электроны не достигают анода и ток в лампе прекращается. Измерив критическое значение Вкр магнитной индукции, можно по нему определить отношение е/т. Теперь выведем формулу, связывающую эти величины.
Исследуем движение одного электрона в пространстве между электродами под действием электрического и магнитого полей. Для этого запишем второй закон Ньютона
mv=-e(Е +[vB]) (5.22)
где v = v(t) - скорость электрона в момент времени t, m - его масса. Построим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось z совпала с осью цилиндрических электродов. При этом вектор Е напряженности электрического поля будет перпендикулярен к оси z:
Ez = 0.
Так как вектор В магнитной индукции направлен вдоль оси z, его координаты
Вх=Ву=0, BZ=B. (5.24)
Согласно определению векторного произведения, магнитная сила (5.21)
перпендикулярна вектору В и, следовательно, она также перпендикулярна к оси z. Таким образом, приходим к выводу, что проекция на ось z приложенной к электрону силы равна нулю. Поэтому по закону Ньютона равно нулю ускорение электрона вдоль оси z:
vz' =0.
Отсюда следует, что
vz = const .
Начальная скорость электрона, вылетающего с поверхности катода, определяется температурой катода и существенно меньше значений скорости, которую он приобретает при ускорении в электрическом поле. Поэтому можно положить
vz = 0 . (5.25)
Это означает, что каждый электрон движется в пространстве между электродами так, что его скорость всегда перпендикулярна к оси z, т.е. его траектория лежит в плоскости z = const. Без ограничения общности можно считать, что электрон, движение которого будем исследовать, перемещается в плоскости
z = 0. (5.26)
Для исследования движения электрона применим следующие два закона динамики материальной точки.
1. Производная по времени t от момента импульса
L = m [rv]
частицы равна сумме моментов действующих на нее сил:
dL/ dt=Mi
Mi = [rFi]
- момент силы Fi.
2. Приращение полной энергии частицы в течение некоторого времени равно работе А нкс, произведенной за это время неконсервативными силами:
= Анкс. (5.30)
Наиболее просто движение электрона в рассматриваемом случае описывается при помощи полярных координат r и а (рис. 5.10), которые связаны с декартовыми координатами х и у соотношениями
х = r cos a , y= r sin a
Рис. 5.10. Полярные координаты
Продифференцировав по времени эти соотношения, получим следующие выражения для декартовых координат вектора скорости:
vx = x' = r' cos a - r a' sin a , vy = у' = r' sin a + ra' cos a. (5.32)
При этом модуль скорости будет,
v = r'2 + r2 а'2. (5.33)
Найдем декартовы координаты вектора L момента импульса электрона. По определению
L =m = =Lzk
Lz = m(x vy - yvx)
- проекция вектора L на ось z. Подстановка выражений (5.31) и (5.32) дает
Lz = mr2a'. (5.34)
Найдем теперь проекции на ось z моментов электрической и магнитной сил. Момент электрической силы
Me =[rFe] =-e[rE]
равен нулю, так как вектор Е коллинеарен радиус-вектору r{х, у, 0} электрона. Проекции вектора магнитной силы найдем по формуле
Fм = -е[vB]= -e = - e(vyi - vxj)B
Теперь найдем проекции момента этой силы:
L = = =Mzk
Mz = e В (xvx + yvy)
- проекция на ось z вектора момента магнитной силы. Подстановка сюда выражений (5.31) и (5.32) приводит к формуле
Mz = еВ r r' . (5.35)
Из уравнения (5.28) вытекает уравнение для проекции Lz вектора L на ось z:
Lz' = Mz . (5.36)
Подстановка в это уравнение выражений (5.34) и (5.35) дает
d/dt( mr2a')= еВ r r' .
Этo уpaвнение можно записать так:
d/dt( mr2a') = (1/2) еВd/dt( r2) .
Производные двух функций тождественно равны только тогда, когда сами функции отличаются друг от друга на постоянную величину С:
mr2a' = (1/2) еВ r2 + C .
Постоянную С найдем из начальных условий. При вылете электрона с поверхности катода в момент времени t = 0 его скорость можно считать равной нулю. Как следует из формулы (5.33), при этом
r' (0) = 0, а' (0) = 0. (5.38)
Так как в момент времени t = 0 электрон только вылетел с поверхности катода,
r(0) = rК , (5.39)
где rк - радиус катода. При помощи этих условий из равенства (5.37) найдем, что
C = -(1/2) еВ rk 2
А само это равенство принимает вид
тr2 а' = (1/2) еВ( r 2- rk 2) (5.40)
На электрон действуют две силы. Электрическая сила является консервативной, т.е. может быть представлена в виде
Fe = - grad U, (5.41)
Где
U = - e(r) (5.42)
- потенциальная энергия электрона, a (r) - потенциал электрического поля на расстоянии r от оси симметрии рассматриваемого устройства. Так как магнитная сила перпендикулярна вектору скорости, ее работа равна нулю: Анкс = 0. Таким образом, на основании равенства (5.30) приходим к выводу, что полная энергия электрона
=mv2/2 +U (5.43)
при его движении не изменяется:
= const .
Используя формулы (5.33) и (5.42), это равенство можно записать так:
(1/2)m (r'2 + r2а'2) - e(r) = const .
=
При t = 0, когда электрон только оторвался от поверхности катода, равенство (5.44) имеет вид
- e(rK) = const .
Теперь равенство (5.44) можно записать так:
(1/2)m (r'2 + r2а'2) = e(r) .
(r) = e((r) - ( rK))
Исключив производную а' из системы уравнений (5.40) и (5.45), придем к уравнению
(1/2)m (r'2 + (еВ/ (2mr))2 ( r 2- rk 2)) = e . (5.46)
которое содержит в себе две переменные величины rиr', характеризующие движение электрона.
Рис. 5.11. Траектории движения электрона в магнетроне
Когда магнитная индукция В < Вкр, кривизна траектории электрона не велика. При этом все электроны достигают анода (кривая 1 на рис. 5.11) и амперметр регистрирует ток в цепи. В сильных магнитных полях при В > Вкр траектория электрона искривлена так, что он, не достигнув анода, возвращается на катод (кривая 2 на рис. 5.11 ). В этом случае сила анодного тока будет равна нулю. В точке D наибольшего удаления электрона от катода производная г равна нулю. Кривизна траектории и расположение точки D определяется значением магнитной индукции. Когда В = Вкр, траектория электрона касается поверхности анода, т.е. точка D находится от оси на расстоянии, равном радиусу анода: r = rа. В этом случае уравнение (5.46) принимает вид
((е Вкр2) / (8mra2)) ( ra 2- rk 2)) =Ua .
Где
Ua = ((ra) - ( rK))
- анодное напряжение, т.е. разность потенциалов между анодом и катодом. Из этого равенства найдем выражение для удельного заряда электрона:
e/m = 8Ua ra2 /( Вкр2 ( ra 2- rk 2)2) (5.47)
Для определения по этой формуле отношения заряда электрона к его массе необходимо знать радиусы rк и rа катода и анода, и измерить напряжение Ua и критическое значение Вкр магнитной индукции.
Рассмотрим способ измерения значения Вкр. Измерив силу тока гс в соленоиде, индукцию магнитного поля внутри соленоида можно вычислить по формуле
В =μ0Nic/l2 +d2 (5.48)
где N - число витков в соленоиде, l u d - его длина и диаметр. Для нахождения значения Вкр в лампе устанавливают некоторую разность потенциалов Ua между анодом и катодом. Включают ток в соленоиде и постепенно увеличивают его силу ic. При этом увеличивается индукция В магнитного поле в лампе. Если бы все электроны покидали катод со скоростью равной нулю, то зависимость величины анодного тока rа от величины В индукции магнитного поля имела бы вид, показанный на рис. 5.12 (пунктирная линия). В таком случае при В < Вкр все электроны, испускаемые катодом, достигали бы анода (ia 0), а при В > Вкр ни один электрон не попадал бы на анод (ia = 0).
Однако некоторая некоаксиальность катода и анода, наличие остаточного газа в лампе, падение напряжения вдоль катода, неоднородность поля соленоида по высоте анода и т.д. приводят к тому, что критические условия достигаются для разных электронов при разных значениях В. Все же перелом кривой останется достаточно резким и может быть использован для определения Вкр. Измеряют значение тока iс в соленоиде, при котором исчезает анодный ток. По формуле (5.48) вычисляют критическое значение Вкр магнитной индукции.
Рис. 5.12. Зависимость силы тока iа между катодом и анодом от магнитной индукции В поля в соленоиде