7.4. Амплитудно-фазовый критерий устойчивости ( критерий Найквиста–Михайлова)
Критерий получил наибольшее распространение в инженерной практике так как позволяет определить устойчивость замкнутой системы по её поведению в разомкнутом состоянии.
Характеристическое уравнение замкнутой системы может быть представлено в следующем виде:
W(s)+1=
.
(84)
После замены s на j получим
W(j)+1=
.
(85)
Результирующий вектор
При возрастании от 0 до
Рис. 67. АФХ разомкнутой систкмы
Если разомкнутая система устойчива, а замкнутая система имеет m корней с положительной вещественной частью, то
.
Система будет
устойчива, если m=0 , то
,
то есть АФЧХ W(j)
не охватывает точки с координатами (–1,
j).
Разомкнутая система может оказаться неустойчивой (многоконтурные, с неустойчивыми звеньями). Тогда АФЧХ может быть построена по уравнениям системы, и в этом случае
,
(86)
где: p – число корней с положительной вещественной частью.
Если замкнутая система устойчива, то и, следовательно,
.
(87)
САР будет устойчивой, если АФЧХ охватывает точку (-1, j0) в положительном направлений p/2 раз.
На практике при оценке устойчивости удобнее пользоваться числом переходов АФЧХ отрезка вещественной оси (- …-1).
При увеличении переход W(j) сверху вниз считается положительным (+), снизу вверх – отрицательным (–).
Тогда:
1. САР устойчива если число “ + “ переходов равно числу “ – “ переходов на отрезке (- …-1);
2. САР устойчива если разность числа “ + “ переходов и “ – “ переходов равна p/2, где p – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы с положительной вещественной частью.
Если при = 0 переход W(j) начинается на отрезке (- … -1), то считается что W(j) совершит 1/2 перехода.
Таким образом критерий Найквиста – Михайлова позволяет по графику АФЧХ разомкнутой системы судить об устойчивости САР с обратной связью (замкнутой системы).
7.5. Анализ устойчивости по лах и лфх
Тип 1
Тип 2
Рис. 68. АФХ разомкнутой системы и Рис. 69 АФХ разомкнутой системы и
ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы
соответственно соответственно
АС устойчива, если годограф W(j) не пересекает отрезок вещественной оси (- ...-1), или разность переходов годографа W(j) на этом отрезке равна 0.
Точке пересечения ЛФЧХ с окружностью единичного радиуса соответствует точка пересечения ЛАХ L(ω) c осью частот (так как lg1=0).
Для систем 2-го типа критерием устойчивости будет равенство положительного и отрицательного переходов ЛФХ через прямую (-π) при положительных значениях L(ω).
Если САР в разомкнутом состоянии неустойчива и характеристическое уравнение имеет р корней в правой полуплоскости, то для устойчивости САР в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы разность между числом положительных и отрицательных переходов АФЧХ на отрезке (-∞…-1) составляла р/2.
Это условие соответствует разности чисел положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линию (-π) при положительном значении L(ω).
Рис. 70. ЛАХ и ЛФХ для неустойчивой системы