- •2. Экстремум ф-ции неск.Переменных. Необх.И дост.Условия экстремума ф-ции 2 перем.
- •9. Свойства определённых интегралов
- •5. Замена переменной. Интегрирование по частям
- •7.Интегрирование рацион. Выражений и простейших дробей.
- •10. Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •11. Замена переменной и интегрирование по частям в опр.Интеграле
- •12.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения
- •14.Несобственные интегралы от неограниченных ф-ций
- •15. Диф. Уравн-ния (основные понятия)
- •17. Линейные ду 1-го порядка
- •18. Линейные ду 2-го порядка с постоянными коэф.
- •19. Понятие числового ряда и суммы ряда. Геометрическая прогрессия
- •21. Интегральный признак сходимости ряда с положительными членами
- •22. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.
- •23. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
- •24. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •25. Понятие степенного ряда, область сходимости степенного ряда, теорема Абеля
- •26. Ряды Тейлора и Маклорена
22. Признаки сравнения для положительных рядов. Признаки Даламбера и Коши.
Признак Даламбера:
Пусть задан ряд и сущ , тогда
если l<1, ряд сх-ся
l>1, ряд расх-ся
l=1, ?
Признак Коши:
Пусть задан и сущ , тогда если
l<1, ряд сх-ся
l>1, ряд расх-ся
l=1, ?
1-й признак сравнения:
Пусть (1) и (2) с неотриц членами. Тогда если вып-ся нер-во начиная с некот n, то если ряд 2 сх-ся, то и ряд 1 сх-ся, а если ряд 1 расх-ся, то и ряд 2 расх-ся.
2-й признак сравнения:
Пусть заданы ряд (1) и (2), члены кот положит и сущ , 0<l<∞. Тогда эти ряды (1), (2) одновр-но сх-ся или расх-ся
23. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
называется знакочередующимся.
Достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующ.ряда:
Если предел , то ряд сходится.
О. если ряд, состоящий из абсолютных значений членов знакочередующегося ряда, сходится, то знакочеред.ряд сходится абсолютно. Если ряд, сост.из абсол.величин знакосеред.ряда, расходится, а исходный ряд сходится, то он сходится условно.
24. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
называется знакочередующимся.
Достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующ.ряда:
Если предел , то ряд сходится
ДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка
1.y’’=f(x), y’=p,где p=p(x); y’’=p’;
p`=f(x); dp/dx=f(x) отсюда ;
2. y’’=f(x,y’), y’=p; p=p(x); y’’=p’
P’=f(x,p(x)); интегрируем,
подставляем y’, все аналогично отсюда ответ:
3. y’’=f(y,y’), y’=p; p=p(y) – сложная ф-я y
Y’’=p’y’=p’p; p’p=f(y,p) или (dp/dy)*p(y)=f(y,p(y)).
P заменяем на y’ получим
25. Понятие степенного ряда, область сходимости степенного ряда, теорема Абеля
o. Ряд вида
, где а0, а1, а2... называется степенным рядом по степеням x-x0. Если в ряде 1 положить x0=0, То получим …по степени x
o2. Число R>0 называется радиусом сходимости ряда 2, если для всех [x]<R ряд сходится, [x]>R ряд расходится
О2. Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости ряда 2
О3. Множество всех значений х, для которых ряд 2 сходится, область сходимости ряда.
Структуру области сходимости степенного ряда устанавливает теорема Абеля.
1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|
2) Если же ряд anxn расходится при x=x1 , то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x1|
Область сходимости может иметь 1 из 4 видов:
(-R;R), [-R;R), (-R;R], [-R;R], где R—радиус сходимости, он находится по одной из формул:
-- формула Даламбера
-- формула Коши
Вычислив R, записываем интервал сходимости, если R≠∞, 0, то исследуем степенной ряд при x=-R, x=R
26. Ряды Тейлора и Маклорена
Ряд Тейлора по степеням (х-х0) F(x) x0≠0 называется разложение вида:
f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+ (f ’`(x0) ( x - x0)2)/2!+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n! +…= ( f n (x0) ( x - x0)n)/n!
x0=0 в ряду Тейлора—ряд Маклорена
разложение ф-ции F(x)
в ряд Тейлора(Маклорена) осуществляется следующим образом:
1.находим общую формулу для n-ой производной данной ф-ции
2.вычисляем значения производных для ряда Тейлора или Маклорена
3.записываем разложение в ряд … по формулам
4.находим область сходимости полученных рядов с помощью формул Даламбера или Коши
27. диф-ние и интегр-ние степенных рядов
обл. сходимости (-R;R). тогда для хЭ(-R;R) ряд можно почленно диф-ровать
Также ряд 1 можно почленно интегрировать для всех хЭ(а;b)<(-R;R)