12.Площадь плоской фигуры. Объем тела вращения
1.
на
и
2.
на
и
3. на график имеет вид
4.
даны две функции:
и
на промежутке
5
.
на промежутке
то получаем
6
.
и
на промежутке
(графики ориентированны на
)
9. Вычисление длины дуги кривой. Пусть заданна на .
Объемы тел вращения
1.
2.
13. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода
Пусть
ф-ция f(x)
определена на промежутке [a,
+∞) и интегрируема на любом отрезке [a,
b]
[a;
+∞). Величина,
,
называется несобственным интегралом
c
бесконечным верхним пределом
интегрирования. (1-го рода)
Если предел в правой части сущ-ет и равен конечному числу, то несобственный интеграл наз-ся сходящимся, в противном случае – расходящимся (предел не сущ-ет или равен ∞).
Пусть
ф-ция f(x)
определена на промежутке (-∞;b]
и интегрируема на любом отрезке [a,
b]
(-∞;
b].
Величина,
,
называется несобственным интегралом
c
бесконечным нижним пределом интегрирования
(определение сходимости аналогично).
Пусть
ф-ция f(x)
определена на промежутке (-∞, +∞) и
интегрируема на любом отрезке из (-∞;+∞).
Величина,
,
называется несобственным интегралом
c
двумя бесконечными пределами
интегрирования.
Несобств. интегралы 2-го рода (от разрывных ф-ций)
14.Несобственные интегралы от неограниченных ф-ций
Пусть ф-ция определена и интегрируема на замкнутом промежутке [a;b], за исключением конечного числа точек [a;b], в которых ф-ция терпит разрыв 2-го рода. Тогда интеграл наз-ся несобственным интегралом от разрывной ф-ции и вычисляется по правилу:
,
где с – точка разрыва 2-го рода, с
[a;b].
Если оба интеграла в правой части сущ-ют
и являются конечными числами, то интеграл
сходится, если хотя бы один из них не
сущ-ет, то интеграл расходится.
15. Диф. Уравн-ния (основные понятия)
Дифференциальным наз-ся уравнение, содержащее независимую переменную, искомую ф-цию и производные различного порядка этой ф-ции. Если искомая ф-ция зависит от одной ф-ции, то ДУ наз-ся обыкновенным (ОДУ); если зависит от нескольких переменных, то ДУ наз-ся в частных производных. ОДУ может быть записано в виде:
F(x, yˈ, yˈˈ,…,y(n) )=0
yn=f(x, y, yˈ,…yn-1).
Порядком ОДУ наз-ся порядок старшей производной. Решением ДУ наз-ся такая ф-ция y=φ(x), которая при подстановке её в ур-ние, обращает его в тождество. Решением ДУ n-го порядка наз-ся ф-ция вида y=φ(x, C1, C2,…,Cn), C-const. ←Это явная форма. Неявная форма: Ф=(x,y,C1,C2,…,Cn)=0. Если произвольным С придать конкретные числовые значения, то получим частные решения.
Задача решения ДУ – задача интегрирования данного ур-ния.
16. диф. Ур-ния 1-го порядка с раздел.переменными
Имеют вид: y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2)
1) y’=f(x) dy/dx=f(x)
dy=f(x)dx dy=f(x)dx y=f(x)dx
2) y’=f(y) dy/dx=f(y)
3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными f(x)dx=f(y)dy
4)с разделяющимися переменными
y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)
ДУ с разделяющимися переменными
Ур-е вида (4) реш по схеме:
d(y)/d(x)=f(x)gy
d(y)/g(x)=f(x)d(x)
M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)
5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка (ф-ция вида f(αx,αy)=αkg(x,y) наз однор ф-ция k-того порядка,αЄR)
реш с помощью подстановки
z=y/x y=zx y’=z’xx+z
z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x
6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by