14. Процесс стационарный в широком смысле

Если физическое явление описывается случайным процессом, то свойство этого явления в принципе можно оценить в любой момент времени путем усреднения по ансамблю выборочных функций , образующих случайный процесс. Тогда математическое ожидание случайного процесса в момент времени можно вычислить, взяв мгновенные значения всех выборочных функций ансамбля в момент времени , сложив эти значения и разделив на число слагаемых, т.е.

. (3)

Аналогичным образом ковариация значений случайного процесса в два различных момента времени и вычисляется путем усреднения по ансамблю произведений центрированных мгновенных значений, взятых в эти моменты времени:

. (4)

В формулах (3) и (4) суммирование производится в предположении равновероятности всех выборочных функций. Расстояние между моментами времени в формуле (4) называется сдвигом или задержкой. Заметим, что величина для нулевого сдвига (для =0) представляет собой дисперсию процесса в момент времени , т.е. .

В общем случае, когда величины и , определенные уравнениями (3) и (4), зависят от момента времени , случайный процесс называется нестационарным. В том частном случае, когда и , не зависят от момента времени , случайный процесс называется слабо стационарным или стационарным в широком смысле. Среднее значение слабо стационарного процесса постоянно, а ковариационная функция зависит только от сдвига времени , т.е.

, (5 а)

, (5 б)

.

15. Процесс стационарный в узком смысле

Математическое ожидание и ковариацию называют соответственно моментом первого порядка и смешанным моментом. Для полного определения структуры случайного процесса нужно вычислить бесконечное число моментов и смешанных моментов высших порядков. В том случае, когда все моменты и смешанные моменты инвариантны во времени, случайный процесс называется строго стационарным или стационарным в узком смысле. Во многих приложениях проверка слабой стационарности позволяет обосновать строгую стационарность. Отметим, что для строго стационарного процесса функция и плотность распределения вероятностей в любом сечении одинаковы, т. е. они не зависят от времени:

, (6 а)

. (6 б)

16. Случайные эргодические процессы, гауссов процесс

Формулы (3) и (4) показывают, как можно определить характеристики случайного процесса путем усреднения по ансамблю в определенные моменты времени. Однако в большинстве случаев характеристики стационарного случайного процесса можно вычислить, усредняя по времени в пределах отдельной выборочной функции, входящей в ансамбль. Возьмем, например, k-ую выборочную функцию ансамбля Среднее значение и ковариационная функция , вычисленные по k-ой реализации равны

, (7 а)

. (7 б)

Если случайный процесс стационарен, а и , вычисленные по различным реализациям согласно формулам (7), совпадают, то случайный процесс называется эргодическим. Для эргодических процессов средние значения и ковариационные функции, полученные усреднением по времени (как и другие характеристики, вычисленные усреднением по времени), равны аналогичным характеристикам, найденным усреднением по ансамблю, т. е. и .

Эргодические случайные процессы образуют очень важный класс случайных процессов, поскольку все свойства эргодических процессов можно определить по единственной выборочной функции. На практике стационарные случайные процессы обычно оказываются эргодическими. По этой причине свойства стационарных случайных явлений можно определить по одной наблюдаемой реализации.

Особую практическую значимость имеют стационарные процессы, называемые гауссовыми или нормальными процессами. Гауссов случайный процесс характеризуется тем, что совместная плотность распределения величин , определенных для всевозможных временных сечений t, является многомерной нормальной (гауссовой) плотностью. Случайная выборка гауссова процесса, определенная для сечений , описывается N-мерным совместным гауссовым распределением компонент.