9.8 Пересечение конической поверхности плоскостью

В зависимости от направления секущей плоскости при пересечении поверхности прямого кругового конуса можно получить следующие фигуры сечения: треугольник, окружность, эллипс, парабола, гипербола.

Сечение - треугольник

Дано: Г - конус

 - плоскость

Г = m - треугольник

Секущая плоскость  проходит через вершину конуса

Сечение - окружность

Дано: Г - конус

 - плоскость

Г = n - окружность

Секущая плоскость  перпендикулярна оси вращения

Г

Сечение - эллипс

Дано: Г - конус

 - плоскость

Г = p - эллипс

Секущая плоскость  пересекает все образующие конической поверхности

( второй способ определения

сечения)

Если , то сечение представляет собой эллипс,

где  - угол наклона секущей плоскости к оси поверхности,  - угол между образующей и осью конической поверхности.

1.Построение эллипса начните с опорных точек 1 и 2.

2. Проекции промежуточных точек 3º3^I определите с помощью параллели.

Через фронтальную проекцию точки 3₂ проведите параллель (на П₂ параллель проецируется в отрезок прямой, перпендикулярной оси конуса).

3. На горизонтальную проекцию параллель проецируется в окружность радиусом R.

4. Спроецируйте точки 33^I на горизонтальную проекцию параллели. Получите 3₁ и 3^I_1.

5. Аналогично определите проекции промежуточных точек 44^I и 55^I

4. Найденные точки соедините плавной кривой. Получите горизонтальную проекцию эллипса.

Сечение - парабола

Дано: Г - конус

 - плоскость

Г = v - парабола

Секущая плоскость  параллельна образующей конуса.

Г

(второй способ определения

сечения)

Если =, то сечение представляет собой параболу.

Для построения параболы потребуется минимум пять точек.

1. Опорные точки:

1 - точка принадлежит очерковой образующей конуса

2,2^I – точки, принадлежащие основанию конуса.

2. Точки 3,3^I – промежуточные точки. Горизонтальные проекции точек определите с помощью параллели.

3. Найденные точки соедините плавной кривой. Получите горизонтальную проекцию параболы.

Сечение - гипербола

Дано: Г – конус

 - плоскость

Г = а - гипербола

Секущая плоскость  параллельна двум образующим конуса

Г

(второй способ определения

сечения)

Если < или =0 , то сечение представляет собой гиперболу.

Рассмотрим случай, когда <

1. Проведите секущую плоскость  параллельно двум образующим d и d^I,

где d – видимая образующая

d^I – невидимая образующая.

Фронтальные проекции двух образующих совпадают.

2. Секущая плоскость, пересекая нижний и верхний конус, дает две ветви гиперболы.

Построение нижней ветви гиперболы начните с опорных точек 1 , 2, 2^I .

3. Промежуточные точки 3 и 3^I определите с помощью параллели.

4.Найденные точки соедините плавной кривой.

5.Построение верхней ветви гиперболы начните с опорных точек 4, 6, 6^I .

6. Промежуточные точки 5 и 5^I определите с помощью параллели.

7.Найденные точки соедините плавной кривой.