5.4.3. Схема III. Плоская рама (задача № 8)

Заданная плоская стержневая система (рис. 5.17, а), элементы которой представляют собой прямолинейные стержни, жестко сое­диненных между собой, называется рамой. При произвольном характере нагружения, в поперечных сечениях элементов заданной системы возникают следующие три силовых фактора: поперечная сила Q, изгибающий момент M и продольная сила N. Главной от­личительной особенностью рамной системы от других стержневых систем является то, что в деформированной состоянии угол сопря­жения между различными элементами равен углам сопряжения элементов до нагружения системы.

Правило знаков для Q_y , M_x и N_z и порядок построения их эпюр для таких систем остаются прежними.

Так как заданная система имеет только три внешние связи (вертикальную и горизонтальную в т. D и горизонтальную в т. А), следовательно, при общем характере нагружения возникает всего три опорные реакции. Как нам уже известно, для плоских систем можно воспользоваться только тремя уравнениями равновесия ста­тики для определения опорных реакций, поэтому заданная система является статически определимой.

Рис. 5.17

Построить эпюры Q_y, M_x и N_z.

Определение опорных реакций. Составив уравнения равновесия для всей рамы и решив их, получим:

y = 0,     R_D = 0;

M_D = 0,    H_A 8 + Р4 + q42 = 0,     кН;

M_A = 0,      H_D 8  Р4  q46 = 0,     кН.

Проверка: x = 0; H_A + H_D  Р  q4 = 0;

4 + 8  4  24 = 0;    12  12 = 0;    0 = 0.

Уравнение равновесия превращается в тождество, что говорит о правильности вычисления опорных реакций.

Определение количества участков

Так как, в рамах границами участков являются точки приложе­ния сил и точки изменения направления оси элементов системы, то заданная система имеет три участка: участок I  АВ, участок II ВС, участок III  СD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Q_y, M_x и N_z и оп­ределение их значений в характерных сечениях каждого участка

Определение внутренних силовых факторов в сечениях рам производится также с помощью метода сечений. Однако при вы­полнении разрезов всегда следует выяснить, какую из частей рамы считать левой, а какую правой. Для этого предполагают, что обход рамы ведется слева направо, т.е. от А к В, от В к С, от С к D. При этом наблюдение ведут с нижней стороны участков, находясь ли­цом к оси участков.

Участок I (0  z₁  4 м) (рис. 5.18).

Рис. 5.18

Проведя сечение в пределах этого участка, рассмотрим равновесие левой отсеченной час­ти длиной z₁ . Составив уравнение равновесия y = 0 и и z = 0 для этой части и решив их относительно , и , полу­чим аналитические выражения изменения Q_y , M_x и N_z  на участке I:

y = 0,     H_A  =0,      =  H_A  const;

,   H_Az₁   = 0,   =  H_Az₁ уравнение прямой;

z = 0, = 0  нормальная сила отсутствует.

Величины Q_y , M_x и N_z  в граничных сечениях участка будут равны:

при z₁ = 0 = 4 кН, = 0, = 0;

при z₁ = 4 м = 4 кН, = 44 = 16кНм,     = 0.

Участок II (0  z₂  4 м) (рис. 5.19).

Рис. 5.19

Сделав сечение в пределах этого участка, составим уравнения равнове­сия для левой части:

y = 0, = 0;

,      H_A4 = 0, =  H_A4 = 44 = 16 кНм;

z = 0, H_A +  = 0, =  H_A = 4 кH.

Знак “минус” перед говорит о том, что элемент ВС сжат, а не растянут. Из полученных уравнений видно, что на участке II по­перечная сила равна нулю, а изгибающий момент и нормальная сила постоянны.

Участок III (0  z₃  4 м) (рис. 5.20). Приняв начало координат в сечении D и сделав разрез в пределах этого участка, рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиной z₃ . Составив урав­нения равновесия y = 0; = 0 и z = 0 и решив их, полу­чим:

Рис. 5.20

y = 0,      H_D + qz₃ = 0, = H_D  qz₃   уравнение прямой.

, + H_D z₃   ,

= H_D z₃ +   уравнение квадрат­ной параболы;

z = 0, N_z = 0.

Ординаты эпюр найдем из полученных выражений, подставив в них значения z₃ , соответствующие граничным сечениям участка:

при z₃ = 0 = 8 кН, = 0, = 0;

при z₃ = 4 м      = 8  24 =0,      = 84 + = 16 кНм, = 0.

Для уточнения очертания квадратной параболы определим величину при z₃ = 2 м:

кНм.

Построение эпюр Q_y , M_x и N_z для бруса с ломанной осью (рамы)

Отложив в масштабе перпендикулярно к оси каждого элемента рамы полученные значения Q_y , M_x , N_z в граничных и проме­жуточных сечениях участка и соединяя концы ординат линиями, соответствующими выражениям Q_y , M_x и N_z , строим их эпюры (рис. 5.17, в, г, д).

Правильность построения эпюр внутренних усилий подтверж­дается на основе статической проверки, заключающейся в том, что условия равновесия рамы (x  0; y  0; M  0;), как в целом, так и любой ее отсеченной части, под воздействием внешних нагрузок и усилий, возникающих в проведенных сечениях, соблюдаются тождественно.