vostrikov
.pdf
Г л а в а 3
СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД
Для расчета различных систем автоматического управления их обычно разделяют на отдельные элементы, динамическими
характеристиками которых являются дифференциальные уравнения не выше второго порядка. Причем различные по своей физической природе элементы могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями, поэтому их относят к определенным классам, называе-
мым типовыми звеньями.
Изображение системы в виде совокупности типовых звеньев с указанием связей между ними называется структурной схемой. Она может быть получена на основе как дифференциальных уравнений, так и передаточных функций. Этот способ и составляет суть структурного метода как метода представления систем автоматического управления различной физической природы.
Хотя структурный метод не предлагает новых способов расчета, он позволяет наглядно представить взаимосвязь элементов системы и оценить при наличии соответствующего опыта отдельные свойства переходных и статических процессов. Он настолько широко используется в практике проектирования, что, по существу, может считаться одним из «языков», на котором обсуждаются свойства систем автоматического управления.
Рассмотрим подробнее отдельные типовые звенья и их различные динамические характеристики.
52 |
Глава 3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД |
3.1.ТИПОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ
3.1.1.ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ (УСИЛИТЕЛЬНОЕ) ЗВЕНО
Пропорциональным называется звено, поведение которого описывает алгебраическое уравнение
y ku, |
(3.1) |
где k – коэффициент усиления. Строго говоря, это звено не является динамическим, но относится к типовым.
Примерами таких звеньев могут служить безынерционные усилители, механические редукторы, многие датчики сигналов и т. д.
Передаточная функция звена следующая:
y
W ( p) k . (3.2) u
Переходная характеристика (реакция звена на скачкообразное входное воздействие 1(t)) имеет вид
h(t) k1(t).
Импульсная переходная функция пропорционального звена определяется выражением
g(t) k (t).
Модальные характеристики (собственные значения и собственные векторы) для него отсутствуют.
Заменив в передаточной функции p на j , получим выражения для
частотных характеристик. Амплитудно-фазовая характеристика представляет собой точку на комплексной плоскости в соответствии с формулой
R
k
ω
Рис. 3.1. Вещественная частотная характеристика пропорционального звена
W ( j ) k.
Вещественная частотная характеристика (рис. 3.1) соответствует выражению
R( ) k,
а мнимая частотная характеристика отсутствует I ( ) 0 .
3.1. Типовые динамические звенья |
53 |
Амплитудно-частотная характеристика может быть построена по соотношению
A( ) R2 ( ) I 2 ( ) R( ) k |
(3.3) |
и имеет тот же вид, что и ВЧХ. Выражение для ФЧХ следующее:
( ) arctg I ( ) R( ) |
0. |
(3.4) |
Таким образом, при прохождении через пропорциональное звено амплитуда периодического входного сигнала изменяется в k раз, а фазовый сдвиг отсутствует.
Амплитудно-фазовая характеристика звена имеет вид точки на комплексной плоскости (рис. 3.2).
L, дБ
Im |
|
|
|
|
|
|
20 lg k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
Re |
|
lg дек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2. Амплитудно-фазовая Рис. 3.3. Логарифмическая амплитуднохарактеристика звена частотная характеристика пропорцио-
нального звена
Логарифмическая АЧХ звена представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс:
L( ) 20lg A( ) 20lg k. |
(3.5) |
Как следует из выражений (3.3), (3.4) и рис. 3.3, пропорциональное звено пропускает входные сигналы без искажений.
3.1.2. ДИФФЕРЕНЦИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО
Дифференцирующим называется звено, которое описывается дифференциальным уравнением
y ku. |
(3.6) |
54 |
|
|
Глава 3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД |
|
Его передаточная функция имеет вид |
|
|||
W ( p) |
y |
kp. |
(3.7) |
|
|
||||
u |
||||
|
|
|
||
Примером дифференцирующего звена может служить тахогенератор постоянного тока при оценке производной от положения вала двигателя.
Переходная характеристика дифференцирующего звена определяется выражением
|
|
|
|
h(t) |
k (t) |
|
|
|
||
и имеет вид -функции (рис. 3.4). |
|
|
|
|
|
|
||||
h |
|
|
|
g |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 3.4. Переходная |
Рис. 3.5. Импульсная |
|||||||||
характеристика звена |
переходная |
характе- |
||||||||
ристика
Импульсная переходная функция (рис. 3.5) представляет собой «дуплет» -функций
g(t) k (t). |
(3.8) |
Рассмотрим теперь частотные характеристики звена. Амплитуднофазовая характеристика
W ( j ) jk
совпадает с положительной мнимой полуосью комплексной плоскости; вещественная частотная характеристика равна нулю, R( ) 0; мнимая
частотная характеристика соответствует выражению
I ( ) k ,
3.1. Типовые динамические звенья |
55 |
т. е. представляет собой линейно нарастающую функцию. С ней совпадает амплитудно-частотная характеристика, выражение для которой имеет вид
A( ) 
R2 ( ) I 2 ( ) I ( ) k .
Фазовую частотную характеристику можно определить по соотношению
( ) arctg |
I ( |
) |
90 . |
|
R( |
) |
|||
|
|
Следовательно, на всех частотах имеется постоянный фазовый сдвиг, равный 90 .
L, дБ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
+20 дБ/дек |
|
|
20lgk |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
lg дек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.6. Логарифмическая амплитудночастотная характеристика дифференцирующего звена
Логарифмическая частотная характеристика следующая:
L( ) 20lg k |
20lg k 20lg . |
(3.9) |
Как видно из графика на рис. 3.6, дифференцирующее звено усиливает высокочастотные ( 1 ) сигналы и ослабляет низкочастотные
( 1 ).
56 |
Глава 3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД |
|
3.1.3. ИНТЕГРИРУЮЩЕЕ ЗВЕНО |
Интегрирующим называется звено, поведение которого описывает уравнение
t |
|
|
y k u( )d |
y(0). |
(3.10) |
0 |
|
|
Примером интегрирующего звена является операционный усилитель в режиме интегрирования.
Основной динамической характеристикой звена является его дифференциальное уравнение
y |
ku, |
|
|
(3.11) |
|||
на основе которого можно получить передаточную функцию |
|
||||||
W ( p) |
|
y |
k |
. |
(3.12) |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
u |
p |
|
|||
Характеристическое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
A( p) p 0 |
|
||||||
имеет единственный корень (полюс), p |
|
0 , который представляет со- |
|||||
бой модальную характеристику интегрирующего звена.
Переходная характеристика звена имеет вид линейно возрастающей функции
t
h(t) k 1( )d |
kt 1(t), |
(3.13) |
0
а импульсная переходная функция – ступенчатой функции
t
g(t) k ( )d k1(t). |
(3.14) |
0
3.1. Типовые динамические звенья |
57 |
Выражение для амплитудно-фазовой частотной характеристики (рис. 3.7) получим,
заменив в (3.12) |
p на |
j |
: |
|
|
W ( j |
) |
k |
j |
k |
. |
j |
|
||||
|
|
|
|
|
Таким образом, АФХ интегрирующего звена имеет вид прямой, совпадающей с отрицательной мнимой полуосью комплексной плоскости.
Вещественная частотная характеристика
Im 
Im
Re
Re
W((jj ) )
Рис. 3.7. Амплитуднофазовая характеристика интегрирующего звена
отсутствует, R( ) 0 .
Выражение для мнимой частотной характеристики имеет вид
I ( ) |
k |
, |
|
а для амплитудной частотной характеристики
A( ) k .
При этом фазовая частотная характеристика соответствует соотношению
( ) arctg |
I ( |
) |
90 , |
(3.15) |
|
R( |
) |
||||
|
|
|
т. е. звено имеет постоянный фазовый сдвиг, который не зависит от частоты.
Запишем выражение для логарифмической амплитудно-частотной характеристики:
L( ) 20lg |
k |
20lg k 20lg |
(3.16) |
|
и изобразим ее график (рис. 3.8).
58 |
|
|
|
|
|
|
Глава 3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L, дБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– 20 дБ/дек. |
|
|
||
|
|
20 k |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
-20 дБ/дек |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
20 lg k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
lg дек |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lg ω, дек.
Рис. 3.8. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика интегрирующего звена
Как видим, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика интегратора представляет собой прямую с наклоном – 20 дБ/дек. и пересекает ось ординат в точке 20 lg k. Она показывает, что звено усиливает низкочастотные сигналы и ослабляет высокочастотные.
3.1.4. АПЕРИОДИЧЕСКОЕ ЗВЕНО
Апериодическим называется звено, дифференциальное уравнение
которого имеет вид |
|
y a0 y bu. |
(3.17) |
Различного типа двигатели могут быть примерами такого звена. Дифференциальное уравнение апериодического звена принято за-
писывать в стандартном виде:
Ty y ku , |
(3.18) |
где T 1 a0 – постоянная времени; k b a0 |
– коэффициент усиления |
звена.
Заменив в (3.18) d
dt на p, перейдем к символической записи дифференциального уравнения
(Tp 1) y ku |
(3.19) |
и найдем передаточную функцию апериодического звена:
W ( p) |
y |
|
k |
(3.20) |
|
|
|
|
. |
||
u |
Tp 1 |
||||
3.1. Типовые динамические звенья |
59 |
Для определения модальных характеристик по передаточной функции (3.20) запишем характеристическое уравнение
A( p) Tp 1 0. |
(3.21) |
Оно имеет единственный корень (полюс), p |
1 T. |
Переходную характеристику звена (рис. 3.9) можно найти как ре-
шение уравнения (3.18) при u |
1(t) |
и y(0) 0 : |
|
||||
|
|
|
h(t) |
k(1 |
e t T )1(t). |
(3.22) |
|
|
h |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
Рис. 3.9. Переходная характеристика |
|
|||||
Импульсную переходную функцию (рис. 3.10) вычислим по соотношению
|
k |
t T |
|
(3.23) |
|
g(t) h(t) |
|
e |
|
1(t). |
|
T |
|
||||
Выражение, соответствующее амплитудно-фазовой характеристике апериодического звена, имеет вид
W ( j ) |
|
|
k |
(1 |
Tj |
|
)k |
|
|
|
k |
j |
|
T k |
(3.24) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
1 |
Tj |
1 |
T 2 |
2 |
1 |
T 2 2 |
1 |
T 2 2 |
||||||||||
По выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R( |
) |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
(3.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
T 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
можно построить |
его |
вещественную |
|
частотную |
характеристику |
|||||||||||||
(рис. 3.11). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
Глава 3. СТРУКТУРНЫЙ МЕТОД |
g 
g t/Tk
t t
R |
kk |
Рис. 3.10. Импульсная пере- |
Рис. 3.11. Вещественная |
|
частотная характеристика |
||
ходная функция |
||
апериодического звена |
||
|
Мнимая частотная характеристика (рис. 3.12) апериодического звена соответствует уравнению
I ( ) |
T k |
|
1 T 2 2 . |
(3.26) |
II 
ω0 |
|
c |
ω |
|
Рис. 3.12. Мнимая частотная характеристика апериодического звена
Амплитудно-частотную характеристику (рис. 3.13) описывает выражение
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
A( ) |
R2 ( ) I 2 ( ) |
|
|
|
|
. |
(3.27) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
2T 2 |
|
|||||
Фазовая частотная характеристика звена определяется соотношением
( ) arctg |
I ( |
) |
arctg( T ). |
(3.28) |
|
R( |
) |
||||
|
|
|
|||
Она представляет собой кривую (рис. 3.14) с пределом ( ) |
2 . |
||||