Добавил:

borisow03 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

Основы Теории Управления

Файл:

vostrikov

.pdf

Скачиваний:

136

Добавлен:

23.01.2019

Размер:

12.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4.3. Критерии устойчивости

111

Критерий Найквиста можно также применять, если разомкнутая система имеет в своем составе интегратор, т. е. находится на границе устойчивости. В этом случае ее передаточную функцию можно записать в виде

W0 ( p)

( p)

(4.32)

p A0 ( p)

где A0 ( p) – характеристический полином устойчивой системы.

Амплитудно-фазовая

характеристика

разомкнутой системы W0 ( j

) будет иметь

W0 ( j( j) )

неопределенность при

0 : при этом ам-

плитуда A(0)

, а фаза скачком изменя-

–1

ется на 180 . Для получения определенно-

сти характеристику при построении услов-

но дополняют полуокружностью бесконеч-

но большого радиуса так, чтобы она начи-

налась на положительной

вещественной

Рис. 4.17. Амплитудно-фа-

полуоси (рис. 4.17). Такое дополнение ха-

зовая характеристика

ра-

рактеристики разомкнутой системы позво-

зомкнутой системы с ин-

ляет использовать исходную формулиров-

тегратором

ку критерия Найквиста.

Сформулируем теперь условие границы устойчивости. Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если при некото-

рой частоте	0 амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы проходит через точку с координатами		1; j0 .
Аналитически это условие можно записать в виде
	1 W0 ( j 0 ) 0.	(4.33)

Пример расположения для этой ситуации амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы на комплексной плоскости представлен на рис. 4.18.

Отметим в заключение, что критерий Найквиста можно применять и в общем случае, когда система содержит неединичную отрицательную обратную связь (рис. 4.19).

112			Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
Im Im
		Re
–11			v	y
–11		Re		W ( p)
		Re		1
W		j )
W0		( j )
	0			W2 ( p)
				W2 ( p)
Рис. 4.18. Иллюстрация			Рис. 4.19. Структурная схема
границы устойчивости				системы общего вида

Предварительно необходимо получить передаточную функцию разомкнутой системы, для чего можно размыкать связь произвольным образом (рис. 4.19), а вход и выход системы следует рассматривать в месте разрыва. В результате искомая передаточная функция будет иметь вид

W0 ( p) W1( p)W2 ( p).

Далее для анализа устойчивости необходимо использовать соответствующую формулировку критерия.

ПРИМЕР 4.7

Проверить устойчивость системы (рис. 4.20), с помощью критерия Найквиста.

v 2		5 y

	p1	2
	p1	p 3p1

Рис. 4.20. Структурная схема системы управления

Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию разомкнутой системы

W0	( p)	2	5	10		.
		p 1 p2	3 p 1 p3	4 p2
					4 p 1

4.3. Критерии устойчивости

113

Согласно критерию Гурвица разомкнутая система устойчива. Перейдем теперь к выражению для амплитудно-фазовой частотной характеристики

W0	( j )	10
		2 ) j(4	3 )
	(1 4

и выделим ее вещественную и мнимую части:

W0	( j )	10(1		4	2 )	j	10(4			3)		.
W0	( j )	2 )2		(4	3 )2	j	2 )2		(4		3 )2	.
	(1 4	2 )2		(4	3 )2	(1 4	2 )2		(4		3 )2
			Im		Im


			2 3			10		Re
			2 3					Re

								Re

163

Рис. 4.21. Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы, изменяя от 0 до . Ниже приведены значения вещественной и мнимой частей для отдельных точек.

		0	0,5	2

Im W0 ( j	)	0	16 3	0	0

Re W0 ( j	)	10	0	2 3	0

Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы (рис. 4.21) не охватывает точку с координатами 1; j0 . Следовательно, замкнутая система устойчивая.

4.3.4.ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФОРМА КРИТЕРИЯ НАЙКВИСТА

Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать также логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

114 Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Формулировка критерия Найквиста. Для устойчивости замкну-

той системы необходимо и достаточно, чтобы				на	всех	частотах,
где ЛАЧХ разомкнутой системы положительная				L(	) 0 ,	фазовый
сдвиг не достигал значения 180			или достигал его четное число раз
(рис. 4.22).
L, дБ	L, дБ
	L, дБ

		L(ω)
		(	)

lgωc c

lg ω,декдек.

( )

φ(ω)

– π

– φ

Риc. 4.22. Логарифмические частотные характеристики, иллюстрирующие кри-

терий Найквиста

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте c , где ЛАЧХ разомкнутой системы обращается в

нуль L( c ) 0 , значение фазовой частотной характеристики равно

( c ) 180 .

ПРИМЕР 4.8

Проверить с помощью критерия Найквиста устойчивость системы фазовой автоподстройки частоты, упрощенная структурная схема которой приведена на рис. 4.23 [22, 45]. На рисунке:

ПГ – подстраиваемый генератор, частоту

которого нужно стабили-

зировать; ФНЧ – фильтр нижних частот;

ФД – фазовый детектор;

0– эталонная частота;

–разность фаз.

4.3. Критерии устойчивости

115

Параметры передаточных функций соответствующих устройств сле-

дующие: T 0,1

с, T 0,04

с, T

0, 005 с, k

k k k

200 с–1.

ФД

ФНЧ

ПГ

k2 (T2 p 1)

T1 p 1

T3 p

Рис. 4.23. Структурная схема системы фазовой автоподстройки частоты

Разорвем обратную связь и определим передаточную функцию разомкнутой системы

			Wp ( p)					k(T2 p		1)		.
			Wp ( p)				p(T1 p		1)(T3 p		1)	.
							p(T1 p		1)(T3 p		1)
Подставляя вместо параметров их численные значения, получим
	Wp ( p)						200(0, 04 p				1)		.

						0, 0005 p3			0,105 p2 p
						0, 0005 p3			0,105 p2 p
Перейдем теперь к частотной характеристике
	Wp	( j	)				200(0, 04 j				1)
	Wp	( j	)		0,105			2	j (1	0, 0005			2 )
					0,105			2	j (1	0, 0005			2 )
или
200		(	0, 065 2 0, 00 002							4 )	j(		0, 00 475 3 )
Wp ( j )														.
Wp ( j )				0, 011 025				4	2 (1		0, 0005		2 )2	.
				0, 011 025				4	2 (1		0, 0005		2 )2

Запишем теперь выражения для амплитудно-частотной характеристики:


Ap ( )	200 (	0, 065 0, 00 002 3 )2			(1	0, 00 475 2 )2
Ap ( )		0, 011 025 3		(1 0, 0005		2 )2
		0, 011 025 3		(1 0, 0005		2 )2
и фазочастотной характеристики:
	p (	) arctg	1	0, 00 475	2		.

			0, 065	0, 00002		3
			0, 065	0, 00002		3

116	Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В логарифмическом масштабе амплитудно-частотная характеристика
имеет вид
Lp (	) 20 lg 200	20 lg
20 lg ( 0, 065	0, 00 002 3 )2	(1 0, 00 475 2 )2
20 lg 0, 011 025 3 (1		0, 0005 2 )2 .

На рис. 4.24 представлены логарифмические амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики разомкнутой системы.

L, дБ L, дБ

L( )

lg(

)

lg дек

lg, дек

(

)

(

)

Рис. 4.24. Логарифмические характеристики разомкнутой системы

Так как логарифмическая амплитудно-частотная характеристика пересекает ось абсцисс позже, чем фазовая частотная характеристика достигает

значения ( ) p

, то замкнутая система будет неустойчива.

4.4. ОБЛАСТИ И ЗАПАСЫ УСТОЙЧИВОСТИ

4.4.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Поскольку математическая модель никогда не бывает тождественна физической системе, а при ее составлении делается ряд допущений, параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных

Рис. 4.25. Иллюстрация области устойчивости системы

4.4. Области и запасы устойчивости

117

(номинальных). Кроме того, с течением времени параметры могут изменяться в некотором диапазоне, но для нормального функционирования системы свойство устойчивости должно сохраняться, т. е. она должна обладать определенным запасом устойчивости.

Введем понятие запаса устойчивости для системы, модель которой имеет вид

Ax Bu, x Rn ,

u Rm ,

Cx,

y R

, n m.

Запишем характеристическое уравнение системы

det( pI

A) 0,

оно имеет n корней

i ( A), i

1, n.

Определение:

областью устойчиво-

сти по параметрам будем называть мно-

жество матриц A, для которых выполня-

ется общее условие устойчивости линей-

ных систем, т. е.

Re i ( A) 0, i 1, n.

a11

Совокупность всех этих матриц A отображается в некоторую область на плоскости параметров (рис. 4.25).

Определение: критическими (граничными) будем называть такие значения матриц Aгр , при которых система находится на границе ус-

тойчивости.

В реальной ситуации часто требуется оценить влияние одного параметра системы (например, a) на ее устойчивость, поэтому можно

говорить о «левом» и «правом» граничных значениях, a1гр и a2гр соответственно (рис. 4.26).

a1гр

aн

a2гр

Рис. 4.26. Пример граничных значений

118	Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

Определение: запасом устойчивости называется диапазон значений параметра от номинального до граничного. Например, aн a1гр

или aн a2гр .

4.4.2. ЧАСТОТНЫЕ ОЦЕНКИ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ

На основе критерия Найквиста можно получить частотные оценки запаса устойчивости, которые характеризуют удаление амплитуднофазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки

1; j0 .

Запас

устойчивости

по

модулю

(h) показывает, насколько можно уве-

личить

модуль

АФХ

разомкнутой

системы

без

потери устойчивости

замкнутой (рис. 4.27).

–1

Запас устойчивости по фазе ( )

определяется

на

частоте

c , где

W0( jj ))

W0 ( j c )

1. Он показывает, насколько

Рис. 4.27. Определение запасов

можно изменить фазу АФХ разомкну-

той системы без потери устойчивости

устойчивости по АФХ

замкнутой.

Аналогичные запасы устойчивости можно определить и по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы. В этом случае запас устойчивости по модулю будем обозначать L, единица измерения – децибел. Он показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления системы без потери устойчивости. Определяется

L на частоте, где фазовая частотная характеристика достигает значе-

ния	(рис. 4.28).
Запас устойчивости по фазе будем обозначать					, он определяется
на частоте c , где L( c ) 0,		и характеризует отклонение от				, т. е.
	(	c )	( c )	.		(4.34)

4.4. Области и запасы устойчивости

119

L, дБ

L(ω)

L( )

lg ω, дек.

(( )

дек

Риc. 4.28. Определение запасов устойчивости по логарифмическим характеристикам

Опытом настроек установлено, что для нормальной работы многих систем управления необходимо обеспечить следующие запасы устойчивости:

L 8 дБ,

50 .

(4.35)

Эти значения получены эмпирическим путем. Исходя из технологических требований для некоторых систем могут потребоваться большие или меньшие запасы устойчивости.

4.4.3. КОРНЕВЫЕ ОЦЕНКИ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ

Оценить запас устойчивости системы можно также по ее корневому портрету.

На рис. 4.29 приведены графики переходных процессов двух систем. Видно, что система 2 обладает меньшим запасом устойчивости, поскольку склонность к неустойчивости выражается в большой колебательности процессов.

В свою очередь, характер процессов в системе определяется ее полюсами согласно выражению (4.12), причем колебания будут возникать, если характеристическое уравнение содержит комплексносопряженные корни:

i, i 1

j i ,

120 Глава 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

где вещественная часть			i	определяет скорость затухания, а мнимая
			i
часть корней	i	– частоту колебаний.
	i

		2
		2	2
	1		2
	1


				t
1				t
1

Риc. 4.29. Примеры процессов в системах с разным запасом устойчивости

Im Im

i i

Паре корней с самым «широким» сектором (рис. 4.30) будет соответствовать составляющая процесса с наибольшими колебаниями, поэтому в качестве оценки запаса устойчивости можно рассматривать отношение

		i	.	(4.36)
			.	(4.36)
		i
Рис. 4.30. Пример опре-	Отметим, что значение			может изме-
деления запаса устойчи-	Отметим, что значение			может изме-
деления запаса устойчи-
вости по корневому	няться в диапазоне	0;		. Чем меньше
портрету

(больше величина мнимой части корня	i

или меньше вещественная часть), тем ближе будет система к границе


устойчивости. В случае, когда		0, она находится на границе устой-
чивости. При	система будет иметь бесконечный запас устойчи-

вости.

Таким образом, корневая оценка запаса устойчивости характери-

зует, насколько можно изменять корни характеристического уравнения без потери системой устойчивости.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 4812 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Основы Теории Управления

#
23.01.20194.79 Mб14klek_OTU_06_Часть1.doc
#
23.01.20194.26 Mб19klek_OTU_06_Часть2.doc
#
23.01.2019770.5 Кб11OTURGR (Repaired)2.pdf
#
23.01.2019557.96 Кб15OTU_RGR_Vasenkova.docx
#
23.01.201912.99 Mб136vostrikov.pdf
#
23.01.2019139.78 Кб12РГР ОТУ 2016.doc