vostrikov
.pdf212 |
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
Основными элементами цифровой системы автоматического управления (ЦСАУ), как видим, являются:
•О – непрерывный объект управления;
•контроллер (микропроцессор, микроконтроллер, микроЭВМ, ПЭВМ, УВМ);
•А/Ц и Ц/А – аналого-цифровой и цифроаналоговый преобра-
зователи, к которым предъявляются требования синхронности и синфазности их работы;
•таймер, предназначенный для синхронизации работы всей сис-
темы.
Назначение контроллера – формировать управляющее воздействие, обеспечивающее заданное качество работы системы.
В дальнейшем будем рассматривать как одноканальные объекты
управления, так и многоканальные, для которых (v, u, y) Rm , где v – входные задающие сигналы; u – управляющие воздействия; y – выходные, контролируемые переменные объекта управления, доступные измерению; m – число каналов управления в объекте.
Главная особенность ЦСАУ состоит в том, что управляющие воздействия, формируемые с помощью ЭВМ, принимают дискретные значения в дискретные моменты времени, т.е. они квантованы как по уровню, так и по времени. В дальнейшем мы не будем учитывать квантование управляющих воздействий по уровню, поскольку современные контроллеры имеют достаточно высокую разрядность АЦ и ЦА и «вес» одного разряда сопоставим с точностью измерения контролируемых переменных объекта управления. Управляющие воздействия вычисляются по заданному алгоритму с помощью контроллера и передаются на ЦА, который фиксирует значения воздействий на время, равное шагу квантования Т, т.е. представляют собой последовательность импульсов, появляющихся в фиксированные моменты времени.
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем |
213 |
7.2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
7.2.1. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Они являются основным аппаратом описания линейных импульсных систем. В отличие от дифференциальных, где аргумент – непрерывное время, в разностных уравнениях аргумент – дискретное время. Многоканальный объект описывают разностным уравнением в век- торно-матричной форме:
x(kT T ) Ax(kT ) Bu(kT ),
(7.1)
y(kT ) Cx(kT ).
Здесь T – шаг квантования, kT – текущий момент времени; x Rn –
вектор состояния, u Rm – вектор управляющих воздействий, n – порядок объекта; n m ; A – квадратная матрица действительных коэффициентов; B, C – прямоугольные матрицы действительных коэффи-
циентов, y Rm – выходные переменные системы.
Разностные уравнения связывают переменные состояния системы, управление и выход только в фиксированные моменты времени. Часто в записи разностного уравнения величину T опускают (так как она задана и неизменна), тогда уравнения выглядят так:
x(k 1) Ax(k) Bu(k),
(7.2)
y(k) Cx(k).
Эту форму называют основной формой записи разностного уравнения или системой разностных уравнений в матричной форме.
К формам (7.1) и (7.2) нужно приводить уравнения движения реальных импульсных систем (рис. 7.1) с непрерывным объектом.
Рассмотрим подробно процедуру вывода разностных уравнений и с этой целью представим векторно-матричное описание линейного непрерывного многоканального объекта на языке дифференциальных уравнений:
x(t) Ax(t) Bu(t),
(7.3)
y(t) Cx(t).
214 |
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
С помощью понятия переходной матрицы, при известных начальных условиях x(0), можно записать решение дифференциального урав-
нения (7.3):
t
x(t) eAt x(0) eA(t )Bu( )d .
0
Найдем значение вектора состояния при t = T:
T
x(T ) eAT x(0) eA(T )Bu( )d .
0
Так как значение u фиксировано в течение кванта Т, то
x(T ) eAT x(0) A 1 eAT I Bu(0) .
Используя найденное значение x(T) в качестве начальных условий, на основании последнего выражения можно найти значение вектора состояния на следующем шаге x(2T) и так далее. В итоге для произвольного момента времени получаем
x(kT T ) Ax(kT ) Bu(kT ), y(kT ) Cx(kT ),
где A eAT , B A 1(e AT I )B, C C.
Воспользуемся теперь разложением экспоненты в ряд Тейлора и получим соотношения, позволяющие вычислить искомые матрицы:
|
|
|
|
iT i |
|
|
|
|
i 1T i |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
(7.4) |
||||
A |
|
|
, B |
|
|
B. |
|||||||
|
|
|
i! |
|
|
|
i! |
||||||
i |
0 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Количество членов ряда, необходимых для вычисления матриц A и B, определяется соотношением значений коэффициентов исходных матриц и шага квантования T, а также заданной точностью вычислений.
В практических расчетах иногда применяют и приближенный способ вывода разностных уравнений, основанный на аппроксимации производных.
Рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений:
7.2. Динамические характеристики линейных импульсных систем |
215 |
x Ax Bu dxdt .
Заменим здесь дифференциалы конечными разностями
x |
|
|
|
|
|
|
Ax Bu . |
||||||
|
||||||
t |
||||||
|
|
|
|
|
Будем считать, что шаг квантования T пренебрежимо мал по сравнению с темпом процессов в объекте. Тогда можно принять t T и
x x(k 1) x(k) , после чего в итоге получим x(k 1) x(k) TAx(k) TBu(k).
Если сравнить последнее уравнение с уже полученным результатом, то увидим, что это есть первое приближение к матрицам, представленным уравнениями (7.4).
ПРИМЕР 7.1
Выполнить переход от непрерывной модели, заданной в виде дифференциального уравнения
x(t) 2x(t) 3x(t) u(t) 2u(t) ,
к дискретной в виде разностного уравнения, методом конечных разностей при заданной величине шага дискретизации по времени T = 0,1 c.
Перейдем от дифференциалов к конечным разностям
|
|
dx |
|
|
x x(k 1) |
x(k ) |
, |
|
|||
|
|
dt |
|
|
t |
|
T |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
d 2 x |
|
2 x x(k 2) 2x(k 1) x(k) |
, |
||||||||
dt2 |
|
t2 |
|
|
|
|
T 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
подставим их в исходное дифференциальное уравнение:
1 |
(x(k 2) 2x(k 1) x(k)) |
2 |
(x(k 1) x(k)) 3x(k) |
|||
T 2 |
T |
|||||
|
|
|
|
|||
|
1 |
(u(k 1) u(k)) 2u(k), |
||||
|
|
T |
||||
|
|
|
|
|
при заданном значении шага дискретизации по времени T:
216 |
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
100x(k |
2) 200x(k 1) 100x(k) 20x(k 1) 20x(k) 3x(k) |
|
10u(k 1) 10u(k) 2u(k) . |
Приведем подобные и отнормируем последнее выражение, в итоге получим разностное уравнение
x(k 2) 1,8x(k 1) 0,83x(k) 0,1u(k 1) 0,08u(k) .
Порядок разностного уравнения совпадает с порядком исходного дифференциального уравнения.
ПРИМЕР 7.2
Выполнить переход от непрерывной модели, заданной в виде дифференциального уравнения из примера 7.1, к разностному уравнению при том же шаге дискретизации по времени, используя матричную процедуру.
Запишем матрицы непрерывной модели, соответствующие дифференциальному уравнению:
|
0 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
A |
; B |
; C C 0 1 . |
||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Найдем матрицы дискретной модели в соответствии с выражениями (7.4), при этом ограничимся тремя членами ряда:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T 2 |
|
|
3T 3 |
0,9860 |
-0,2705 |
|
||||||||||||
A I |
AT |
A |
A |
; |
|||||||||||||||||||||||
1! |
|
|
2! |
|
|
|
3! |
|
0,0902 |
0,8057 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2T 3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
I T |
|
|
AT 2 |
|
|
|
A |
|
|
0,1850 |
|
|
|||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
. |
|
|||||||||||||
1! |
|
2! |
|
3! |
0,0995 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
С помощью известной матрицы C и найденных матриц A, B можно перейти к разностному уравнению, аналогичному полученному в примере 7.1, результат следующий:
x(k 2) 1,7917x(k 1) 0,8188x(k) 0,0995u(k 1) 0,0814u(k ) .
Как видим, коэффициенты двух разностных уравнений достаточно близки, однако дискретная модель из примера 7.2 найдена с более высокой точностью.
218 |
|
|
|
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
||||
импульс и на эквивалентную ему дельта-функцию будет практически |
||||||||
одинаковой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Управляющее воздействие после обсуждаемой замены можно пред- |
||||||||
ставить в следующем виде: |
|
|
|
|
||||
u (t) |
u* (t) |
u(t)h |
(t kT ) |
h |
u(kT ) (t kT ), |
|||
1c |
1c k |
|||||||
|
|
|
k 0 |
0 |
|
|||
где u* (t) – решетчатая функция; u (t) |
– реальная последовательность |
|||||||
прямоугольных импульсов. |
|
|
|
|
||||
Если Ц/А и А/Ц в системе работают синхронно и синфазно, то ве- |
||||||||
личина h может быть любой, поэтому ее можно принять равной 1 с: |
||||||||
|
|
|
u (t) |
u(kT ) (t kT ) u* (t) . |
|
|||
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
Последнее выражение есть управляющее воздействие, представ- |
||||||||
ленное в виде решетчатой функции. Такой вид представления упроща- |
||||||||
ет анализ процессов в линейных импульсных системах. |
|
|||||||
7.2.3. ЭКСТРАПОЛЯТОР НУЛЕВОГО ПОРЯДКА |
||||||||
Управляющее воздействие в большинстве цифровых систем фор- |
||||||||
мируется на выходе ЦА и имеет ступенчатый вид (рис. 7.4). |
||||||||
u |
|
|
u (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u (t) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
T |
2T |
|
3T |
kT |
|
|
Рис. 7.4. Пример ступенчатого управления u (t) : |
|
||||||
(пунктиром показано непрерывное управляющее воздействие u(t) ) |
220 |
Глава 7. ЛИНЕЙНЫЕ ИМПУЛЬСНЫЕ СИСТЕМЫ |
Структурная схема модели ФФ представлена на рис. 7.8.
u(t) (t) |
|
|
u (t) u(kT ) |
|
1 |
p |
|
|
|
1 |
p |
e pT |
|
|
Рис. 7.8. Структурная схема модели формирующего фильтра. |
|
|||
Здесь р – оператор дифференцирования |
|
|||
Как видим, передаточная функция ФФ имеет вид |
|
|||
W ( p) 1 |
1 e pT |
1 e pT . |
(7.5) |
|
ФФ |
p |
p |
p |
|
|
|
Аналогичный результат можно получить, используя преобразова-
ние Лапласа: |
|
x(s) |
x(t)e st dt, |
0
где s = + j – оператор Лапласа.
Найдем преобразование Лапласа решетчатого управляющего воздействия:
u* (t) |
u(kT ) (t kT ) |
u* (s) |
u(kT )e kTs . |
(7.6) |
k |
0 |
|
k 0 |
|
Проделаем эту процедуру для ступенчатого управляющего воздействия:
|
|
(t) |
u(kT )(1(t |
kT ) |
1(t (k |
1)T )) |
|
||||
u |
|
||||||||||
|
|
|
|
k |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(s) |
u(kT )e |
kTs |
1 |
(1 |
e sT ) |
u*(s)W (s). |
(7.7) |
|
|
u |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
ФФ |
|
|
|
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WФФ (s)
Последнее равенство – это преобразование Лапласа для ступенчатого управляющего воздействия.