- •IV. Поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •§1. Поверхностные интегралы первого рода
- •§2. Двусторонние и односторонние поверхности. Сторона поверхности
- •§3. Поверхностные интегралы второго рода
- •1. Определение поверхностного интеграла второго рода
- •2. Вычисление поверхностного интеграла 2 рода
- •3. Связь между поверхностными интегралами второго рода и первого рода
- •§4. Формула Остроградского-Гаусса
- •§5. Формула Стокса
- •§6. Элементы теории поля
- •1. Скалярное поле
- •2.Векторное поле
- •3. Поток векторного поля
- •4. Дивергенция векторного поля
- •5. Циркуляция и ротор векторного поля
§6. Элементы теории поля
1. Скалярное поле
Рассмотрим некоторую область (V) трехмерного пространства Oxyz. Если каждой точке M(x;y;z) этой области поставлено в соответствие значение некоторой скалярной величины U, т.е. U=U(M) или U=U(x;y;z), то говорят, что задано скалярное поле. Например, точечный источник тепла создает поле температур. Скалярное поле, не меняющееся во времени, называется стационарным, и в этом случае функция U не зависит от времени, т. е. U=U(x;y;z). Если же поле меняется во времени, т. е. U=U(x;y;z;t), то оно называется нестационарным. Например, если вынуть из костра раскаленный камень, то вокруг него образуется нестационарное поле температур, которое будет меняться с течением времени, т.к. камень будет остывать. Т. о., очевидно, что скалярное поле описывается некоторой функцией точки, имеющей три, две или одну координату, в зависимости от того, что представляет собой область (V).
Основными характеристиками скалярного поля являются производная по направлению и градиент (изучено ранее).
2.Векторное поле
Рассмотрим некоторую пространственную область (V). Если с каждой точкой этой области связано значение некоторой векторной величины , то говорят, что определено векторное поле . Очевидно, что задание одного векторного поля равносильно заданию трех скалярных полей ax(x;y;z;t), ay(x;y;z;t) и az(x;y;z;t), где (x;y;z) – точка, принадлежащая области (V), а переменная t имеет смысл времени. В том случае, если координаты вектора не зависят от времени, поле вектора называется стационарным.
3. Поток векторного поля
Пусть в поле вектора находится двусторонняя поверхность (S). Выберем на ней элементарную площадку (S), площадь которой равна S. Пусть - нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности. Будем считать, что в пределах выбранной площадки вектор постоянен. Обозначим через проекцию вектора на направление нормали .
Определение. Элементарным потоком вектора через площадку (S) в выбранную сторону называется .
Разобьем поверхность (S) на n частей с площадями ΔS1, ΔS2, …, ΔSn и диаметрами λi. Обозначим -диаметр разбиения. Просуммируем элементарные потоки по всем частичным ячейкам, при условии, что 0:
.
Q и называется потоком векторного поля через поверхность (S) в выбранную сторону.
Если - единичный вектор нормали к поверхности (S), то скалярное произведение . То есть
,
.
Выразим поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода:
.
Механический смысл потока векторного поля
Пусть пространство заполнено движущейся жидкостью, скорость которой в каждой точке M(x;y;z) задается вектором . Пусть ρ(x;y;z) – плотность текущей жидкости. Вычислим количество жидкости, протекающей за единицу времени через некоторую поверхность (S). Разобьем поверхность на n частей с площадями ΔS1, ΔS2, …, ΔSn. - диаметр разбиения. Будем считать, что в пределах части (ΔSi) плотность постоянна и равна плотности ρi в произвольно выбранной точке. За единицу времени частицы жидкости продвинутся через элементарную площадку (Si) и заполнят наклонный цилиндр, площадь основания которого равна Si, а высота hi равна проекции вектора на вектор : , если векторы и лежат в одном полупространстве. Масса частиц жидкости, заполнивших элементарный цилиндр равна
,
Суммируя по i от 1 до n, получаем приближенное значение количества жидкости, протекающей через ориентированную поверхность (S) за единицу времени
.
Переходя к пределу при 0, получим точное значение Q:
-
количество жидкости, протекающей через поверхность (S) в выбранную сторону за единицу времени. В этом и заключается механический смысл потока векторного поля.