§3. Поверхностные интегралы второго рода

1. Определение поверхностного интеграла второго рода

Введем определение поверхностного интеграла второго рода по аналогии с соответствующим криволинейным интегралом.

В случае криволинейного интеграла была направленная (ориентированная) кривая, которую раскладывали на элементы. Каждый такой элемент, соответственно направленный, проектировался на координатную ось. Проекция получалась тоже направленной, и ее длина бралась со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.

В данном случае рассматривается гладкая или кусочно-гладкая двусторонняя поверхность (S). Для определенности пусть она задана явным уравнением z=z(x;y) (точка (x;y) изменяется в области (D) на плоскости XOY, ограниченной кусочно-гладким контуром). Пусть в каждой точке поверхности определена функция f(M)=f(x;y;z). Разобьем поверхность (S) при помощи гладких или кусочно-гладких кривых на конечное число частей (S₁), (S₂),…, (S_п), выберем в каждой части (S_i) точку M_i(x_i;y_i;z_i).Обозначим через _i диаметр части (S_i), назовем диаметром разбиения. Выберем какую-либо из сторон поверхности (или, что то же самое, определенную ориентацию). Выбор возможен между верхней и нижней сторонами. В первом случае замкнутой кривой на поверхности приписывается направление против часовой стрелки, если смотреть сверху, во втором - обратное направление.

Спроектировав каждую часть, соответственно ориентированную, на плоскость XOY, получим, что направление обхода контура проектируемой фигуры определит и направление обхода контура проекции. Это направление будет совпадать с вращением против часовой стрелки, то есть отвечать ориентации самой плоскости XOY, если фиксирована была верхняя сторона поверхности. В этом случае нормаль с осью OZ будет составлять острый угол, и площадь проекции будет браться со знаком плюс. В случае нижней стороны вращение будет обратным, угол между нормалью и осью OZ будет тупым, и площадь проекции будем брать со знаком минус. Обозначим через D_i площадь проекции части (S_i) на плоскость XOY с определенным знаком, зависящим от выбора стороны поверхности.

Выберем в каждой части (S_i) произвольно точку . Составим сумму: .

Если существует конечный предел этой суммы  при , не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек M_i на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S.

Обозначается .

Таким образом,

.

(dxdy говорит о площади проекции элемента поверхности на плоскость XOY).

В этой записи не содержится указания на то, какая сторона поверхности выбрана, поэтому это требуется оговаривать отдельно.

Если поверхность (S) не имеет указанного специального вида, то есть, не задана явным уравнением, то определение поверхностного интеграла второго рода строится совершенно так же. Площади D_i проекций могут браться не все с одинаковыми знаками, а возможно и с разными знаками, если одни части поверхности оказываются лежащими вверху, а другие - снизу.

Аналогичным образом если вместо плоскости XOY проектировать части поверхности на плоскость YOZ или XOZ, то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

,

,

где C_i и B_i – площади проекций (S_i) соответственно на плоскости XOZ и YOZ.

Сумма всех трёх интегралов, если они существуют, называется полным (или общим) поверхностным интегралом второго рода по выбранной стороне поверхности S и обозначается:

,

где P, Q, R – функции от (x;y;z), определенные в точках поверхности (S), и все интегралы берутся по одной и той же стороне поверхности.

Поверхностный интеграл второго рода обладает такими же свойствами, как и поверхностный интеграл первого рода. Особо отметим следующие два.

1. При изменении стороны поверхности на противоположную поверхностный интеграл второго рода меняет знак.

Это вытекает из определения поверхностного интеграла второго рода. Если изначально мы рассматривали верхнюю сторону поверхности, то проекция площади D_i на плоскость XOY будет с положительным знаком. При смене на нижнюю сторону поверхности эта проекция поменяет знак.

(S₊): ,

(S_-): ,

.

2. Из определения поверхностного интеграла так же следует, что если поверхность (S) представляет собой цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны плоскости XOY, то все ее элементы имеют нулевые проекции, так что в этом случае .