- •IV. Поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •§1. Поверхностные интегралы первого рода
- •§2. Двусторонние и односторонние поверхности. Сторона поверхности
- •§3. Поверхностные интегралы второго рода
- •1. Определение поверхностного интеграла второго рода
- •2. Вычисление поверхностного интеграла 2 рода
- •3. Связь между поверхностными интегралами второго рода и первого рода
- •§4. Формула Остроградского-Гаусса
- •§5. Формула Стокса
- •§6. Элементы теории поля
- •1. Скалярное поле
- •2.Векторное поле
- •3. Поток векторного поля
- •4. Дивергенция векторного поля
- •5. Циркуляция и ротор векторного поля
2. Вычисление поверхностного интеграла 2 рода
Теорема. Пусть двусторонняя поверхность (S) задана явным уравнением z=z(x;y), причем z(x;y) и ее частные производные и существуют и непрерывны в простой области (Dxy), которая является проекцией поверхности (S) на плоскость XOY. Пусть в каждой точке поверхности (S) задана непрерывная функция f(x;y;z). Тогда поверхностный интеграл по верхней и нижней стороне поверхности (S) существует и выражается через двойной интеграл для верхней стороны поверхности (S):
(1)
и соответственно для нижней стороны поверхности (S):
. (2)
Доказательство.
В силу условий теоремы интегралы в равенствах (1) и (2) существуют. Докажем эти равенства. Составим интегральную сумму для поверхностного интеграла второго рода по верхней стороне поверхности: . Т к. точка принадлежит поверхности, то . Тогда
. (3)
В правой части стоит интегральная сумма для двойного интеграла . Переходя к пределу при 0, получим равенство (1).
Если поверхностный интеграл берется по нижней стороне поверхности, то в интегральной сумме все Di отрицательны, и получим формулу (2).
Таким образом, вычисление поверхностного интеграла второго рода сводится к вычислению обычного двойного интеграла по области (D) от функции f, в которую вместо координаты z подставлено ее выражение из уравнения поверхности (S).
Обобщая эти рассуждения, получим:
=
,
где (Dxy), (Dxz), (Dyz) – это соответствующие проекции поверхности (S) на плоскости XOY, XOZ, YOZ.
Пример. Вычислить поверхностный интеграл второго рода: , где (S) - это верхняя сторона поверхности , отсеченная плоскостями y=0, y=1, x=0 и .
Уравнение задает цилиндрическую поверхность, образующими которой являются прямые, параллельные оси ординат, а направляющей является часть окружности.
Область (Dxy) имеет вид: , функция , следовательно, .
3. Связь между поверхностными интегралами второго рода и первого рода
Рассмотрим поверхностные интегралы первого и второго рода по двусторонней поверхности (S), нормаль к которой образует углы , и соответственно с координатными осями ОX, OY и OZ .
Будем считать, что двусторонняя поверхность (S) задана явным уравнением z=z(x;y), причем z(x;y) и ее частные производные и существуют и непрерывны в простой области (D) плоскости XOY. Нормаль к поверхности (S) , как вектор, ортогональный к касательной плоскости, имеет координаты: , и направляющие косинусы нормали равны:
,
, (4)
Выбор знака перед радикалом соответствует острому или тупому углу нормали с соответствующей осью координат и определяет сторону поверхности (S).
Покажем, что . (5)
Пусть вначале выбрана верхняя сторона поверхности, и угол острый. Тогда по теореме о вычислении поверхностного интеграла второго рода
. (6)
С другой стороны,
.
Учитывая, что дифференциал площади , по теореме о вычислении поверхностного интеграла 1 рода получим
. (7)
Из равенства правых частей равенств (6) и (7) следует равенство левых, то есть получаем (5).
Заменяя верхнюю сторону поверхности нижней, мы тем самым меняем знак левой части равенства (5). Так как нормаль в этом случае направлена вниз, то угол будет тупым, значит, cos<0, и правая часть тоже поменяет знак. Следовательно, равенство сохранится.
Аналогично можно доказать и более общее соотношение
,
где P, Q, R – функции от (x;y;z), определенные в точках поверхности (S), и интегралы в правой и левой частях равенства существуют.
Подчеркнем, что справа стоят направляющие косинусы нормали, соответствующей той стороне поверхности, по которой берется интеграл слева.