5. Вычисление максимальных касательных напряжений, полного, нормального и касательного напряжений по заданной площадке.

1. Вычисление максимальных касательных напряжений

В теории упругости доказывается [1], что максимальные касательные напряжения действуют по двум взаимно перпендикулярным площадкам, расположенным под к главным площадкам, по которым действуют главные нормальные напряжения и .

Рис. 2.5. Максимальные касательные напряжения

2. Вычисление полного, нормального и касательного напряжений по площадке с заданными направляющими косинусами

Направляющие косинусы нормали к заданной площадке равны:

Рис. 2.6. Проекции полного напряжения на координатные оси

Проекции полного напряжения, действующего на заданной площадке, на координатные оси найдем по формулам, следующим из равновесия элементарного тетраэдра:

(2.0)

Рис. 2.7. К определению полного напряжения на заданной площадке по координатным составляющим

Полное напряжение на этой площадке найдем по формуле:

.

Нормальное напряжение по этой площадке определим, спроектировав координатные составляющие на нормаль к площадке:

.

Касательное напряжение на этой площадке найдем по теореме Пифагора (см. рис. 2 .8):

.

Рис. 2.8. Полное нормальное и касательное напряжения, действующие по заданной площадке

6. Определение составляющих тензора деформаций в исходной системе координат

Деформированное состояние в точке также является тензором, составляющие которого являются линейными и угловыми деформациями.

Составляющие тензора деформаций можно найти из закона Гука для объемного напряженного состояния по заданному тензору напряжений. Определим сначала модуль упругости при сдвиге:

.

Из закона Гука деформации в заданной точке по координатным осям и координатным площадкам (по ребрам и граням выделенного элементарного параллелепипеда) равны:

Здесь деформации вычислялись до пятого знака после запятой для того, чтобы при вычислении инвариантов деформированного состояния не возникли бы существенные ошибки, особенно при вычислении определителя в третьем инварианте .

Таким образом, тензор деформированного состояния имеет вид:

В качестве составляющих тензора напряжений записываются не полные касательные напряжения, а их половинные значения для того, чтобы матрица, изображающая тензор деформаций, была симметричной.

Рис. 2.4. Разные представления сдвиговых деформаций в плоскости XOY

Кроме этого такое представление тензора деформаций наглядно демонстрирует закон парности касательных напряжений.

7. Определение главных деформаций

Инварианты тензора деформаций вычисляются по тем же формулам, что и инварианты тензора напряжений:

Главные деформации, как и главные напряжения, определяются из уравнения ( 2 .0) (с заменой инвариантов):

.

Подставляя значения инвариантов деформированного состояния, получим:

Решая его по формулам Кордано, получаем:

.

Для проверки правильности расчета главных деформаций вычислим инварианты тензора деформаций в системе главных осей:

Инварианты тензора деформаций, как и инварианты тензора напряжений, вычисленные в системе главных осей, совпадают с инвариантами, вычисленными в исходной системе координат.

8. Определение направлений главных осей тензора деформаций

Как и при определении направляющих косинусов главных осей тензора напряжений, в системе уравнений

возьмем первые два и четвертое уравнения:

(2.0)

1. Вычисление направляющих косинусов

Подставляя в ( 2 .0) найденные выше значения деформаций для , получим систему уравнений:

Решая ее в такой же последовательности, как и в п. 5.3.1, найдем:

.

Углы, которые составляет эта ось с осями в исходной системе координат, равны:

2. Вычисление направляющих косинусов

Подставляя в ( 2 .0) найденные выше значения деформаций для , получим систему уравнений:

Корни этой системы уравнений равны:

.

Здесь выбраны отрицательные значения направляющих косинусов для того, чтобы новая система координат была правой.

Углы, определяющие направление второй главной оси равны:

.

3. Вычисление направляющих косинусов

Подставляя в ( 2 .0) найденные выше значения деформаций для , получим систему уравнений:

Корни этой системы уравнений равны:

.

Углы, определяющие направление третьей главной оси равны:

.

9. Сравнение матриц направляющих косинусов главных осей тензоров напряжений и деформаций

Матрица направляющих косинусов тензора напряжений равна:

.

Матрица направляющих косинусов тензора деформаций равна:

.

Матрицы практически совпадают, т.е. главные оси тензора деформаций совпадают с главными осями тензора напряжений, так и должно быть для изотропного тела.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. – М.: Высшая школа, 1990.

2. Акивис М.А., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. – М.: Наука, 1972.

3. Аргулис Г.Э., Дорогобит В.Г. Теория пластичности. – М.: Металлургия, 1987.

4. Рублев А.Н. Линейная алгебра. – М.: Высшая школа, 1968.

5. Усачев Г.К. Применение тензорной символики в анализе напряженного и деформированного состояний нагруженного тела. – Северодвинск: Севмашвтуз, 1998.

Определение напряжений

и деформаций по заданному тензору напряжений: Методические указания

к контрольной работе

для студентов заочной формы обучения

Составитель:

Усачев Георгий Константинович

Компьютерный набор и верстка автора

Подготовка к печати О.А. Мартиросян

Сдано в производство 25.05.2007 г. Подписано в печать 26.06.2007 г.

Уч.-изд. л. 0,57. Формат. 84х108 ¹/₁₆. Усл.- печ. л. 1,37.

Изд. № 1358. Заказ № 1333.

Центр научно-технической информации, технических средств обучения

и вычислительной техники Севмашвтуза