1. Задание и исходные данные

Рис. 1.4. Напряженное состояние в точке

Напряженное состояние в точке задается тензором напряжений в системе координат :

.

Задание

По заданному тензору напряжений

,

где № - номер варианта; многоточием отмечены касательные напряжения, равные по закону парности касательных напряжений ;

выполнить следующие расчеты:

1. вычислить инварианты напряженного состояния ;

2. вычислить главные напряжения ;

3. вычислить направляющие косинусы главных осей тензора напряжений

;

4. выполнить проверку правильности определения главных напряжений и положения главных осей;

5. рассчитать максимальные касательные напряжения и показать площадки, на которых они действуют;

6. рассчитать полное, нормальное и касательное напряжения по площадке с заданными направляющими косинусами:

,

где № - номер варианта; - нормаль к площадке;

7. вычислить составляющие тензора деформаций в исходной системе координат, приняв модуль Юнга и коэффициент Пуассона равными:

;

8. найти главные деформации ;

9. найти направляющие косинусы главных осей тензора деформаций;

10. сравнить значения направляющих косинусов для главных осей тензоров напряжений и деформаций. Если есть расхождения, то вычислить погрешность расчетов в процентах.

2. Пример расчета

Допустим, что в некоторой точке нагруженного тела (рис. 1 .4а) вычислены напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам. Если ввести систему координат так, чтобы координатные плоскости совпадали с этими площадками, то напряжения будут являться составляющими тензора напряжений в этой системе координат.

Исходные данные

1. Пусть задан следующий тензор напряжений:

.

2. Направляющие косинусы площадки, по которой нужно вычислить напряжения в соответствии с п. 6 задания, равны:

.

1. Определение инвариантов напряженного состояния

Инварианты напряженного состояния вычисляются по формулам ( 0 .0):

(2.0)

2. Определение главных напряжений

Главными напряжениями называются нормальные напряжения, действующие по площадкам, где отсутствуют касательные напряжения. Координатные оси, являющиеся нормалями к таким площадкам, называются главными осями тензора напряжений, а сами площадки – главными площадками.

Главные напряжения определяются из кубичного уравнения:

(2.0)

Подставляя численные значения инвариантов тензора напряжений из ( 2 .0), получаем:

Кубичное уравнение всегда имеет три корня. При этом встретиться два случая:

1. уравнение имеет один действительный корень и два комплексно сопряженных;

2. уравнение имеет три действительных корня.

Уравнения для определения главных напряжений и главных деформаций всегда имеют три действительных корня. Решать их можно по-разному.

1. Можно сначала определить подбором один из корней уравнения, а затем разложить левую часть уравнения ( 2 .0) на два сомножителя: линейный двучлен и квадратный трехчлен. После этого из решения квадратного уравнения определяются два оставшиеся корня.

2. Существует и аналитический способ решения, для этого используются формулы Кардано.

Воспользуемся вторым способом.

• Решение кубичного уравнения по формулам Кардано

Пусть задано кубическое уравнения:

(2.0)

После подстановки

(2.0)

получают приведенное кубичное уравнение:

(2.0)

Здесь и вычисляются по формулам:

(2.0)

Формулы Кардано для случая уравнения с тремя действительными корнями имеют вид:

(2.0)

(2.0)

Далее с помощью подстановки ( 2 .0) в ( 2 .0) находят корни исходного уравнения.

• Решение уравнения ( 2 .0):

(2.0)

Подстановка ( 2 .0) с новыми обозначениями получает вид:

. (2.0)

Здесь изменен знак второго слагаемого подстановки потому, что .

Подставляя ( 2 .0) в ( 2 .0) получим уравнение аналогичное ( 2 .0):

(2.0)

Здесь коэффициенты и вычисляются по формулам ( 2 .0):

Далее по формулам ( 2 .0) находим:

По формулам ( 2 .0) находим корни уравнения ( 2 .0):

Учитывая ( 2 .0), находим корни исходного уравнения ( 2 .0), являющимися главными напряжениями:

(2.0)

В соответствии с правилом индексации главных напряжений введены обозначения: - алгебраически максимальное напряжение; - алгебраически среднее (минимаксное) напряжение; - алгебраически минимальное напряжение.

Величины и вычислялись с точностью до третьего знака после запятой для того, чтобы в дальнейшем при решении систем уравнений, в которых от зависят величины коэффициентов, избежать возможных больших погрешностей, если встретятся малые разности больших величин.

Тензор напряжений в главных осях имеет вид:

.