1. Множини потужності континууму

Теорема 1.4.1 (Кантор). Множина точок сегмента не є зчисленною.

Доведення. Припустимо, що це ні так, тобто сегмент  зчисленна множина: =. Поділимо сегмент на три частини рівної довжини: , і і позначимо через той з них, що не містить елемент (якщо таких сегментів два, беремо будь-який з них). Поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . І так далі, якщо вибрано сегмент , поділимо сегмент на три частини рівної довжини і позначимо через той з них, що не містить елемент . Тепер зауважимо, що і довжина сегмента дорівнює 1/. Отже, внаслідок відомої теореми про вкладені сегменти, довжини яких прямують до нуля, існує елемент спільний всім сегментам , тобто . З іншого боку існує таке, що . Але, завдяки вибору сегментів , елемент . Одержана суперечність доводить теорему.

Означення 1.4.1. Множина А має потужність континууму, або потужність с, якщо А  .

Приклади множин потужності континууму.

1. Тому що , сегмент має потужність континууму.

2. Будь-який сегмент має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

3. Будь-який інтервал , будь-який півінтервал або має потужність континууму. Дійсно, завдяки властивості 4 потужності, вилучення одного або двох елементів з нескінченної множини не міняє потужності.

4. Множина  всіх дійсних чисел має потужність континууму, оскільки функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

5. Множина всіх ірраціональних чисел має потужність континууму, тому що множину можливо зобразити як різницю між множиною і множиною всіх раціональних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

6. Множина всіх трансцендентних чисел має потужність континууму, оскільки цю множину можливо зобразити як різницю між множиною і зчисленною множиною усіх алгебраїчних чисел. Отже, завдяки властивості 4 потужності, вилучення зчисленної множини не міняє потужності.

7. Множина  всіх додатних чисел має потужність континууму, тому що функція встановлює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

8. Очевидно, що піввісь має потужність с.

Властивості множин потужності континууму.

1. Об’єднання скінченної множини множин потужності континууму, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності континууму.

Доведення. Розглянемо півінтервали Вони попарно не мають спільних елементів і  Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, . Властивість доведена.

2. Об’єднання зчисленної множини множин потужності, які попарно не мають спільних елементів, є множиною потужності с .

Доведення. Розглянемо півінтервали . Вони попарно не мають спільних елементів і . Завдяки властивості 4 еквівалентних множин, . Властивість доведена.

3. Об’єднання не більш ніж зчисленної множини множин потужності континууму є множиною потужності континууму.

Доведення. Розглянемо випадок зчисленої множини множин . Нехай взаємно однозначна відповідність множини на півінтервал , і . Множини попарно не мають спільних елементів і . Оскільки , то завдяки властивості 4 еквівалентних множин, . З іншого боку . За теоремою Кантора-Бернштейна . Властивість доведена.