Приклад невимірної обмеженої множини.

Два числа будемо називати еквівалентними, якщо їх різниця є раціональне число. Через позначимо множину усіх чисел еквівалентних числу . Очевидно, що якщо числа еквівалентні, то . Різні класи не мають спільних елементів. Дійсно, якщо , то , а тоді . Отже числа еквівалентні і . Розглянемо множину усіх різних класів. Оскільки множина  незчисленнна, то використовуючи теорему Цорна, із кожного класу виберемо по точці і множину вибраних точок позначимо через .

Нехай усі раціональні числа сегмента записані у послідовність: . Позначимо через зсув множини на число , тобто , зокрема . Тоді

. (3.4.20)

Дійсно, нехай . Число попаде в клас . Нехай представником цього класу у множині буде число . Тоді різниця і є число раціональне, тобто . Отже число є зсув числа на величину , тобто .

Важливо, що множини і не мають спільних елементів, якщо . Дійсно, нехай . Тоді , де належать множини і, внаслідок означення класу , є представниками різних класів і . Але із зображення числа випливає, що різниця є раціональне число. Отже числа не можуть належати різним класам і . Одержана суперечність спростовує припущення, що множини і мають спільні елементи.

Нехай . Оскільки зсув множини , то . На підставі співвідношення (3.4.20) і властивості зовнішньої міри маємо

.

Отже,

. (3.4.21)

Оскільки , а , то кожна множина і отже . Тоді на підставі властивості внутрішньої міри дістаємо

.

Звідки випливає, що

. (3.4.22)

Із (3.4.21)  (3.4.22) випливає невимірність множини .

Зауваження 1. Якщо у приведеної побудові невимірної множини замість сегмента взяти довільну вимірну за Лебегом множину , додатної міри, то тиж самі міркування позволили би одержати невимірну множину .

3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри

Означення 3.6.1. Система множин  називається півкільцем, якщо вона містить порожню множину, перетин будь яких множин з , а також, якщо  , , то знайдуться попарно неперетинні множини такі, що

. (3.6.1)

Означення 3.6.2. Непорожня система множин  називається кільцем, якщо вона разом з будь-якими множинами  містить їх об’єднання, перетин і різницю.

Будь-яке кільце є півкільцем. Дійсно, так як  не порожня множина, то існує , отже , і очевидно виконується умова (3.6.1): достатньо взяти .

Множина системи множин називається одиницею системи , якщо до будь-якої множини з цієї системи

Приклади.

1. Нехай довільна множина, система множин є кільце.

2. Нехай довільна множина, система усіх підмножин множини є кільце.

3. У прикладах 1,2 множина є одиницею кільця.

4. Множина усіх відрізків є півкільце. Дійсно порожня множина є інтервал , перетин двох відрізків є відрізок і різниця двох відрізків є або відрізок або сума двох відрізків. Проте множина усіх відрізків не буде кільцем тому, що сума двох неперетинних відрізків не є відрізком.

5. Множина усіх елементарних множин із буде кільце. Це випливає з властивостей 1 – 4 елементарних множин. Одиниці немає, оскільки немає елементарної множини, що містить усі інші елементарні множини.

6. Множина усіх елементарних множин, що містяться у деякому сегменті , є кільце. Сегмент є одиниця кільця.

7. Множина усіх вимірних за Лебегом множин із буде кільце. Це випливає з властивостей 1 – 4 вимірних множин. Одиниця кільця є множина .

8. Множина усіх обмежених і вимірних за Лебегом множин із буде кільце без одиниці тому, що необмежена множина.

Означення 3.6.3. Кільце  називається -кольцом, якщо  разом з послідовністю містить їх об’єднання .

Означення 3.6.4. -кольцо  з одиницею називається -алгеброю.

Теорема 3.6.1. -алгебра  разом з послідовністю містить їх перетин .

Доведення. Нехай одиниця -алгебри  і  довільна послідовність множин із . Внаслідок співвідношень двоїстості . Оскільки  є -алгеброю, то права частина належить , отже і належить .

Завдяки цієї теореми -алгебру ще називають -алгеброю.

Зауваження 2. Внаслідок означення 3.5.4 і завдяки властивості 8 вимірних множин, множина усіх вимірних за Лебегом множин, що містяться у деякому інтервалі , буде -алгеброю, одиниця якої є інтервал .

Означення 3.6.5. Нехай  довільна система множин. Мінімальною (або найменшою) -алгеброю, що містить систему множин , називається перетин усіх -алгебр, що містять систему множин .

Мінімальна -алгебра існує. Нехай і (X) -алгебра усіх підмножин множини X. Перетин усіх -алгебр, що містяться у (X) і містять систему множин, і буде мінімальною -алгеброю.

Означення 3.6.6. Мінімальна -алгеброю, що містить систему усіх інтервалів, називається борельовою, а множини, що належать борельовою -алгебри, називається борельовами множинами.

Означення 3.6.7. Борельовами множинами відносно множини називається перетин , де довільна множина.

Зауваження 3. Із зауваження 1 і означення відносно борельових множин випливає, що -алгебра борельових відносно деякому інтервала , буде частиною -алгебри усіх вимірних за Лебегом множин, що містяться у інтервалі .

Зауваження 4. Так як -алгебра усіх вимірних за Лебегом множин містить усі інтервали, то із означення -алгебри борельових множин, як мінімальної -алгебри, що містить усі інтервали, випливає, що кожна борельова множина вимірна за Лебегом. Більш того потужність множини усіх борельових множин є континуум, а потужність множини усіх вимірних за Лебегом множин більша за континуум.