- •Теорія міри та інтеграла лебега
- •Глава I
- •1.1. Поняття множини, операції над множинами
- •Задачі.
- •1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
- •Задачі.
- •3.1. Зчислені множини та їх властивості
- •Множини потужності континууму
- •Двійкові дроби.
- •Приклади важливих множин потужності континууму.
- •5.1 Існування потужності більшої, ніж с
- •Застосування теореми Бернштейна
- •Задачі.
- •Глава II
- •Властивості відкритих і замкнених множин
- •Глава III
- •3.1. Елементарні множини та їх властивості
- •. Міра елементарних множин та її властивість
- •3.3 Поняття зовнішньої міри обмеженої множини і її властивості.
- •3.4 Поняття вимірної множини
- •3.5 Поняття внутрішньої міри обмеженої множини.
- •Приклади вимірних множин і невимірної множини.
- •Приклад невимірної обмеженої множини.
- •3.6. Поняття півкільця, кільця, -алгебри
- •3.7. Поняття вимірної множини в
- •Узагальнення поняття вимірності в
- •3.8 Загальне поняття міри
- •Глава iy
- •Означення вимірної функції.
- •4.2.1 Приклади вимірних функцій
- •4.3.1. Загальні властивості вимірних функцій
- •4.4.1. Властивості вимірних функцій пов’язані з алгебраїчними операциями
- •4.5.1. Граничний перехід у класі вимірних функцій
- •Глава y
- •5.1. Означення інтеграла Лебега для простої функції і його властивості.
- •Приклади простих функцій інтегровних за Лебегом
- •Властивості інтеграла Лебега від простих функцій
- •5.2. Інтеграл Лебега і його властивості у загальному випадку.
- •Властивості інтеграла Лебега у загальному випадку
- •5.3. Граничний перехід під знаком інтеграла Лебега
- •5.4 Порівняння інтегралів Рімана і Лебега
- •5.5. Інтеграл Лебега по множені нескінченної міри
Задачі.
1. Довести, що .
2. Довести, що .
3. Довести, що .
4. Довести, що .
5. Довести, що тоді і тільки тоді, коли .
6. Довести, що .
7. Довести, що .
8. Довести, що
9. Довести, що .
10. Довести, що , якщо і множини не перетинаються.
11. Довести, що .
12. Довести, що .
13. Верхня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать нескінченної системи множин .
14. Нижня границя послідовності є множина . Довести, що складається із елементів, що належать усім множинам за виключенням скінченної кількості.
1.2. Поняття відображення і взаємно однозначначної відповідності
Означення 1.2.1. Правило або закон, по якому кожному елементу а множини А ставиться у відповідність один елемент b множини В, називається функцією обо відображенням множини А в В .
Функція звичайно позначається літерою латинського або грецького алфавіту, наприклад, і писати : , або , при цьому елемент називається образом елементу , а елемент прообразом елемент . Множина називається образом множини і позначається символом . Якщо при перетворенні кожен елемент є образом деякого елементу то кажуть, що перетворює А на В і це позначають так , або . Множина називається прообразом множини і позначається символом .
Поряд з термінами «функція» і «відображення» будемо використовувати рівнозначні ім у деяких сітуаціях терміни «перетворення», «оператор», «відповідність».
Означення 1.2.2. Взаємно однозначною відповідністю множин А і В називається відображення множини А на В, яке різним елементам множини А ставить у відповідність різні елементи множини В .
В цьому випадку прообраз кожної одно елементної множини є відображення множини В на А, яке теж є взаємно однозначною відповідністю. Відображення і називаються взаємно оберненими.
Задачі.
1. Нехай , і. Доведіть наступні співвідношення:
,
,
.
2. Нехай , і . Доведіть наступні співвідношення:
,
,
.
Означення 1.2.3. Якщо для множин А і В можливо указати взаємно однозначну відповідність, то множини А і В називається еквівалентними. Еквівалентність множин А і В позначається символом: А В.
Властивості еквівалентних множин:
1. А А .
2. Якщо А В, то В А .
Ця властивість називається транзитивністю.
3. Якщо множини попарно не перетинаються, множини теж попарно не перетинаються і для будь якого , то
.
4. Нехай А В, деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то . Якщо довільна підмножина множини А, то .
5. Якщо А В, довільні підмножини множини А , такі що , деяке перетворення , що здійснює взаємно однозначну відповідність, то і
З останньої рівності випливає що , якщо , тобто . Дійсно, і Отже .
6. Теорема 1.2.1 (Теорема Кантора-Бернштейна). Нехай підмножина множини еквівалентна множині , а підмножина множини еквівалентна множині . Тоді .
Перед доведенням теореми Кантора-Бернштейна розглянемо лему, яка цікава сама по собі.
Лема 1. 2.1. Якщо і . Тоді .
Доведення. Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . З умови леми і означення множин випливає їх монотонність: . Дійсно, для , це умова леми. Припустимо, що , якщо . Тоді , тобто .
Далі, внаслідок властивості 5 еквівалентних множин,
і в загальному випадку:
Нехай . Оскільки , то
(1.1.1)
і
. (1.1.2)
Тепер зауважимо, що і доданки у правих частинах рівностей (1.1.1) (1.1.2) попарно не перетинаються. Окрім того . Отже, внаслідок властивості 3 еквівалентних множин, .
Доведення теореми Кантора-Бернштейна.
Нехай взаємно однозначне перетворення множини на . Покладемо . Отже і, внаслідок умови теореми і транзитивності еквівалентності, . Так як , то виконуються умови леми 2.1. Отже і за умовою теореми .
Означення 1.2.4. Множини А і В називається однієї потужності, якщо вони еквівалентні.
Означення 1.2.5. Потужністю скінченної множини А називається число елементів в множині А . Потужність множини А будемо позначати символом . Отже, якщо множина містить n елементів, то = n.
Так як скінченні множини А і В еквівалентні тоді і тільки тоді, коли число елементів у множинах А і В збігається, то всі множини, що мають однакову кількість елементів, однієї потужності.
Означення 1.2.6. Будемо вважати, що потужність множини А не менша потужності множини В, якщо існує підмножина множини А , яка еквівалентна множині В. Цей факт будемо позначати таким чином .
Означення 1.2.7. Будемо вважати, що потужність множини А більша потужності множини В, якщо існує підмножина множини А , яка еквівалентна множині В, проте множина А не еквівалентна множині В.
Те, що множина А має потужність більшу потужності множини В будемо позначати через .