- •Поняття множини. Способи подання множин
- •Задачі та вправи
- •Включення та рівність множин
- •Задачі та вправи
- •Операції над множинами
- •Задачі та вправи
- •Властивості операцій над множинами
- •Тепер доведемо, що
- •Задачі та вправи
- •Булеан множини
- •Задачі та вправи
- •Покриття та розбиття множини
- •Задачі та вправи
- •Декартів добуток множин
- •Задачі та вправи
- •Відношення
- •Задачі та вправи
- •Операції над відношеннями
- •Задачі та вправи
- •Відображення
- •Задачі та вправи
- •Види відображень
- •Задачі та вправи
- •Види бінарних відношень
- •Задачі та вправи
- •Відношення еквівалентності
- •Задачі та вправи
- •Фактор-множина
- •Задачі та вправи
- •Замикання відношень
- •Задачі та вправи
- •Відношення порядку
- •Задачі та вправи
- •Трансфінітна індукція
- •Задачі та вправи
- •Потужність множини
- •Задачі та вправи
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Символи та позначення
- •Предметний покажчик
- •Слова іншомовного походження
Задачі та вправи
І. Описати словами множини:
1) {x| x=2y+1, yN}, 2) {x| x=2y-1, yN},
3) {x| 10<x<100, x=5y, yN}, 4) {x| x=2y, yN},
5) {x| x=y2, yN, 1y10}, 6) {x| x=y2, yN},
7) {(x,y,z)| x,y,zR, x2+y2+z2>1}, 8) {x| 10y+9, yN},
9) {x| x=2y-1,yN, 1y100}, 10) {x| x=2y+1, yN, 1y10},
11) {(x,y,z)| x,y,zR, x2+y2+z2=1}, 12) {x| 1x100, xN},
13) {x| x=3y або x=5z, y,zN}, 14) {x| x=100y+7, yN, y0},
15) {x| x=11y або x=7z, y,zN}, 16) {x| x=3y+1, yN, 1y35},
17) {(x,y)| axb, ayb, a,bR}, 18) {(x,y)| x2+y2>1, x,yR},
19) {x| x=100y, x<1000, yN}, 20) {x| x=y2, yN, y3},
21) {(x,y,z)| x,y,zR, x2+y2+z2<1}, 22) {x| x=5y, yN},
23) {x| xZ, x>5 або x<0}, 24) {x| xZ, x3k, kN},
25) {x| xN, x ділиться на 2 й x ділиться на 5}.
ІІ. Записати множину B у явній формі.
1) A={2,4,6}, B={x| x=2y+1, yA}.
2) A={1,2,3}, B={x| x=z3+1, zA}.
3) A={1,2,3,4}, B={x| x=2y+3z,y,zA}.
4) A={0,1,2}, B={x| x=y-z, y,zA}.
5) A={4,8,9,15,16}, B={x| x=y2 + z-y, z,y,y2 A}.
6) A={2,3,4}, В={y| y=x2+z, x,zА}.
7) A={0,1,2}, B={x| x=y+2z, y,zA}.
8) A={0,2,3}, B={x| x=2(y-z), y,zA}.
9) A={0,1,4,5,9,10}, B={x| x=y2+3z+3, y2,zA}.
10) A={1,2,3,4}, B={x| x=2y+3z+1, y,zA}.
11) A={2,4,6}, B={x| x=3y-z+2, y,zA}.
12) A={1,2,3}, B={x| x=y2+z2, y,zA}.
13) A={1,2,3}, B={x| x=2y+z-2, y,zA}.
14) A={1,4,7}, B={x| x=5y-z+2, y,zA}.
15) A={0,1,2,3}, B={x| x=2y+5z-1, y,zA}.
16) A={-1,1,-2,2,}, B={x| x=y2+5z+1, y,zA}.
17) A={1,3,5,7}, B={x| x=2y+3z, y,zA}.
18) A={-3,0,1,2}, B={x| x=y-z, y,zA}.
19) A={4,8,9,15,16}, B={x| x=y2+z+y, z,y,y2 A}.
20) А={2,3,5,7}, B={x| x=z2+y-4, z=-y+3, yA}.
Включення та рівність множин
Нехай А та В – множини. Будемо говорити, що А включається у В, або А є підмножиною В (й позначати АВ), якщо кожен елемент множини А є елементом множини В, тобто для кожного х, якщо хА, то хВ. Використовується також й позначення ВА, що означає «В вклю-чає А» (або «В є надмножиною А»). Наприклад, ZQ, оскільки кожне ціле число є раціональним; RZ, тому що кожне ціле число є дійсним числом; множина А={2,4,1} є підмножиною множини В={-1,0,1,2,3,4}, оскільки для елементів 2, 4, 1 множини А виконується: 2В, 4В, 1В. Якщо для множин А та В твердження АВ не є істинним, будемо писати АВ. Наприклад, QZ, оскільки не кожне раціональне число є цілим; якщо X={а,b,c}, Y={b,c,d}, то ХY, тому що множина Х містить такий елемент (а саме, елемент а), якого немає у множині Y, тобто не кожен елемент множини Х є елементом множини Y (так само, як не кожен елемент множини Y належить множині Х, отже, YХ). Якщо увести позначення: (х) – «для кожного х» (або «для довільного х»), – «випливає» (або «слідує»), – «тоді й тiльки тоді, коли», то визначення включення множин можна записати таким чином: АВ (х) хА хВ.
Очевидно, що для будь-якої множини Х виконується ХХ. Доведемо, що для будь-яких множин X,Y,Z XY, YZ XZ. Для цього достатньо показати, що (х) хХ хZ. При доведенні будемо вико-ристовувати те, що XY та YZ. Отже, нехай хХ. Оскільки XY, то хY, але YZ, а тому хZ. Таким чином, ми показали, що для довіль-ного х хХ хZ. Коротко побудоване міркування можна записати так: хХ хY хZ.
Назвемо множини X та Y рівними (й позначимо Х=Y), якщо XY та YХ, тобто Х=Y ХY та YХ. Наприклад, множини А={3,7,2} та В={7,2,3} рівні, тому що АВ та ВА, оскільки для елементів множини А маємо: 3В, 7В, 2В, а для елементів множини В маємо: 7А, 2А, 3А. Якщо умова рівності множин Х та Y не виконується (тобто ХY або YХ), то будемо говорити, що множини Х та Y не рівні й писати Х≠Y. Наприклад, якщо Х={a,b,c}, Y={d,f,a}, то Х≠Y, оскільки ХY (а також YХ); множини {1,2,3} та N не рівні, оскільки N{1,2,3} (хоча {1,2,3}N).
Множина Х називається власною підмножиною множини Y, або Х строго включається в Y (позначається ХY), якщо ХY, але Х≠Y, тобто ХY ХY та Х≠Y. Наприклад, якщо А={a,b,c}, В={a,b,c,d}, то АВ, оскільки для елементів множини А маємо: аB, bB, cB, отже, АВ, але ВА, тому В≠А. Також ZQ, оскільки не кожне раціональне число є цілим (й тому QZ), тобто Z≠Q, хоча ZQ.
Через позначимо множину, що не містить жодного елементу, тобто (х) х. Така множина називається порожньою множиною. З визначення порожньої множини випливає, що А для будь-якої множини А. Дійсно, оскільки не має елементів, то умова х хА не порушується для жодного х. Зауважимо, що множина {} не є порожньою, оскільки містить один елемент (порожню множину), отже, ≠{}, але {}. Для множини A={a,b,c} маємо А, тому що серед елементів множини А немає елемента .