- •Поняття множини. Способи подання множин
- •Задачі та вправи
- •Включення та рівність множин
- •Задачі та вправи
- •Операції над множинами
- •Задачі та вправи
- •Властивості операцій над множинами
- •Тепер доведемо, що
- •Задачі та вправи
- •Булеан множини
- •Задачі та вправи
- •Покриття та розбиття множини
- •Задачі та вправи
- •Декартів добуток множин
- •Задачі та вправи
- •Відношення
- •Задачі та вправи
- •Операції над відношеннями
- •Задачі та вправи
- •Відображення
- •Задачі та вправи
- •Види відображень
- •Задачі та вправи
- •Види бінарних відношень
- •Задачі та вправи
- •Відношення еквівалентності
- •Задачі та вправи
- •Фактор-множина
- •Задачі та вправи
- •Замикання відношень
- •Задачі та вправи
- •Відношення порядку
- •Задачі та вправи
- •Трансфінітна індукція
- •Задачі та вправи
- •Потужність множини
- •Задачі та вправи
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Символи та позначення
- •Предметний покажчик
- •Слова іншомовного походження
Задачі та вправи
І. На даній множині А задати принаймні два відношення еквівалент-ності й побудувати відповідні фактор-множини.
1) А={a,b,c,d}, 2) A={!,~,$,%,*,&}, 3) A={1,2,3,a,b,c,d},
4) A=N, 5) A=Z, 6) A=Q,
7) A=R, 8) A =({1,2,3})2, 9) A=N2,
10) A=NN2, 11) A={3k| kZ}, 12) A={<x,y>|xN,yZ},
13) A – множина людей.
ІI. Для заданого відображення множини А={a,b,c,d} у множину В={1,2, 3,4,5} побудувати канонічний розклад.
1) F={<a,1>,<b,2>,<c,2>,<d,1>}, 2) F={<a,2>,<b,2>,<c,2>,<d,2>},
3) F={<a,3>,<b,5>,<c,4>,<d,1>}, 4) F={<a,1>,<b,2>,<c,3>,<d,4>},
5) F={<a,1>,<b,1>,<c,2>,<d,3>}, 6) F={<a,3>,<b,5>,<c,5>,<d,5>}.
ІІІ. Скільки можна побудувати двоелементних фактор-множин для множини, що має n елементів?
ІV. Описати фактор-множини, що визначаються відношеннями еквіва-лентності із завдань ІІ та ІІІ до розділу «Відношення еквівалентності».
Замикання відношень
Рефлексивним замиканням бінарного відношення R, заданого на множині А (позначається Rr), називається відношення Rr=iAR.
Симетричним замиканням бінарного відношення R, заданого на множині А (позначається Rs), називається відношення Rs=RR-1.
Нехай, наприклад, на множині А={1,2,3,4} задано відношення R={<2,3>,<3,3>,<2,1>,<1,3>}. Рефлексивним замиканням R є відношен-ня Rr={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<2,3>,<2,1>,<1,3>}, симетричним зами-канням R є відношення Rs={<2,3>,<3,3>,<2,1>,<1,3>,<3,2>,<1,2>, <3,1>}.
Транзитивним замиканням бінарного відношення R, заданого на множині А (позначається Rt або TC(R)), називається відношення Rt=RR2…Rn…, де Rn=R, якщо n=1, Rn=Rn-1R, якщо n>1.
Для обчислення транзитивного замикання деякого відношення зручно використовувати таку властивість. Нехай R – бінарне відношен-ня на множині А. Якщо для деякого n (n1) R…Rn = R…RnRn+1, то Rt=R…Rn. Для обгрунтування цього твердження достатньо показа-ти, що для усіх k>n+1 R…Rn = R…Rk за умови R…Rn = R…RnRn+1. Очевидно, що R…Rn R…Rk. Покажемо, що R…Rk R…Rn. Дійсно, <x,y>R…Rk існує число і (1іk) таке, що <x,y>Ri. Якщо іn+1, то <x,y>R…Rn. Нехай і>n+1, тоді маємо: <x,y>Ri <x,y>RnRi-n <x,y>Rn+1Ri-n-1 існує zА такий, що <x,z>Rn+1 та <z,y>Ri-n-1 <x,z>R…Rn, <z,y>Ri-n-1 існує число j<n+1 таке, що <x,z>Rj <x,y>Rj+i-n-1. Якщо j+i-n-1n+1, то включення доведено, інакше покладемо і1=j+i-n-1. Очевидно, що і1<і. Таким чином, можна побудувати скінченну послідовність чисел і, і1,…, іl, де іl – перше з чисел у послідовності, для якого il<n+1, <x,y>Rm, m{і, і1,…, іl}. Отже, <x,y>R…Rn.
Обчислимо транзитивне замикання Rt відношення R={<2,3>, <3,3>,<2,1>,<1,3>,<3,4>}, заданого на множині А={1,2,3,4}. Маємо: R2={<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<1,3>,<1,4>}. RR2={<2,3>,<3,3>,<2,1>, <1,3>,<3,4>,<2,4>,<1,4>}R, отже, обчислюємо R3=R2R. Маємо: R3={<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<1,3>,<1,4>}. Оскільки RR2R3={<2,3>, <3,3>,<2,1>,<1,3>,<3,4>,<2,4>,<1,4>}=RR2, то Rt=RR2.
З визначення транзитивного замикання відношення випливає, що для будь-якого бінарного відношення R на А xRty існує така скінченна послідовність x1,…,xn елементів множини А, що x1=x, xn=y, xiRxi+1, i{1,…,n-1}.
Рефлексивно-симетрично-транзитивним замиканням відношення R, заданого на множині А, назвемо відношення Rrst=ТС(іАRR-1).
Теорема 11. Нехай R – деяке бінарне відношення на множині А, Rе – будь-яке відношення еквівалентності на А таке, що RRе, Rrst – рефлексивно-симетрично-транзитивне замикання відношення R. Тоді RrstRе.
Доведення. Нехай <x,y>Rrst. Тоді <x,y>R або <x,y>R. Якщо <x,y>R, то, оскільки RRе, <x,y>Rе. Якщо <x,y>R, то для деякого і1 <x,y>(іАRR-1)i. Нехай i=1. Тоді <x,y>іА або <x,y>R-1. Якщо <x,y>іА, то <x,y>Rе, оскільки Rе рефлексивне. Якщо <x,y>R-1, то маємо: <x,y>R-1 <y,x>R <y,x>Rе <x,y>Rе. Нехай і>1 й <x,y>(іАRR-1)i. Це означає, що існують такі елементи х1,…,хі+1 множини А, що х1=х, у=хі+1, х1(іАRR-1)х2,…,хі(іАRR-1)хі+1, але тоді х1Reх2,…,хіReхі+1. Оскільки Re транзитивне, то х1Reхі+1, отже, хReу.