1.3. Подпространства и линейные оболочки

Определение 1.3 Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства , если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число.

Утверждение 1.1 Подмножество линейного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда для любой системы векторов в оно содержит их произвольную линейную комбинацию.

Доказательство. Упражнение.

Примеры. 1) В пространстве всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.

2) Множество всех решений однородной линейной системы есть, как мы видели в первом семестре, векторное пространство, которое будет ни чем иным, как подпространством арифметического пространства (где в данном случае есть число неизвестных системы).

3) В пространстве рассмотрим подмножество всех многочленов степени, не превосходящей некоторого фиксированного . Сумма любых двух таких многочленов снова есть многочлен из заданного множества, равно как и результат умножения такого многочлена на произвольное число остается в данном множестве многочленов. Следовательно, множество многочленов степени не выше является подпространством пространства . Можно доказать, что система многочленов является базисом этого подпространства (упражнение!), и, таким образом, размерность данного подпространства многочленов равна . Мы имеем здесь, стало быть, пример конечномерного подпространства бесконечномерного линейного пространства.

Определение 1.4 Линейной оболочкой системы векторов некоторого линейного пространства называется множество всех линейных комбинаций векторов системы.

Линейную оболочку будем обозначать . По определению тогда

В первом семестре мы определили понятие ранга системы векторов как наибольшего числа линейно независимых векторов системы. Нетрудно доказать следующий результат:

Утверждение 1.2 Ранг системы векторов равен размерности ее линейной оболочки.

Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов возьмем систему векторов, состоящую из некоторых двух ненулевых и неколлинеарных векторов . Тогда (для произвольных вещественных и ). Геометрически это множество векторов, параллельных плоскости векторов (любые два неколлинеарных вектора могут быть «положены» в некоторую плоскость, определенную однозначно с точностью до параллельного

переноса) - см. рис. 1.1.

Рис. 1.1

2) Пространство многочленов, рассмотренное выше, есть линейная оболочка системы степенных функций .

1.4. Преобразования базисов

Пусть задан в линейном пространстве некоторый базис . Тогда любой вектор может быть разложен единственным образом по базису (материал первого семестра!):

Введем новый базис . В этом базисе тот же самый вектор будет иметь уже другие координаты:

Возникает задача: связать между собой координаты произвольного вектора в двух различных базисах. Эту задачу будем называть задачей преобразования базисов.

Чтобы технически удобно решить эту задачу и подобные ей, введем в рассмотрение новый объект - векторную матрицу-строку. Это обычная матрица-строка, но ее элементами являются не числа, а векторы (из некоторого линейного пространства). Любую систему векторов можно задать в виде векторной матрицы строки.

Для векторной матрицы-строки определим умножение ее справа на обычную числовую матрицу размера для данного , равного числу векторов строки и произвольного следующим образом:

Таким образом, по определению, результатом умножения векторной матрицы строки справа на числовую матрицу будет новая векторная матрица-строка, число компонент которой равно числу столбцов матрицы , и каждая компонента вычисляется как умножение векторной строки на соответствующий столбец числовой матрицы по тому же правилу, что и в обычном матричном умножении, но только вместо числового умножения используется умножение вектора на число.

Легко доказать (по аналогии с доказательством ассоциативности умножения числовых матриц) следующее равенство:

(каковы бы ни были числовые матрицы и , произведение которых существует).

С использованием векторных матриц-строк удобно записывать разложение произвольных систем векторов по данному базису.

Пусть дан базис (в виде векторной матрицы-строки) и система векторов . Запишем разложение векторов системы по базису :

Или, с использованием векторных матриц-строк:

Нетрудно сообразить, что j-ый столбец матрицы - это столбец координат вектора в базисе .

Утверждение 1.3 Если система линейно независима, то столбцы матрицы линейно независимы.

Доказательство. Предположим противное - тогда найдутся числа , не все равные нулю, такие, что

,

или, покомпонентно:

С учетом этих равенств рассмотрим линейную комбинацию

Подставляя вместо каждого вектора , его разложение по базису , получим:

Итак, мы получили нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов, равную нулю, что невозможно.

Можно заметить, что, проводя рассуждения доказательства утверждения 1.3 в обратном порядке, получим, что верно и обратное: если столбцы матрицы линейно независимы, то система векторов линейно независима. Следовательно, для распознавания линейной независимости произвольной системы векторов конечномерного линейного пространства достаточно составить матрицу из столбцов координат векторов системы в произвольном фиксированном базисе и доказать линейную независимость этих столбцов, используя, например, метод элементарных преобразований (т.е., вычислив ранг составленной матрицы).

Для одного вектора его разложение по базису задается в виде:

, где - столбец координат вектора в базисе .

Вернемся к задаче преобразования базисов. Запишем разложение нового («штрихованного») базиса в старом (не «штрихованном»):

Матрица (квадратная порядка ) называется матрицей перехода от базиса к базису . Каждый ее столбец есть, как мы только что доказали, столбец координат соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. В силу утверждения 1.3 столбцы матрицы линейно независимы, тем самым ее ранг равен , и матрица является невырожденной.

Тогда для разложения вектора в новом базисе получим:

Отсюда по теореме о единственности разложения вектора по базису (первый семестр!)

Так как матрица не вырождена, то

Итак, чтобы вычислить столбец координат вектора в новом базисе, достаточно матрицу, обратную к матрице перехода, умножить на столбец координат вектора в старом базисе.

По контрасту заметим, что для того, чтобы получить сам новый базис (как векторную матрицу-строку), нужно старый базис умножить на саму матрицу перехода.

Таким образом, можно заметить, что сами базисы и координаты векторов в базисах при переходе от базиса к базису перевычисляются «зеркально» по отношению к друг другу.

Утверждение 1.4 1) Если - матрица перехода от базиса к базису , то обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису .

2. Если - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица перехода от базиса к базису , то - матрица перехода от базиса к базису .

Схематически:

Т T S

T^{- -1}

TS

Доказательство. Упражнение.

Со сложными преобразованиями базисов связана следующая задача: пусть векторы базисов и заданы своими координатами в некотором базисе (который сам может быть явно и не определен). Требуется найти матрицу перехода от к .

Составляем матрицы перехода от ки от к (по столбцам координат векторов базисов и ). Пусть это будут матрицы и соответственно. Тогда используя утверждение 1.4, легко получим (см. рис. 1.2):

A B

T

рис. 1.2