1.18. Гиперповерхности второго порядка

Мы будем использовать обозначение для арифметического пространства со стандартно введенным скалярным произведением (п. 1.6). В силу теоремы 1.3 и особенностей вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе мы можем отождествить с любое конечномерное евклидово пространство. Векторы этого пространства будем называть также его точками. «Базис» в этом разделе, если не оговорено противное, означает ортонормированный базис.

Определение 1.31 Гиперповерхность второго порядка в (-мерная гиперповерхность) есть множество точек , удовлетворяющее уравнению:

, (1)

где - некоторый фиксированный самосопряженный линейный оператор, - некоторый постоянный вектор, - некоторая вещественная константа.

Фиксируя какой-то базис , перепишем (1) в виде:

, (2)

где

,

.

Вместо (2) можно записать также

(3)

Таким образом, в уравнении гиперповерхности второго порядка (в каком бы виде мы его ни записали - (1), (2) или (3)) можно выделить три части: квадратичную форму, определенную некоторым самосопряженным оператором, линейную форму и числовую константу. Для размерностей 2 и 3 говорят о кривых и поверхностях второго порядка соответственно. Иногда и в общем случае мы будем говорить просто «поверхность» вместо «гиперповерхности». Гиперповерхности второго порядка называют еще и гиперквадриками.

Наша ближайшая цель состоит в построении классификации гиперповерхностей второго порядка на основе общего анализа уравнений (1)-(3). Тем самым будет строго обоснована (выведена) та чисто описательная классификация, которую мы рассматривали в первом семестре.

Приведем квадратичную форму, фигурирующую в уравнении поверхности к каноническому виду методом ортогональных преобразований (п. 1.15). Получим следующее представление уравнения (3):

, (4)

где

,

- собственные числа оператора , а - матрица соответствующего ортогонального преобразования, диагонализирующего указанный оператор.

Теперь рассмотрим следующие случаи.

Случай 1. Все собственные числа положительны, ранг квадратичной формы равен размерности пространства:

Тогда квадратичная форма положительно определена - гиперповерхности соответствующие этому случаю называются эллипсоидами.

Уравнение эллипсоида можно преобразовать, выделяя по каждой переменной полный квадрат:

,

или

, (5)

где

,

Положим в (5)

,

получим

(6)

Возможны следующие случаи ( и отвечающие им классы эллипсоидов):

1. 

В этом случае, положив , получим уравнение

(7)

Числа называются полуосями эллипсоида. При равенстве всех полуосей ( ) получаем гиперсферу радиуса .

В трехмерном случае (переобозначая переменные и полуоси) придем к известному из курса аналитической геометрии уравнению эллипсоида:

Если в последнем уравнении две из трех полуосей равны между собой, получаем поверхность, называемую эллипсоидом вращения.

В двумерном случае получаем обычный эллипс:

2. 

В этом случае аналогично уравнению (7) получим

(8)

Ясно, что (8) не может удовлетвориться в вещественной области. Определяемая этим уравнением поверхность носит название мнимого эллипсоида. Очевидно, мнимый эллипсоид не имеет ни одной точки в пространстве .

3. 

Здесь имеем

(9)

Уравнению (9) удовлетворяет только нулевой вектор. Эта поверхность, выродившаяся в точку, называется вырожденным эллипсоидом.

Итак, чтобы от исходного уравнения гиперквадрики (3), определяющий некоторый эллипсоид, перейти к уравнению (6), мы совершили два преобразования: первое, линейное, приводит задающую поверхность квадратичную форму к каноническому виду, выявляя ее ранг и сигнатуру; второе, нелинейное, а именно сдвиг на вектор , переносит начало координат в соответствующем аффинном пространстве начало координат в точку, координаты которой в каноническом базисе квадратичной формы совпадают с одноименными координатами указанного вектора переноса и которая называется центром данной поверхности. Подчеркнем, что этот перенос начала координат имеет место в такой форме только при совпадении ранга квадратичной формы с размерностью пространства. Гиперповрехности, имеющие центр, называются центральными. Как видим, эллипсоиды суть центральные поверхности.

Случай 2. Все собственные числа отличны от нуля, но среди них есть и положительные, и отрицательные; ранг квадратичной формы равен размерности пространства:

В этом случае получаем поверхности, именуемые гиперболоидами.

Гиперболоиды также являются центральными поверхностями, и общее уравнение гиперболоида легко, как и уравнение эллипсоида преобразовать к виду ( при !):

(10)

Величины называются полуосями гиперболоида. В трехмерном случае имеем два типа гиперболоидов:

1) однополостные - сигнатура квадратичной формы в (10) равна 1:

(однополостный гиперболоид с осью симметрии, совпадающей с осью ).

2) двуполостные - сигнатура квадратичной формы в (10) равна -1:

(двуполостный гиперболоид с осью симметрии, совпадающей с осью ).

В плоском случае получаем два вида гиперболы:

(с фокусами на оси абсцисс) и

(с фокусами на оси ординат).

В классе гиперболоидов можно выделить подкласс вырожденных поверхностей, называемых конусами. Этот случай (выделяемый иногда в особый, вне случая гиперболоидов) получается при (в уравнении вида (6)). Тогда вместо уравнения (10) будем иметь:

(11)

Трехмерный конус, ось симметрии которого совпадает с осью аппликат, задается уравнением:

При получаем круговой конус.

В двумерном случае конус вырождается в пару прямых:

Случай 3. Ранг квадратичной формы строго меньше размерности пространства:

В рамках этого соотношения ранга квадратичной формы и размерности пространства рассмотрим несколько подслучаев:

1. , т.е., .

Выделение полных квадратов в уравнении (4) теперь даст:

,

или

,

если обозначить

Положив в последнем уравнении

,

получим

(12)

Если в (12) , мы получим класс гиперповерхностей второго порядка, называемых параболоидами.

Если стоящая в (12) квадратичная форма имеет сигнатуру , то параболоид называется эллиптическим; в противном случае получаем гиперболический параболоид («седловую» поверхность).

В уравнении (12) можно сделать преобразование, заменив

и переписав (12) в виде:

(13)

Таким образом, исследуя уравнение параболоида, мы, как и в случае центральных поверхностей (эллипсоидов и гиперболоидов), совершили сначала линейное преобразование (ортогональное), перейдя базису, каноническому для квадратичной формы ранга , фигурирующей в исходном уравнении. После этого мы совершили нелинейное преобразование сдвига, перенеся начало координат в точку , которая называется вершиной параболоида. Заметим, что первые координат вершины суть координаты центра той центральной поверхности, которая определяется квадратичной формой ранга . Размерность этой поверхности будет также на единицу меньше размерности параболоида и составит . Для эллиптического параболоида эта поверхность является - мерным эллипсоидом, а для гиперболического - - мерным гиперболоидом.

Если размерность пространства равна двум, то параболоид превращается в обычную «школьную» параболу:

.

В трехмерном случае уравнение эллиптического параболоида, ось симметрии которого совпадает с осью аппликат, есть

В любом сечении плоскостью, перпендикулярной оси аппликат, мы получим эллипс - обычный, вырожденный (сечение плоскостью ) или мнимый (если , это будет сечение при отрицательном ). При возникает параболоид вращения (с осью вращения ).

Гиперболический параболоид («седло») имеет уравнение:

.

В любом сечении плоскостью, перпендикулярной оси аппликат, на сей раз получим гиперболу, вырождающуюся в плоскости в пару прямых. Сечения выше и ниже указанной координатной плоскости дадут пару сопряженных гипербол (т.е., гипербол, фокусы которых находятся на двух взаимно перпендикулярных осях).

Когда же в уравнении (12) , из уравнения исчезнет переменная , и мы получаем поверхность, именуемую центральным -мерным цилиндром.

В трехмерном пространстве (при условии, что образующая цилиндра перпендикулярна плоскости ) имеем:

- эллиптический цилиндр;

- гиперболический цилиндр.

Центр цилиндра - точка с координатами (в каноническом базисе квадратичной формы):

Эта точка есть не что иное как центр соответствующей центральной гиперповерхности (эллипсоида или гиперболоида), имеющей на единицу меньшую, чем сам цилиндр, размерность. Эта поверхность называется направляющей цилиндра. Так, для трехмерного эллиптического цилиндра направляющей будет эллипс (в частности, окружность - тогда получаем круговой цилиндр), для гиперболического - гипербола.

Заметим, что на плоскости цилиндр вырождается в пару параллельных прямых:

3.2. .

Вместо уравнения (12) получим тогда уравнение вида:

, (14)

причем, сумма, стоящая в скобках, содержит не менее двух слагаемых.

Полагая в (14)

,

получим (при условии, что хотя бы один коэффициент в сумме линейных слагаемых отличен от нуля) уравнение поверхности, которая называется параболическим цилиндром:

(15)

Последнее преобразование, приводящее к уравнению (15), не является, вообще говоря, ортогональным, но по теореме об ортогонализации полученный базис всегда можно преобразовать к ортонорму.

Если же в (14) линейная форма вырождается в нуль, получаем поверхность, которая будет центральным цилиндром размерности .

Так при и при невырожденной линейной форме получим параболический цилиндр с уравнением вида:

Образующая этого цилиндра совпадает с осью аппликат, тогда как направляющей будет парабола, определяемая (но уже в плоскости !) тем же уравнением.

В случае же нулевой линейной формы получим центральный цилиндр, выродившийся в пару параллельных плоскостей.

Мы полностью описали классификацию гиперповерхностей второго порядка.