- •Глава 1. Элементы линейной алгебры
- •1.1. Понятие линейного пространства
- •Единственность нулевого вектора
- •Единственность противоположного вектора
- •Результат умножения на нуль
- •Результат умножения на
- •Результат умножения произвольного числа на нулевой вектор
- •1.2. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Базис и размерность.
- •1.3. Подпространства и линейные оболочки
- •1.4. Преобразования базисов
- •1.5. Вещественное евклидово пространство
- •1.6. Ортогональные системы векторов
- •1.7. Линейные операторы
- •1.8. Алгебра линейных операторов.
- •1.9. Матрица линейного оператора
- •1.10. Ортогональное дополнение
- •1.11. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора.
- •1.12. Линейные формы
- •1.13. Билинейные и квадратичные формы
- •1.14. Сопряженный оператор. Самосопряженность
- •1.15. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
- •1.16. Квадратичные формы в евклидовых пространствах. Закон инерции
- •1.17.Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
- •1.18. Гиперповерхности второго порядка
- •1.19. Норма линейного оператора
1.15. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
Определение 1.26 Квадратная невырожденная матрица называется ортогональной, если обратная к ней совпадает с транспонированной.
Роль ортогональных матриц в теории евклидовых пространств проясняет следующая теорема:
Теорема 1.15 Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она является матрицей перехода от одного ортонорма некоторого евклидова пространства к другому.
Доказательство. Пусть - ортогональная матрица -ого порядка. Докажем, что ее столбцы образуют ортонормированный базис в .
Вычислим скалярное произведение -ого столбца на -ый:
,
так как транспонированный -ый столбец есть -ая строка транспонированной матрицы, совпадающей с обратной.
Рассматривая столбцы матрицы как столбцы координат в каноническом базисе, получим, что матрица есть матрица перехода от одного ортонорма (канонического базиса) в к другому (состоящему из столбцов данной матрицы).
Обратно, пусть и - два ортонорма в -мерном евклидовом пространстве, причем
.
Вычислим матрицу Грама для базиса (см. п.1.6):
,
так как матрица Грама любого ортонорма единичная. Отсюда, поскольку матрица , как матрица перехода, обратима, .
Теорема доказана.
Определение 1.27 Линейный оператор, действующий в конечномерном евклидовом пространстве, называется ортогональным, если он задается (в каком-то ортонорме) ортогональной матрицей.
Таким образом, по определению, оператор ортогонален, если в некотором ортонорме он задан ортогональной матрицей:
,
где
.
Легко доказать, что в любом ортонорме матрица ортогонального оператора ортогональна.
В самом деле, если ортонорм , то поскольку матрица ортогональна (теорема 1.15), то
Точно так же доказывается, что
Из доказанного сразу ( с учетом утверждения (6) теоремы 1.5 и следствия 1.4) вытекает:
Утверждение 1.21 Ортогональный оператор обратим, причем обратный к нему совпадает с сопряженным.
Теорема 1.16 Следующие условия равносильны:
-
- ортогональный оператор,
-
для любых векторов
-
.
Доказательство. Из условия (1) следует условие (3) (утверждение 1.21), а из этого последнего - условие (2):
Осталось доказать, что из (2) следует (1). Для этого докажем, что матрица(в произвольном ортонорме) оператора , сохраняющего скалярное произведение, обратима. Вычислим ядро оператора . Пусть для ненулевого вектора . Тогда , что невозможно. Итак, , т.е. из следует . Это значит, что система имеет только нулевое решение, откуда (первый семестр!) , т.е. матрица обратима. Тогда из условия сохранения скалярного произведения получим:
Так как это имеет место для любых векторов , то , а так как матрица обратима, то , и оператор является ортогональным.
Теорема доказана.
Замечание. Доказав тривиальность ядра оператора , мы могли бы также сослаться на утверждение 1.7, замечания, сделанные в конце п. 1.8, и на утверждение (6) теоремы 1.5.
В силу этой теоремы можно ортогональный оператор определить как оператор, сохраняющий скалярное произведение, или как оператор, у которого обратный совпадает с сопряженным.
Отсюда, в частности, следует, что самосопряженный ортогональный оператор обратен себе самому.
Ортогональные операторы (их называют также ортогональными преобразованиями) играют в линейной алгебре и ее приложениях очень важную роль. В заключение этого пункта мы дадим характеристику всех ортогональных матриц второго порядка.
Пусть матрица
ортогональна. Тогда должно выполняться:
Первая строчка из написанных трех следует из того, что столбцы ортогональной матрицы ортонормированны; вторая и третья - из условия равенства обратной и транспонированной матриц.
Из первых двух строк получаем:
1 случай: .
При получаем матрицу
,
причем , т.е., вся совокупность матриц в этом случае описывается так:
(1)
Если же , то поскольку , мы можем положить
для некоторого .
Матрица может быть тогда записана в виде:
(2)
2 случай: .
При получаем снова матрицу вида (1).
При аналогично предыдущему придем к матрице:
(3)
Остановимся на геометрической интерпретации выведенных матриц.
Матрица вида (1) есть либо матрица тождественного преобразования плоскости (точнее, множества геометрических векторов, лежащих в некоторой плоскости), либо «отражения» одной из осей, либо одновременного отражения обеих осей - поворота на 180).
Матрица вида (2) есть матрица поворота на угол с последующим отражением одной из осей.
Матрица (3) есть классическая матрица поворота на угол . Обратная к ней матрица
есть, естественно, матрица поворота на угол .
В частности, если , то матрица
является обратной к себе самой.