- •Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Теорема о совокупности первообразных. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.
- •Интегрирование подстановкой и по частям в неопределенном интеграле.
- •Инегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование некоторых тригонометрических функций и некоторых иррациональностей.
- •Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Понятие определенного интеграла.
- •7. Интегрирование подстановкой и по частям в опред интеграле
- •8. Теорема о производной от интеграла по переменному верхнему пределу.
- •9. Формула Ньютона – Лейбница.
- •10. Геометрические приложения определенных интегралов
- •11. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования
- •12.Дифференциальные уравнения 1 порядка.
- •13.Дефференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
- •14. Однородные д.У первого порядка.
- •15. Линейные д.У 1 порядка
- •19. Однородные д.У с постоянными коэффициентами.
- •Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами
- •20, Линейные неоднородные д.У. Теорема об общем решении.
- •22. Комплексные числа и действия над ними. Формы записи комплексных чисел, возведение в степень. И извлечение корня из комплексного числа.
- •Арифметические действия с комплексными числами
- •Алгебраическая форма записи комплексного числа
- •Извлечение корня квадратного из отрицательного числа
- •Возведение в степень комплексного числа
- •23. Понятие фнп. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке.
- •24. Частные производные. Производные высших порядков. Теорема о смешанных частных производных.
- •25. Дифференциал функции двух переменных.
- •26. Производная сложной функции.
- •27. Дифференцирование функции, заданной неявно.
- •28. Скалярное поле. Линии уровня. Производная по направлению.
- •29. Градиент и его свойства.
- •30. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
- •31. Квадратичная форма. Критерий Сильвестора. Достаточное условие экстремума.
- •32. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости числового ряда. Свойства числовых рядов.
- •33. Признаки сравнения для положительных числовых рядов.
- •34. Признак Даламбера.
- •35. Интегральный признак Коши.
- •36. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
- •37. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
- •38. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.
- •39. Формула Тейлора, ряд Тейлорв.
30. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции нескольких переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной:
Пусть функция z=f(x;y) определенная в некоторой области D точка N(x0;y0)D.
Точка х0, у0 называется точкой максимума функции z=f(х;y), если существует такая δ-окрестность точки (х0;у0), что для каждой точки (х;у), отличной от (х0;у0), из этой окрестности выполняется неравенство f(х;y)<f(х0;y0). Аналогично определяется точка минимума функции: для все точек (х;у), отличных от (х0;у0), из δ-окрестности точки (х0;у0) выполняется неравенство: f(х;y)>f(х0;y0).
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом (минимумом) функции. Максимум (минимум) функции называется экстремумом функции.
Теорема (необходимые условия экстремума): если в точке N(х0;у0) дифференцируемая функция z=f(x;y) имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю: f’х(х0;у0)=0, f’у(х0;у0)=0.
Замечание: функция может иметь экстремум в точках, где хотя бы одна из частных производных не существует.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z=f(x;y) равны нулю, т.е. f’х=0, f’у=0, называется стационарной точкой функции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называется критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума.
31. Квадратичная форма. Критерий Сильвестора. Достаточное условие экстремума.
Квадратичная форма — функция на векторном пространстве задаваемая однородным квадратным многочленом от координат.
Пусть L есть векторное пространство над полем K и{e1,e2,…,en} — базис в L.
Функция Q из L в K называется квадратичной формой если её можно представить в виде Q(x)=, где x=x1e1+x2e2+…+xnen= , а aij элементы поля K.
Связанные определения: 1)Матрицу (aij) называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. 1.1)В случае если характеристика поля K не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть aij = aji.
2)Для любой квадратичной формы Q существует единственная билинейная симметричная форма B, такая, что Q(x) = B(x,x) 2.1)Такую билинейную форму B называют полярной к Q. 2.2)Полярная форма может быть вычислена по формуле 4B(x,y)=Q(x+y)-Q(x-y). 2.3)Матрица квадратичной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.
3)Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе — вырожденной.
4)Квадратичная форма Q называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x≠0 Q(x) > 0 (Q(x) < 0).
4.1)Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными. 4.2)Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения. 4.3)Квадратичная форма Q называется полуопределенной, если A(x,x)≥0 (A(x,x)≤0)..
Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.
Критерий положительной определённости квадратичной формы
Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду – для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны.
1. «Необходимо» Имеется положительно определённая квадратичная форма. j-ый диагональный элемент положителен, так как k(x)>0 в том числе и для вектора со всеми нулевыми координатами, кроме j-ой. 2. «Достаточно» Имеется положительность миноров. Первый минор определяет знак первого диагонального элемента в каноническом виде. Знак отношения Mi+1/Miопределяет знак i+1-ого элемента в диагональном виде. Так получим, что в каноническом виде все элементы на диагонали положительные, то есть квадратичная форма определена положительно.
Критерий отрицательной определённости квадратичной формы – для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.
Доказательство сводится к предыдущему случаю, так как матрица A является отрицательно определённой тогда и только тогда, когда матрица − A является положительно определённой. При замене матрицы A на противоположную главные миноры нечётного порядка меняют знак, а главные миноры чётного порядка остаются такими же.
Теорема (достаточное условие экстремума): пусть в стационарной точке (х0;у0) и некоторой ее окрестности функции f(х;у) имеет непрерывное частные производные до второго порядка включительно. Вычислим в точке (х0;у0) значения А=f’’хх(х0;у0)=0, В=f’’ху(х0;у0)=0, С=f’’уу(х0;у0). Обозначим ∆=АС-В2. Тогда: 1. если ∆>0, то функция f(х;у) в точке (х0;у0) имеет экстремум: максим, если А<0; минимум, если А>0: 2. если ∆<0, то функция f(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет. 3. в случае ∆=0 экстремум в точке (х0;у0) может быть, может и не быть. Необходимы дополнительные исследования. Теорема принимается без доказательства.