Арифметические действия с комплексными числами

Сумма комплексных чисел:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) 

Разность комплексных чисел:

(a; b) - (c; d) = (a - c; b - d) 

Произведение комплексных чисел:

(a; b) * (c; d) = (ac - bd; ad + bc) 

Деление комплексных чисел:

(a; b) : (c; d) = ((ac + bd)/(c² + d²); (bc - ad)/(c² + d²)) 

Алгебраическая форма записи комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

(a; b) = a + bi  (1; 12) = 1 + 12i  (-1; -12) = -1 - 12i

В алгебраической форме записи комплексного числа a + bi, a называется действительной частью комплексного числа, bi называется мнимой частью комплексного числа, i называется мнимой единицей. Мнимая единица i равна корню квадратному из минус одного, значит квадрат мнимой единицы равен:

i² = -1 Мнимая единица i даёт нам возможность извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Извлечение корня квадратного из отрицательного числа

Извлечение корня квадратного из отрицательного числа:

ведь корень квадратный из минус единицы равен i, т.е. мнимой единице.

Возведение в степень комплексного числа

Возведение в степень комплексного числа делается ровно также, как и возведение в степень действительного числа. Надо лишь помнить, что мнимая единица в квадрате равна минус единице:

i² = -1

Возведём в квадрат комплексное число 2 + 7i, используя формулу сокращённого умножения (a + b)² = a² + 2ab + b²:

(2 + 7i)² = 2² + 2 * 2 *7i + (7i)² = 4 + 28i + (7)²(i)² = 4 + 28i + 49 * (-1) = -45 + 28i

23. Понятие фнп. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке.

24. Частные производные. Производные высших порядков. Теорема о смешанных частных производных.

Частные производные функции

в общем случае являются функциями от х и у. Если они дифференцируемы, точетыре частные производные, называемые частными производными второго порядка:

Аналогично вводятся частные производные третьего, ..., n -го порядка.

О: Частной производной n-го порядка называется частная производная первого порядка от частной производной(n-1) го порядка.

Т: Если частные производные, отличающиеся только порядком дифференцирования, непрерывны в т. М(х, у), то они равны между собой в этой точке

25. Дифференциал функции двух переменных.

Понятие функции двух переменных, а также понятия ее предела и непрерывности устанавливаются аналогично тому, как это делается для функции одного переменного. Частные производные функции z=f(x, у) определяются равенствами

где ?хz и ?уz - частные приращения функции, получаемые ею, когда изменяется лишь один из аргументов. Частные производные по каждому переменному отыскиваются по правилам, известным для функции одного аргумента, поскольку другой аргумент остается постоянным. Частные дифференциалы выражаются формулами

Полное приращение функции: дельта z=f(x+ дельта x; y+ дельта y)-f(x, y). Пусть в окрестности фиксированной точки (х, у) при переходе от нее к любой другой точке (x+ дельта x; y+ дельта y) полное приращение дельта z функции z=f(x, у) можно представить в виде где А и В - постоянные (соответствующие фиксированной точке), а, α, β - бесконечно малые при дельта х, дельта y→0; тогда величина А дельта х+В дельта у называется полным дифференциалом функции z в точке (х, у) и обозначается через dz. Полный дифференциал функции z есть часть ее полного приращения дельта z, линейная относительно приращений дельта х, дельта у независимых переменных. При малых дельта х, дельта у верно приближенное равенство dz≈ дельта z.

Из существования полного дифференциала следует существование частных производных, причем поэтому

Достаточное условие существования полного дифференциала dz в точке (х, у): функция г имеет в окрестности точки (х, у) частные производные ∂z/∂х, ∂z/∂y, непрерывные в самой точке (х, у). Функция, имеющая в данной точке полный дифференциал, называется дифференцируемой в этой точке.

Производные высших, порядков определяются так же, как для функции одного переменного. Производных второго порядка имеется четыре: