70. Запишем частное решение у*:

y* = x − ln(1 + ex )− e− x ln(1 + ex ), y* = x − (1 + e− x )ln(1 + ex ).

80. Запишем ответ – общее решение уравнения: y = y + y*,

y = c1 + c2e− x + x − (1 + e− x )ln(1 + ex ).

Пример 5.2.2. Найти общее решение дифференциального уравнения y''+ y = cos1 x .

6. Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа неопределенных коэффициентов

Продолжаем рассматривать методы решения уравнения. y''+ py + gy = f (x)

Как выяснилось на предыдущем занятии, метод Эйлера вариации произвольных постоянных, с помощью которого отыскиваются частные решения у*, связан с интегрированием функций c1 '(x) и c2 '(x), что представляет определенные практические

трудности. Имеются случаи, когда частное решение у* можно найти проще, не прибегая к интегрированию. Речь пойдет о широко применяемых в науке дифференциальных уравнениях, у которых правая часть имеет вид: f (x) = edx [Px (x)cos βx + Qm (x)sin β (x)] , где Px (x), Qm (x) - заданные многочлены одной или разных степеней.

Поставим в соответствие уравнению (6.1) с правой частью (6.2) число α ± β i и назовем его основным параметром уравнения.

Сконструируем функцию вида y* = edx [M n (x)cos βx + Nn (x)sin βx]xr ,

гдеMn (x), Nn (x) - многочлены степени n = max{k, m}, записанные пока с неопределенными коэффициентами (отсюда название метода);

r - кратность корня характеристического уравнения, равного параметру α ± βi .

31

Как видим, конструкция функции у* определяется как формой правой части уравнения – функцией f (x), так и видом левой его части – корнями характеристического уравнения. Доказано, что при соответствующем выборе значений коэффициентов для многочленов

Mn (x), Nn (x) функция у* является частным решением уравнения (6.1).

Втаблице 4 приведены различные формы правой части f (x) (частные случаи

α= 0, β = 0, α = β = 0 ) и соответствующие решения уравнения у*.

Пример 6.1. Для данных неоднородных уравнений подобрать частное решение у* в форме, соответствующей форме из таблицы 4.

32

Пример 6.2. Подобрать для данных неоднородных уравнений частное решение у* в форме, соответствующей форме из таблицы 4.

33

б) y* = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx ; в) y* = Axe−2 x ;

г) y* = (Acos 2x + B sin 2x)x ;

д) y* = (Ax3 + Bx2 )e4 x ;

е) y* = (Ax cos5x + Bx sin 5x)e3x .

Пример 6.3. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′ + 4 y' = x3 + 1.

10. Определим тип уравнения:

y′′ + 4 y' = x3 + 1 - линейное, неоднородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.

20. Запишем формулу общего решения: y = y + y * .

30. Найдём общее решение однородного уравнения - y : y''+4 y' = 0,

k 2 + 4k = 0, k1 = 0, k2 = −4,

y = c1 + c2e−4 x

40. Проведём анализ правой части уравнения: x3 + 1 = eox ((x3 + 1)cos ox + o sin 0x),

50. Вычислим основной параметр уравнения:

α ± βi = 0 .

60. Определим параметр r :

Основной параметр α ± βi = 0 является однократным корнем характеристического уравнения, следовательно r = 1.

70. Сконструируем частное решение – у*: y* = M 3 (x)x = (Ax3 + Bx2 + CX + D)x .

80. Вычислим коэффициенты функции у*: 8.1. Найдём производные от функции у*: y* = Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx,

(y *)'= 4Ax3 + 3Bx2 + 2Cx + D, (y *)''= 12Ax2 + 6Bx + 2C.

8.2. Поставим функцию у* и её производные в данное уравнение:

16 Ax3 + (12A + 12B)x 2 + (6B + 8C)x(2C + 4D) = x3 + 1 .

8.3. Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства:

34

16 A = 1,

12A + 12B = 0,

6B + 8C = 0,2C + 4D = 1.

8.4. Решим систему:

A = 161 , B = − 161 , C = 143 , D = 12829 . 90. Запишем частное решение у*: y* = 161 x4 − 161 x3 + 643 x2 + 12829 x .

100. Запишем ответ – общее решение уравнения: y = c1 + c2e−4x + 161 x4 − 161 x3 + 643 x2 + 12829 x .

Пример 6.4. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения y''+ y = 8sin x , удовлетворяющее условиям y(0) = 1, y' (0) = 0 .

10. y''+ y = 8sin x - линейное, неоднородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами, со специальной правой частью.

20. Запишем формулу общего решения y = y + y * .

30. Найдём общее решение однородного уравнения - y : y''+ y = 0,

k 2 + 1 = 0, k1,2 = ±i,

y = c1 cos x + c2 sin x .

40. Проведём анализ правой части уравнения: 8sin x = eox (o cos x + 8sin x),

α = 0, β = 1,

f (x) = p0 cos x + Q0 sin x.

50. Вычислим основной параметр уравнения:

α ± βi = ±i .

60. Определим параметр r :

Значения основного параметра ± i являются однократными корнями характеристического уравнениями, следовательно r = 1.

70. Сконструируем частное решение – у*: y* = (Acos x + B sin x)x .

80. Вычислим коэффициенты функции у*: 8.1. Найдём производные от функции у*: y* = Ax cos x + Bxsin x ;

(y *)'= (A + Bx)cos x + (B − Ax)sin x;

(y *)''= (2B − Ax)cos x + (2A − 8x)sin x

35

8.2. Поставим функцию у* и её производные в данное уравнение: 2B cos x − 2Asin x = 8sin x

8.3. Приравняем коэффициенты при подобных членах левой и правой части равенства:

2B = 0

− 2A = 8

8.4. Решим систему:

A = −4, B = 0

90. Запишем частное решение у*: y* = −4x cos x .

100. Запишем общее решение уравнения: y = (c1 − 4x)cos x + c2 sin x .

110. Найдём значения произвольных постоянных c1 и c2 :

y = (c1 − 4x)cos x + c2 sin x,

y'= (c2 − 4)cos x + (4x − c1 )sin x

При х=0, у=1, у’=0 имеем c1 = 1,c2 = 4 .

120. Запишем ответ – частное решение уравнения: y = (1 − 4x)cos x + 4sin x .

Пример 6.5. Найти общее решение дифференциального уравнения y''−2y'+2y = 2x .

Ответ: y = (c1 cos x + c2 sin x)ex + x + 1.

Пример 6.6. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения y''+4y'+4y = xe−2 x ,

36