- •1. Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия
- •1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах
- •2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка
- •2.2. Уравнения в полных дифференциалах
- •3.2. Уравнения Бернулли
- •5.2. Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера вариации произвольных постоянных
- •6. Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа неопределенных коэффициентов
- •7. Системы дифференциальных уравнений
- •7.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •Модуль 10. Кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •1.1. Объём цилиндрического тела
- •1.2. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •1.3. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах
- •1.4. Приложения двойных интегралов к задачам механики
- •1.5. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
- •1.6. Вычисление площади поверхности.
- •2. Тройной интеграл
- •2.1. Масса неоднородного тела
- •2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •2.3. Вычисления тройных интегралов в цилиндрических координатах.
- •2.4. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах
- •2.5. Приложение тройных интегралов.
- •Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •1. Криволинейные интегралы
- •1.1. Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)
- •1.3. Формула Грина
- •1.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •1.5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго типов
- •2. Поверхностные интегралы
- •2.1. Поверхностные интегралы первого типа
- •2.2. Понятие двухсторонней поверхности. Ориентация поверхности
- •2.3. Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
- •2.4. Связь поверхностных интегралов I и II типов
- •2.5. Формула Остроградского
- •3. Основные понятия теории поля
- •Список литературы
2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах
2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка
Функция y = f ( x1 , x2 , …, xn ) называется однородной функцией k – го порядка однородности относительно переменных x1 , x2 , ..., xn , если при любом t ≠ 0 справедливо равенство
f ( tx1 , tx2 , …, txn ) = tk f ( x1 , x2 , …, xn ) .
Пример 2.1.1. Определить порядок однородности функций:
а) f ( x, y ) = |
x2 + y 2 - функция 1 порядка однородности, т.к. |
|||||||
f ( tx,ty ) = |
( tx )2 + ( ty )2 = |
t2 x2 + t2 y2 = |
||||||
= t2 (x2 + y2 ) = t x2 + y2 = t f ( x, y ); |
||||||||
б) f ( x, y ) = cos |
x |
- функция нулевого порядка однородности, т.к. |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|||
f ( tx,ty ) = cos |
tx |
|
= cos |
x |
= |
f ( x, y ) ; |
||
ty |
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
в) f ( x, y ) = xy2 + x3 - функция третьего порядка однородности, т.к.
f ( tx, ty ) = tx ( ty )2 + ( tx )3 = t 3 xy 2 + t 3 x3 = = t 3 (xy 2 + x3 )= t 3 f ( x, y );
|
|
г) |
f ( x, y ) = |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
- функция нулевого порядка однородности, т.к. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x 2 + 5 y 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f ( tx, ty ) = |
|
|
|
|
|
|
tx ty |
|
= |
|
|
|
t 2 xy |
|
= |
|
|
xy |
|
|
|
= f ( x, y ) ; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
( tx )2 + 5( ty )2 |
|
t 2 x 2 + 5t 2 y 2 |
|
|
x 2 + 5 y 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
f ( x, y ) = e y2 |
|
- функция нулевого порядка однородности, т.к. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
( tx )2 |
|
|
|
|
|
− |
t2 |
x2 |
|
− |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
f ( tx, ty ) = e |
( ty )2 |
= e t2 |
y2 = e |
|
|
y2 = f ( x, y ) . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Однородную функцию нулевого порядка можно представить как функцию отношения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменных |
|
|
y |
|
или |
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Пример 2.1.2. Представить функцию f ( x, y ) = |
|
|
xy |
как функцию отношения переменных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 5 y2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y |
или |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
( xy ) : y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
f ( x, y ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
f |
|
|
|
||||||
|
|
|
x 2 + 5 y 2 |
|
|
( x 2 + 5 y 2 |
) : y 2 |
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
10
|
xy |
|
( xy ) : x 2 |
|
|
y |
|
|
|
|
y |
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||
f ( x, y ) = |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
= |
f |
|
. |
x 2 + 5 y 2 |
( x 2 + 5 y 2 ) : x 2 |
|
|
y 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
1 + 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
Дифференциальное уравнение Ι порядка y' = f ( x, y ) называется однородным дифференциальным уравнением, если его правая часть – однородная функция нулевого порядка,
|
y |
|
x |
|
y |
|||
т.е. функция отношения |
|
|
(или |
|
), или |
y' = f |
|
. |
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
x |
||||
|
y |
Уравнение, записанное в симметричной форме P( x, y )dx + Q( x, y )dy = 0 , является однородным уравнением, если функции P( x, y ) и Q( x, y ) - однородные функции одинакового порядка.
Пример 2.1.3. Среди данных уравнений указать однородные дифференциальные уравнения:
а) |
xy' = y(ln y − ln x ) ; |
в) |
( x 2 + y 2 + xy )dx = x 2 dy ; |
|||
б) |
xy'− y − xctg |
y |
= 0 ; |
г) |
( x + y )dx + ( x + y + 2 )dy = 0 . |
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
Решим первое уравнение:
а) xy' = y(ln y − ln x ) .
10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на x ; для выражения в скобках применим свойство логарифмов: разность логарифмов равна логарифму от частного, получим:
y' = xy ln xy .
20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения
f (x, y) = xy ln xy
является функцией нулевого порядка однородности, так как
f (tx,ty) = tytx ln tytx = xy ln xy = f (x, y),
то дифференциальное уравнение является однородным.
б) xy'− y − xctg xy = 0 .
10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на x ; выразим y′ , получим:
y' = xy + ctg xy .
20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения
f (x, y) = xy + ctg xy
является функцией нулевого порядка однородности, так как
f (tx,ty) = tytx + ctg tytx = xy + ctg xy = f (x, y),
то дифференциальное уравнение является однородным.
в) ( x 2 + y 2 + xy )dx = x 2 dy .
11
10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на x 2 dx ; выразим y′ , получим:
|
|
y |
2 |
y |
. |
|
y' = 1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
x |
|||||
|
|
x |
|
|
20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения
f (x, y) = 1 |
|
y 2 |
|
y |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
x |
||||
|
|
x |
|
является функцией нулевого порядка однородности, так как
ty 2 |
|
ty |
|
y |
2 |
y |
|
|||
f (tx,ty) = 1 + |
|
|
+ |
|
= 1 + |
|
|
+ |
|
= f (x, y) , |
|
tx |
|
x |
|||||||
tx |
|
|
x |
|
|
то дифференциальное уравнение является однородным.
г) ( x + y )dx + ( x + y + 2 )dy = 0 .
10. Преобразуем дифференциальное уравнение. Разделим обе части уравнения на ( x + y + 2 )dx ; выразим y′ , получим:
y' = |
x + y |
, |
|
|
x + y + 2 |
|
|||
|
|
|
||
y' = |
( x + y ) : x |
, |
||
( x + y + 2 ) : x |
||||
|
|
1 + y y' = x
1 + xy + 2x
20. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения
1 + |
|
y |
|
|
||
x |
|
|
||||
f (x, y) = |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
1 + |
y |
|
+ |
|
2 |
|
x |
|
x |
||||
|
|
|
|
не является однородной функцией, так как
|
|
1 + |
ty |
|
|
|
1 + |
|
y |
|
|
||
f (tx,ty) = |
|
tx |
|
= |
|
x |
|
≠ f (x, y), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ty |
|
2 |
|
|
y |
|
2 |
||||
1 |
+ |
|
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
+ |
|
|
|
tx |
tx |
|
x |
tx |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то дифференциальное уравнение не является однородным.
Любое однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными
подстановкой |
y |
= u( x ) , откуда y = ux, y' = u' x + u. |
|
x |
|||
|
|
Пример 2.1.4. Среди интегральных кривых уравнения
xy' = y(ln y − ln x )
найти ту, которая проходит через точку М(1,1). 10. Определим тип уравнения (таблица 1):
1.1. Преобразуем дифференциальное уравнение, получим:
y' = xy ln xy .
12
1.2. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения
|
f |
(x, y) = |
y |
ln |
y |
является функцией отношения |
y |
, то (по таблице 1) дифференциальное |
x |
|
x |
||||||
|
|
|
|
x |
|
|||
уравнение является однородным. |
|
|
||||||
20. Запишем подстановку: |
|
|
||||||
|
y |
= u( x ), |
y = ux, y' = u' x + u . |
|
|
|||
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
30. Осуществим подстановку в уравнение: u' x + u = u ln u .
40. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными. 4.1. Разделим переменные:
u' x = u(ln u − 1 ),
u' = |
1 |
u(ln u − 1 ), |
||||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||
du |
= |
|
1 |
|
u(ln u − 1). |
|||||
|
|
|
x |
|||||||
dx |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
du |
|
= |
dx |
. |
|||
|
u(ln u − 1 ) |
|
||||||||
|
|
x |
4.2. Проинтегрируем обе части равенства:
∫ |
du |
= ∫ |
dx |
, |
|
u(ln u − 1 ) |
x |
||||
|
|
|
ln ln u − 1 = ln cx .
4.3. Упростим результат интегрирования: ln u − 1 = cx,
u = ecx+1 .
50. Запишем общее решение (общий интеграл) уравнения:
xy = ecx+1 , y = xecx+1 .
60. Найдём значение произвольной постоянной: при x=1, y=1 получаем
ec+1 = 1, C + 1 = 0, C = −1 .
70. Запишем ответ – частное решение уравнения:
y = xe1− x .
Пример 2.1.5. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
xy'− y − xctg xy = 0 ,
удовлетворяющее начальным условиям x = 1, y = 0 .
Ответ: y = x arccos 1x .
Пример 2.1.6. Найти общее решение дифференциального уравнения
( x 2 + y 2 + xy )dx = x 2 dy .
13