- •1. Дифференциальные уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными
- •1.1. Дифференциальные уравнения I порядка. Общие понятия
- •1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах
- •2.1. Однородные дифференциальные уравнения I порядка
- •2.2. Уравнения в полных дифференциалах
- •3.2. Уравнения Бернулли
- •5.2. Неоднородные линейные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера вариации произвольных постоянных
- •6. Линейные неоднородные уравнения ІІ порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа неопределенных коэффициентов
- •7. Системы дифференциальных уравнений
- •7.1 Нормальная система дифференциальных уравнений
- •Модуль 10. Кратные интегралы
- •1. Двойной интеграл
- •1.1. Объём цилиндрического тела
- •1.2. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах
- •1.3. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах
- •1.4. Приложения двойных интегралов к задачам механики
- •1.5. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
- •1.6. Вычисление площади поверхности.
- •2. Тройной интеграл
- •2.1. Масса неоднородного тела
- •2.2. Вычисление тройных интегралов в декартовых координатах.
- •2.3. Вычисления тройных интегралов в цилиндрических координатах.
- •2.4. Вычисление тройных интегралов в сферических координатах
- •2.5. Приложение тройных интегралов.
- •Модуль 11. Криволинейные и поверхностные интегралы
- •1. Криволинейные интегралы
- •1.1. Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)
- •1.3. Формула Грина
- •1.4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
- •1.5. Связь между криволинейными интегралами первого и второго типов
- •2. Поверхностные интегралы
- •2.1. Поверхностные интегралы первого типа
- •2.2. Понятие двухсторонней поверхности. Ориентация поверхности
- •2.3. Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
- •2.4. Связь поверхностных интегралов I и II типов
- •2.5. Формула Остроградского
- •3. Основные понятия теории поля
- •Список литературы
Пример 14. Найти моменты инерции относительно координатных осей одного витка однородной винтовой линии
x = acost, y = asint, z = 2htπ , (0 ≤ t ≤ 2π).
Решение. Плотность кривой примем равной μ = μ0 . Расстояния от произвольной точки M(x, y, z) до осей координат
rx = y 2 + z2 , ry = x 2 + z2 , rz = x 2 + y 2 .
Отсюда
rx2 |
= a2 sin 2 t |
+ |
h 2t 2 |
, |
|
|
|
|
ry2 |
|
= a2 cos2 |
t + |
h 2t 2 |
|
, |
|
|
|
|
|
rz2 |
= a2 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4π2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4π 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dx |
= −a sin tdt , |
|
dy = a cos tdt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz = |
hdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
dl = (dx )2 + (dy )2 + (dz)2 = |
|
|
a2 + |
|
h 2 |
|
|
|
|
|
|
h 2 |
+ 4π2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4π2 dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2π |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
h |
2 |
t |
2 |
|
|
h |
2 |
+ |
4π |
2 |
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
I x |
= μ 0 |
∫ rx dl |
|
= μ 0 ∫ a |
|
sin |
|
t |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
AB |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
h 2 + |
4π2 a2 |
|
μ |
|
π + |
2πh 2 |
|
|
= μ |
|
a2 |
+ |
h 2 |
|
|
h 2 + 4π2 a2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
2π |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
аналогично |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
h |
2 |
+ 4π |
2 |
a |
2 |
|
2π |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
h |
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
h |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
= |
|
|
|
μ 0 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= = μ |
a |
|
+ |
|
|
|
+ 4π |
|
|
|||||||||||||||||||
I y |
|
|
2π |
|
|
|
a |
|
cos |
|
|
t |
|
4π |
2 |
|
dt |
|
0 |
2 |
3 |
|
h |
|
|
a |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a2 |
h 2 + 4π |
2 a2 |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫ dt = μ 0 a2 h 2 + 4π2 a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I z = |
|
|
2π |
|
|
|
μ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. При вычислении интегралов Ix, Iy мы воспользовались следующими преобразованиями:
2π |
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
||
∫ |
|
|
2 |
|
|
|
∫ |
1 |
− cos2t |
|
|
|
1 |
|
|
|
sin 2t |
||||||||
sin |
|
tdt |
= |
|
|
|
dt |
= |
|
|
t |
− |
|
|
|
|
= π, |
||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2π |
||||
∫ |
|
|
2 |
|
|
∫ |
1 + cos2t |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2t |
||||||||||
cos |
|
tdt |
= |
|
|
|
dt |
= |
|
|
|
|
t |
+ |
|
|
|
= π. |
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
00
2.Поверхностные интегралы
2.1.Поверхностные интегралы первого типа
Кпонятию интеграла по поверхности приводит, например, задача о вычислении массы, распределённой по поверхности σ с переменной поверхностной плотностью f(M).
Решим эту задачу.
84
z
σ
Mi
σi
y
x
Рис. 1
Разобьём поверхность σ произвольным образом на п частей σi (см. рис. .1) и выберем в каждой из них (также произвольно) точку Mi. Если части σi достаточно малы, то за их массу можно принять произведение f (M i ) σi = mi , i = 1, 2, …n , где σi – площадь i-го участка
поверхности (т.е. мы предполагаем, что каждый из участков σi однородный с плотностью f(Mi), где i = 1, 2, …, n), тогда масса всей поверхности
n
m ≈ ∑ f (M i ) σ i .
i = 1
Это значение тем точнее, чем меньше участки σi. Переходя к пределу при n → ∞, а значит, уменьшая размер каждого участка, получим точное значение массы поверхности
n
m = lim ∑ f (M i ) σ i .
n → ∞
(max σi → 0) i = 1
К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики, эти пределы называются
поверхностными интегралами первого типа.
Теорема. Если при стремлении диаметров всех частей σi к нулю интегральная сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности σ на части, ни от выбора точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается
∫∫ f (M )dσ = ∫∫ f (x, y, z)dσ
σ |
σ |
Заметим, что этот интеграл обладает всеми свойствами криволинейного интеграла первого типа и, в частности, если подынтегральная функция f(x, y, z) = 1, получаем формулу для вычисления площади поверхности σ
Sσ = ∫∫ dσ .
σ
Интегралу (2) можно придать механический смысл: если f(x, y, z) = μ — переменная плотность материальной поверхности σ, то масса этой неоднородной поверхности
m = ∫∫ μ(x, y, z)dσ .
σ
Выведем формулу для вычисления интеграла (2).
Пусть поверхность σ однозначно проектируется в область D плоскости хоу. Тогда
85
z |
N |
|
γ |
|
σ |
|
y |
x |
D |
|
Рис..2 |
dxdy = |
|
cos γ |
|
dσ, dσ = |
|
dxdy |
|
|
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
cos γ |
|
|
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где γ — угол между нормалью N к поверхности σ и осью OZ (см. рис. 2). Если поверхность σ описывается уравнением z = z(x, y), то
dσ = |
′ 2 |
′ 2 |
1 + (zx ) |
+ (zy ) dxdy |
Подставив этот дифференциал в (2), получим формулу для вычисления поверхностного интеграла по поверхности σ
∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f [x, y, z(x, y)] 1 + (zx ) |
+ (zy ) |
dxdy , |
′ 2 |
′ 2 |
|
σDxy
где Dxy – проекция поверхности на плоскость хоу.
Таким образом, чтобы вычислить поверхностный интеграл первого типа, необходимо перевести его в двойной интеграл по области D, полученной в результате проектирования поверхности σ на одну из координатных плоскостей (проектирование должно быть взаимно однозначным: одна точка поверхности проектируется в одну точку плоскости), подсчитать элемент dσ и выразить подынтегральную функцию через выбранные переменные.
Пример 1. Вычислить ∫∫12x 1 + 4y 2 + 4z2 dσ , где σ — конечная часть параболоида
σ
x = 1 − y 2 − z2 , отсечённая плоскостью х = 0.
Решение. Построим поверхность (см. рис. 3) и выберем координатную плоскость для проектирования. Очевидно, — это плоскость yoz, т. к. все точки параболоида однозначно проектируются в точки круга плоскости (на другие координатные плоскости будет проектироваться по две половины параболоида).
Подсчитаем элемент dσ поверхности x = 1 − y 2 − z2 , предварительно найдём частные производные
∂x |
= −2y , |
∂x |
= −2z ; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dσ = |
|
′ |
2 |
′ |
2 |
= |
1 + 4y |
2 |
+ 4z |
2 |
dydz . |
|
1 + (xy ) |
+ (xz ) dydz |
|
|
Переводим поверхностный интеграл в двойной по области Dyz (см. рис. 14.4), заменяя в подынтегральной функции “лишнюю” переменную х из уравнения поверхности
I = ∫∫12x |
1 + 4y 2 + 4z2 dσ = 12 ∫∫ (1 − y 2 − z2 )(1 + 4y 2 + 4z2 )dydz . |
σ |
Dyz |
86
z |
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
x |
ρ |
|
1 |
1 y |
||
|
|||
|
|
||
y |
|
|
|
Рис. 3 |
|
Рис.4 |
Вычисляем двойной интеграл в полярной системе координат, подставляя формулы перехода в подынтегральное выражение:
y = ρ cos ϕ , z = ρ sin ϕ , якобиан |
|
I |
|
= ρ , |
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2π |
1 |
|
|
|
|
ρ2 |
|
3ρ 4 |
|
4ρ 6 |
|
|
|
I = 12 ∫ dϕ∫ (1 − ρ2 )(1 + 4ρ2 )ρdρ = 12[ϕ]20π |
+ |
− |
|
|
= 14π. |
||||||||
|
4 |
6 |
|
||||||||||
0 |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
Пример 2. Вычислить массу цилиндрической поверхности z = 1 − y 2 , отсечённой плоскостями х = 0, х = 4, если плотность в каждой её точке есть функция μ(x, y, z) = z(x + y 3 ).
Решение. Построим поверхность (см. рис.5) и выберем координатную плоскость для проектирования. Из рисунка видно, что при проектировании поверхности на плоскость zoy получаем незамкнутую линию – полуокружность; на плоскость zox проектируются одновременно две части цилиндра, условие однозначности нарушается; и только на плоскости xoy получаем замкнутую область (см. рис. 6), причём одна точка цилиндра проектируется в одну точку прямоугольника.
z |
|
|
y |
|
1 |
|
|
|
|
o |
1 |
4 x |
o 1 |
4 x |
y |
Рис. 6 |
|
Рис.5 |
||
|
Подсчитаем дифференциал dσ = |
′ 2 |
′ |
2 |
; |
|||||||
1 + (zy ) |
+ (zx ) dxdy |
||||||||||
z = |
1 − y2 ; |
∂z |
= |
− y |
; |
∂z |
= 0; |
dσ = 1 + |
y2 |
dxdy |
= dxdy . |
|
|
∂y |
|
1 − y2 |
|
∂x |
|
|
1 − y2 |
|
1 − y2 |
Составим поверхностный интеграл и переведём его по формуле (14.5) в двойной интеграл по переменным х, у. Заменим лишнюю переменную z в подынтегральной функции, используя уравнение цилиндра
m = ∫∫ μdσ = ∫∫ z(x + y 3 )dσ = ∫∫ |
1 − y 2 (x + y 3 ) |
dxdy |
= |
||||||||
|
|||||||||||
σ |
σ |
|
|
Dxy |
|
|
|
|
1 − y 2 |
||
1 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
|
|
|
||
= ∫ dy ∫ (x + y 3 )dx = |
∫ dy |
|
x |
+ y 3 x |
|
= ∫ |
(8 + 4y 3 )dy = 16. |
||||
2 |
|||||||||||
− 1 |
0 |
− 1 |
|
|
0 |
− 1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: m = 16.
Пример 3. Найти центр масс однородной полусферы радиуса R.
Решение. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром сферы и плоскость хоу была основанием полусферы (см. рис. 7), тогда уравнение сферы примет вид
87
x 2 + y 2 + z2 = R 2
и соответственно уравнение полусферы
z = R 2 − y 2 − x 2 .
z
o R y
R
x
Рис.7
Координаты центра тяжести (центра масс) найдём по формулам
x c = |
M yz |
, y c = |
M |
xz |
, zc = |
M xy |
. |
mσ |
|
|
mσ |
||||
|
|
mσ |
|
Поскольку полусфера симметрична оси z, её центр масс находится на оси oz, т. е.
x c = 0, y c = 0, zc = |
M xy |
, |
|
mσ |
|||
|
|
где Мху – статический момент поверхности относительно плоскости хоу, тσ – масса полусферы.
Вычислим статический момент
M xy = ∫∫ z μdσ,
σ
где μ – плотность поверхности (по условию μ = const),
dσ = |
′ |
2 |
′ |
2 |
dxdy , |
|
|
|
|
|
|||
1 + (zx |
) |
+ (zy |
) |
|
|
|
|
|
|||||
z′ = |
−2x |
|
|
, |
z′ |
= |
|
|
−y |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
2 R 2 − x 2 − y 2 |
|
|
y |
|
2 R |
2 − x 2 − y 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x 2 |
+ y 2 |
|
|
|
|
|
|
Rdxdy |
|
|
|
dσ = |
1 + R 2 |
− x 2 − y 2 dxdy = |
R 2 − x 2 |
− y 2 |
; |
||||||||
M xy = μ ∫∫ R 2 − x 2 − y 2 |
Rdxdy |
=μR ∫∫ dxdy = μR πR 2 =μπR 3 |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
Dxy |
|
|
|
|
|
R 2 − x 2 − y 2 |
Dxy |
|
(здесь Dxy – круг радиуса R в плоскости хоу и двойной интеграл выражает его площадь S =
πR2).
m = ∫∫ μdσ = μ∫∫ dσ = μ 2πR2 ,
σ |
σ |
т. к. μ = const, а площадь полусферы известна (площадь сферы 4πR2).
Окончательно zc = μπR 3 = R .
μ2πR 2 2
Ответ: zc = R2 .
88