- •Раздел 1. Теория вероятности
- •Глава 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей Параграф 1. Понятие о случайном событии
- •Параграф 2. Действия над событиями
- •Параграф 3. Классическое определение вероятности
- •Параграф 4. Статистическое определение вероятности
- •Параграф 5. Геометрическое определение вероятности
- •Параграф 6. Элементы комбинаторики
- •Параграф 7. Теоремы произведения вероятностей
- •Параграф 8. Теоремы сложения вероятностей
- •Параграф 9. Формула полной вероятности
- •Параграф 10. Формула Байеса
- •Глава 2. Повторные независимые испытания Параграф 1. Формула Бернулли
- •Параграф 2. Формула Пуассона
- •Параграф 3. Локальная теорема Муавра-Лапласа
- •Параграф 4. Интегральная торема Муавра-Лапласа
- •Глава 3. Случайные величины Параграф 1. Понятие случайной величины
- •Параграф 2. Действия над случайными величинами
- •Параграф 3. Дискретная случайная величина
- •Параграф 4. Функция распределения
- •Параграф 5. Непрерывная случайная величина
- •Параграф 6. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
- •Глава 4. Основные законы распределения Параграф 1. Биномиальный закон распределения
- •Параграф 2. Закон распределения Пуассона
- •Параграф 3. Геометрическое распределение
- •Параграф 4. Гипергеометрическое распределение
- •Параграф 2. Дискретная многомерная случайная величина
- •Параграф 3. Функция распределения многомерной случайной величины
Параграф 6. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс
Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение.
Медианой непрерывной случайной величины называется такое ее значение, для которого:
Квантилем уровня называется такое значение случайной величины, при котором функция ее распределения принимает значение, равное:
Начальным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание-й степени этой величины:
Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание-й степени отклонения случайной величиныот ее математического ожидания:
Глава 4. Основные законы распределения Параграф 1. Биномиальный закон распределения
Дискретная случайная величина имеетбиномиальный закон распределения, если она принимает бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями:
–вероятность того, что событие наступитраз внезависимых испытаниях;
–сочетания из элементов по;
–постоянная вероятность наступления события ;
–постоянная вероятность того, что событие не наступит;
–число независимых испытаний, в котором появилось событие ;
–общее число независимых испытаний.
Ряд распределения биномиального закона:
Теорема 1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по биномиальному закону:
Доказательство.
Теорема доказана.
Пример 1.
Параграф 2. Закон распределения Пуассона
Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона, если она принимает бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями:
–вероятность того, что событие наступитраз внезависимых испытаниях;
–среднее значение числа появления события принезависимых испытаниях.
–число независимых испытаний, в котором появилось событие ;
–общее число независимых испытаний.
Ряд распределения закона Пуассона:
Теорема 1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , распределенной по закону Пуассона:
Доказательство.
Теорема доказана.
Пример 1.
Параграф 3. Геометрическое распределение
Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение, если она принимает бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями:
–вероятность того, что событие наступитраз внезависимых испытаниях;
–постоянная вероятность наступления события ;
–постоянная вероятность того, что событие не наступит.
Ряд геометрического распределения:
Теорема 1. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины , имеющей геометрическое распределение:
Доказательство.
Теорема доказана.
Пример 1.
Параграф 4. Гипергеометрическое распределение
Параграф 5. Равномерный закон распределения
Параграф 6. Показательный закон распределения
Параграф 7. Нормальный закон распределения
Параграф 8. Логарифмически-нормальное распределение
Параграф 9. распределение
Параграф 10. Распределение Стьюдента
Параграф 11. Распределение Фишера-Снедекора
Глава 5. Многомерные случайные величины
Параграф 1. Понятие многомерной случайной величины
Очень часто результат испытания характеризуется не одной случайной величиной, а некоторой системой случайных величин , которая называетсямногомерной случайной величиной.
Случайные величины входящие в систему, могут бытьдискретными.
Пример 1. Успеваемость ученика вуза: оценками по различным дисциплинам, проставленным в приложение к диплому.
Случайные величины входящие в систему, могут бытьнепрерывными.
Пример 2. Погода в данном месте в определенное время суток: температурой, влажностью, давлением, скоростью ветра.
Закон распределения дискретной многомерной случайной величины может быть изображен графически случайной точкой или случайным вектором в n-мерном пространстве.