Параграф 2. Действия над случайными величинами

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Пример 1. Случайные величины, выражающие выйгрыш по каждому билету двух различных денежных лотерей.

Две случайные величины называются зависимыми, если закон распределения одной из них меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина.

Пример 2. Случайные величины, выражающие выйгрыш по каждому билету одной денежной лотереи.

Произведением дискретной случайной величины на постоянную величину, есть произведение этой постоянной на каждое возможное значение этой дискретной случайной величиныс теми же вероятностями:

Пример 3.

Возведение в степень дискретной случайной величины , есть возведение в степень каждого возможного значения этой дискретной случайной величиныс теми же вероятностями:

Пример 4.

Суммой двух независимых дискретных случайных величин, есть сумма их всех возможных значений друг на друга, с произведениями их вероятностей.

Пример 5.

Произведением двух независимых дискретных случайных величин, есть произведение их всех возможных значений друг на друга, с произведениями их вероятностей.

Пример 6.

Параграф 3. Дискретная случайная величина

Ряд распределения дискретной случайной величины:

Свойства закона распределения случайной дискретной величины:

Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений, которые может принять дискретная случайная величина, равна единице.

Доказательство.

События , состоящие в том, что в результате испытания случайная величинапримет соответственно значения, являются несовместимыми и единственно возможными, так как в таблице перечислены все возможные значения случайной величины, а значит, образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице.

Свойство доказано.

Закон распределения дискретной случайной величины может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую полигоном распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Математическим ожиданием или средним значением дискретной случайной величиныназывается сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности.

–математическое ожидание дискретной случайной величины ;

–возможное значение дискретной случайной величины ;

–вероятность возможного значения дискретной случайной величины .

Свойства математического ожидания дискретной случайной величины :

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Доказательство.

Постоянную величину можно рассматривать как величину, принимающую значениес вероятностью 1. Поэтому:

Свойство доказано.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Доказательство.

Так как случайная величина принимает значения, то:

Свойство доказано.

Свойство 3. Математическое ожидание суммы дискретных случайных величин равна сумме математических ожиданий этих дискретных случайных величин:

Доказательство.

Свойство доказано.

Свойство 4. Математическое ожидание произведения независимых дискретных случайных величин равна произведению этих дискретных случайных величин:

Доказательство.

Свойство доказано.

Свойство 5. Если все значения дискретной случайной величины увеличить или уменьшить на постоянную , то на эту же постоянную увеличется или уменьшится математическое ожидание этой дискретной случайной величины:

Доказательство.

Учитывая свойства 3 и 1 математического ожидания, получим:

Свойство доказано.

Свойство 6. Математическое ожидание отклонения дискретной случайной величины от ее математического ожидания равна нулю:

Доказательство.

Пусть постоянная есть математическое ожидание. Тогда, используя свойство 5, получим:

Свойство доказано.

Дисперсией или разбросом дискретной случайной величиныназывается математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

–дисперсия дискретной случайной величины ;

–математическое ожидание дискретной случайной величины ;

Свойства дисперсии дискретной случайной величины :

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

Доказательство.

Учитывая свойство 1 математического ожидания, получим:

Свойство доказано.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

Доказательство.

Учитывая свойство 2 математического ожидания, получим:

Свойство доказано.

Свойство 3. Дисперсия дискретной случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата дискретной случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

Докозательство.

Учитывая свойства 2 и 3 математического ожидания получим:

Свойство доказано.

Свойство 4. Дисперсия суммы независимых дискретных случайных величин равна сумме их дисперсий:

Доказательство.

Свойство доказано.

Свойство 5. Дисперсия разности независимых дискретных случайных величин равна сумме их дисперсий:

Докозательство.

Свойство доказано.

Средним квадратическим отклонением или стандартом дискретной случайной величиныназывается значение квадратного корня из ее дисперсии:

–среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины ;

–дисперсия дискретной случайной величины .

Пример 1. В денежной лотерее 1 выйгрыш в 1000 рублей, 10 выйгрышей по 100 рублей и 100 выйгрышей по 10 рублей, при общем числе билетов 1000. Найти закон распределения случайного выйгрыша для владельца одного лотерейного билета, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонениеи построить полигон распределения вероятности.

Решение.

Возможные значения для .

Вероятности возможных значений :

–вытянут лотерейный билет в 0 рублей;

–вытянут лотерейный билет в 10 рублей;

–вытянут лотерейный билет в 100 рублей;

–вытянут лотерейный билет в 1000 рублей.

События ,образуют полную группу несовместимых и равновозможных событий.

; ;;;

	0	10	100	1000
	0,889	0,1	0,01	0,001