Параграф 3. Классическое определение вероятности

События называются равновозможными, если в результате испытания по условии симметрии ни одно из этих событий не является объективно более возможным.

Пример 1. Выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; выпадение того или иного количества очков при одном бросании игральной кости являются равновозможными, так как обладают условиями симметрии; вытягивание карты из колоды так же является равновозможным событием.

Несколько событий образуют полную группы событий для данного испытания, если его результатом становится хотя бы одно из них.

Пример 2. Выпадение герба и выпадение цифры при одном бросании монеты; попадание в цель и промах при одном выстреле; выпадение того или иного количества очков при одном бросании игральной кости.

События образующие полную группу несовместимых и равновозможных событий, называются элементарными событиями.

Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие – появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков соответственно. Событияобразуют полную группу несовместных и равновозможных событий т.е. являются элементарными событиями, так как являются несовместимыми и равновозможными.

Событие называетсяблагоприятствующим событию , если наступление событиявлечет за собой наступление события.

Пример 3. Испытание: однократное бросание игральной кости. Событие – появление двух, четырех, шести очков соответственно; событие– появление четного числа очков. Событияблагоприятствуют событию.

Вероятностью события называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных событий.

–вероятность события ;

–число элементарных событий, благоприятствующих событию ;

–число всех элементарных событий.

Пример 4. Найти вероятность выпадения цифры при одном бросании монеты.

Решение.

–выпадение цифры;

–выпадение орла.

События иобразуют полную группу несовместимых и равновозможных событий.

; ;

Ответ: .

Свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство.

Достоверному событию должны благоприятствовать все элементарных событий, т.е.:

Свойство доказано.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство.

Невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из элементарных событий, т.е. :

Свойство доказано.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательство.

Случайному числу благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных событий:

Свойство доказано.

Свойство 4. Вероятность любого события:

Доказательство.

Вероятность любого события есть сумма невозможного, случайного и достоверного событий, а значит и сумма их интервалов:

Свойство доказано.

Параграф 4. Статистическое определение вероятности

Число событий благоприятствующих событию называетсяабсолютной частотой события , т.е. число испытаний, в котором появилось событие.

Отношение абсолютной частоты события к общему числу испытанийназываетсяотносительной частотой события .

–относительная частота события ;

–число независимых испытаний, в котором появилось событие ;

–общее число независимых испытаний.

Статистической вероятностью события называется число, около которого группируются значения относительной частоты при большом количестве испытаний.

Пример 1. В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность поражения цели этим стрелком?

Решение.

–поражение цели стрелком.

; ;

Ответ: 0,95.