3. Средние величины

3.1. Виды средних величин и их расчеты

Средняя величина представляет собой обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Средние величины исчисляются для характеристики уровня цен, з/п, основного капитала, численности населения и др. однородной совокупности социально-экономических явлений.

Требования, предъявляемые к средним величинам:

• средняя должна характеризовать качественно однородную совокупность;

• средние должны исчисляться по данным большого числа единиц составляющих совокупность, т.е. отображать массовые социально-экономические явления.

Для более глубокого научного анализа изучаемых явлений исчисляют средние величины не только всей совокупности, но и по составляющим эту совокупность. Задача статистики состоит в том, чтобы дать смысловую социально-экономическую оценку результатам расчетов средних показателей.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же размерность, что и признак у единиц совокупности.

В экономических исследованиях применяются две категории средних: степенные средние и структурные средние.

Таблица 3.1.

Виды средних величин

Наименование средней	Формула средней
	простоя	взвещенная
Арифметическая
Гармоническая
Геометрическая
Квадратическая

х – индивидуальное значение признака,

n – число значений признака.

К степенным средним относятся, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая и средняя квадратическая средняя обозначается через . Черта в верху символизирует процесс осреднения индивидуальных значений. Частота – повторяемость отдельных значений признака – обозначается буквойf.

Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задач исследования и наличия исходной информации.

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда варианты или варьирующие признаки встречаются только по одному разу и имеют одинаковый вес в совокупности. Средняя арифметическая взвешенная используется когда данные сгруппированы, а отдельные значения признака встречаются не одинаковое число раз.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая вычисляется в тех случаях, когда в качестве весов применяются не единицы совокупности, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. М=хf).

Средняя гармоническая простая исчисляется в тех случаях, когда веса одинаковы, т.е. равны между собой.

Средняя геометрическая простая используется при вычислении среднего коэффициента роста (темпа роста) в рядах динамики.

Средняя квадратическая используется для расчетов среднего квадратического отклонения () при изучении темы «показатели вариации».

Для вычисления средней в дискретных рядах варианты нужно умножить на частоты и сумму произведений разделить на сумму частот, т.е. по средней арифметической взвешенной: .

Для вычисления средней в интервальных рядах нужно перейти к дискретному ряду, т.е. по каждой группе вычислить значение интервала, заменить интервал его средним значением, и вычислить по формуле: .

Для того, чтобы проверить правильность выбора формул надо учитывать:

• среднее значение признака не должно выходить за пределы минимального и максимального значения признака совокупности ;

• среднее значение ближе к тому значению признака, которому соответствует частота.

Степенные средние дают обобщающую характеристику совокупности и являются абстрактными величинами полученные расчетным путем, в тоже время эти средние не отражают всех особенностей совокупности, они могут быть различными для одинаковых совокупностей или иметь одинаковое значение для совокупности с различными строением.

Структурные средние используются ля более полной характеристики совокупности. К ним относятся:

Мода – это варианта с наибольшей частотой (М₀);

Медиана – это варианта делящая совокупность на две равные части (М_е).

Квартили – это варианта делящая совокупность на четыре равные части;

Децили – это варианта делящая совокупность на десять равных частей.

Выбор вида средней величины в каждом конкретном случае определяется целью исследования и характером имеющихся данных.

Для дискретного ранжированного ряда, значения признака расположены в порядке возрастания или убывания место медианы в ряду определяют по формуле: ,

где n-число членов ряда.

Если же ряд распределения состоит из четного числа членов, это за медиану принимают среднюю арифметическую из двух средних значений.

В интервальном ряду мода определяется по формуле:

,

где хм₀ – нижняя граница модального интервала;

fм₀ – частота модельного интервала;

f(м_0-1) – частота интервала, предшествующего модальному;

f(м₀₊₁) – частота интервала, следующего за модальным.

В интервальном ряду распределения для нахождения медианы сначала указывают интервал в котором она находится.

Медианным является первый интервал в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений.

Численное значение медианы вычисляется по формуле:

,

где: f – сумма частот ряда;

Хме – нижняя граница медианного интервала;

i – величина интервала;

S(ме-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

fме – частота медианного интервала.

Мода, медиана, средняя для дискретного ряда распределения и для интервального ряда называются показателями центра распределения, т.к. они используются для анализа вариационных рядов.