12.4.5 Проверочный и проектировочный расчет прямозубой цилиндрической передачи на сопротивление усталости при изгибе

Зуб колеса (шестерни) рассматривается как консольный, жестко закрепленный одним концом стержень шириной b и толщиной SF в опасном сечении у основания зуба (рис. 14.19, а). Расчет выполняют для момента приложения нагрузки в вершине зуба, что соответствует началу зацепления для зубьев ведомых колес и окончанию зацепле-

Рис. 12.14

ния для зубьев ведущих колес. Сила нормального давления Fn в месте зацепления равномерно распределена по ширине зуба. Для удобства расчета силу Fn перенесем по линии ее действия до оси симметрии зуба и заменим составляющими: изгибающей Ft'' = Fn cos α' и сжимающей F'r = Fn sin α', где α'— угол между линией зацепления и нормалью к оси симметрии зуба; в рассматриваемый момент он больше угла зацепления α. Зуб испытывает сложное напряженное состояние: сжатие от силы F'r и изгиб от силы F't. Наибольшие напряжения возникают у основания зуба, изгибающий момент Ми для этого сечения максимален. На рис. 12.14 представлены для опасного сечения, т.е. основания зуба, эпюры напряжений при изгибе и (рис. 12.14, б), сжатии сж (рис. 12.14, в) и эпюра результирующих нормальных напряжений F (рис. 12.14, г).

Установлено, что разрушение начинается всегда на растянутой части зуба, испытывающей растяжение при изгибе. С учетом концентрации напряжений и дополнительных динамических нагрузок наибольшее напряжение в опасном сечении между зубьями

где K_F = K_FβK_FγK_Fα — коэффициент, учитывающий распределение нагрузки (см. рис. 12.13, а, б) по ширине венца (K_Fβ ), внутреннюю динамику передач (K_Fv) и распределение нагрузки между зубьями (K_Fα); М_И =F’_th’ ~ изгибающий момент у основания зуба от силы F_n ;W_z - /6— момент сопротивления сечения у основания зуба относительно нейтральной оси; A =bSF — площадь опасного поперечного сечения зуба; α_к — теоретический коэффициент концентрации напряжений.

Используем выражения для определения Fn через задаваемые при расчетах величины, а именно, передаваемый момент Т и угол зацепления .

После деления и умножения полученного выражения на модуль m зависимость примет вид

Выражение, стоящее в квадратных скобках, обозначим YF и назовем коэффициентом прочности. Он учитывает форму зуба и концентрацию напряжений. Значения его для зубчатых колес прямозубых цилиндрических передач с нормальной высотой зуба и числом зубьев Z и косозубых цилиндрических, конических передач с эквивалентным числом зубьев zv следующие:

Z(Z_γ ) ......... 17 20 25 30 40 60 > 60

Y_F.............. 4,26 4,09 3,90 3,80 3,70 3,62 3,60

Для колес с внутренними зубьями можно принимать YF = 3,5...4,0, большие значения соответствуют меньшим z.

Условие прочности зуба на изгиб примет вид

где — допускаемое напряжение зубьев при расчете их на сопротивление усталости при изгибе с коэффициентом асимметрии R цикла нагружения; для реверсивных зубчатых передач /п, для нереверсивных = /п; — предел выносливости материала соответственно при симметричном и от нулевом цикле нагружения; п =1,3...2,0 — коэффициент запаса прочности.

При одинаковых материалах пары колес расчет на прочность ведут для шестерни (колеса с меньшим числом зубьев), а при разных материалах — для того из колес, в котором отношение Y_F / больше.

После подстановки d₁ =m и b = ψm= (2...6)m в уравнение для σ_F оно

примет вид

откуда определим модуль зацепления:

.

Зависимость для σ_F используют при проверочном расчете, когда задаются предварительно размерами передачи, а зависимость для m — при проектировочном расчете. Полученное значение модуля m округляют до ближайшего большего стандартного значения и определяют остальные параметры передачи.

Расчет на усталостную прочность при изгибе проводят только для самой нагруженной тихоходной ступени. Модуль колес остальных ступеней принимают равным модулю тихоходной ступени.

Выбор материала определяется характером нагрузок в передаче, окружной скоростью, сроком службы и условиями эксплуатации. 12.4.6 Проверочный и проектировочный расчет прямозубой цилиндрической передачи на контактную усталость

В месте зацепления зубьев (см. рис. 12.11) под действием силы F_n периодически возникают контактные напряжения Установлено, что усталостное контактное повреждение происходит на поверхностях ножек зубьев вблизи полюсной линии. Контакт зубьев рассматривается как контакт цилиндров с радиусами кривизны эвольвент в полюсе Р зацепления.

Максимальные контактные напряжения определяем по формуле Герца

,

где q — удельная нагрузка; — приведенный модуль упругости материалов зубьев шестерни ( ) и колеса (Е2), МПа; при E₁= Е₂=ЕЕ_пр =Е; ρ_ПР = ρ₁ρ₂ /( ρ₁ ± ρ₂ ) — приведенный радиус кривизны рабочих поверхностей зубьев (знак «—» берут для передачи с внутренним зацеплением).

Диаметры делительных d и начальных dw окружностей шестерни и колеса соответственно равны: d₁ = d_w1 , d₂ = d_w2, тогда d₂=d₁u,

где и — передаточное число передачи.

Из свойств эвольвенты известно, что центры ее кривизны лежат на основной окружности, а основные окружности шестерни и колеса касаются линии зацепления. Поэтому радиусы кривизны эвольвент рабочих поверхностей зубьев определим из треугольников O₁ВР и О_г АР (см. рис. 12.11):

а приведенный радиус кривизны этих поверхностей ρ_пр =d1 u sinα /(2(u±1)). Расчетная удельная нагрузка, приходящаяся на единицу длины контактной линии (l = b) зубьев шестерни и колеса

где Т₁— момент на шестерне, Н мм; К_н = — коэффициент, учитывающий распределение нагрузки по ширине венца внутреннюю динамику передачи (K_Hv) и распределение нагрузки между зубьями ( ); — коэффициент торцового перекрытия; α— угол зацепления.

С учетом последних зависимостей исходная формула примет вид

Введем обозначения 0,418 Z_E;

Z_H = b= , где — коэффициент ширины венца b колеса по диаметру делительной окружности.

Коэффициент Z_E, учитывающий механические свойства материалов колес, имеет размерность МПа^1/2 : для стальных колес с Е_пр =Е₁ = Е₂ =2∙10⁵ МПа Z_E=192; при Е_пр =2,15∙10⁵ Z_E =195; для зубчатых пар с материалами сталь —бронза Z_E =160; для материалов текстолит — сталь Z_E = 49.

Влияние торцового перекрытия учитывают коэффициентом . Считая, что в зацеплении находится одна пара зубьев, принимают = 1.

Условие прочности зуба по контактным напряжениям с учетом принятых замен имеет следующий вид:

Допускаемые контактные напряжения принимают равными: для стальных колес 2,6 НВ, для бронз (0,75...0,9) ( — предел прочности материала при растяжении); для текстолитовых колес (45...57) МПа.

При одновременных проверочных расчетах на усталостную прочность при изгибе и по контактным напряжениям определяющими считают контактные напряжения . Это связано с тем, что при заданных размерах колес напряжение при изгибе можно уменьшить при сохранении размеров за счет увеличения модуля.

Решив уравнение относительно диаметра делительной окружности шестерни, учитывая, что , получим

Далее, задавшись числом зубьев шестерни, определим модуль зацепления:m= .

Последние зависимости используют при проектировочном расчете.

Рассчитанное значение модуля округляют до ближайшего большего стандартного значения и определяют все размеры передачи.