§2 Свойства волн де Бройля

• Пусть частица массы m движется со скоростью v. Тогда фазовая скорость волн де Бройля

.

Т.к. c > v, то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме ( v_фможет быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой ).

Групповая скорость

• следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

Для фотона

т.е. групповая скорость равная скорости света.

• Волны де Бройля испытывают дисперсию. Подставив  в получим, чтоv_ф= f(λ). Из-за наличия дисперсии волны де Бройля нельзя представить в виде волнового пакета, т.к. он мгновенно “ расплывется “ (исчезнет) за время 10^-26с.

22. Принцип неопределенности Гейзенберга.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

 

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р. Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

            Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок мы сможем определить импульс частицы. Чем больше , тем точнее р и наоборот, чем меньше , тем больше неопределенность в нахождении р.

            Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

            Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

( иногда записывают      )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

            Соотношение неопределенностей является квантовым ограничениемприменимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m, тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10^-12 кг, ? = 10^-6 и Δx = 1% ?, Δv = 6,62·10^-14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

            Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δx ^-10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27·^ м/с. По классической механике при движении по радиусу r  ,·^м v = 2,3·10^-6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

            Из соотношения следует, что система имеющая время жизниt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность = h, т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину h, будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

 

23. Волновая функция, ее статистический смысл и условия, которым она должна удовлетворять.

 Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях - имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

            Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волнывероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону ( т.е. е^-iωt). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн ( немецкий физик ) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или -функцией (пси - функцией).

Волновая функция - функция координат и времени.

            Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV - физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ^* - функция комплексно сопряженная с Ψ

 (z = a +ib, z^* =a- ib, z^*- комплексно сопряженное)

Если частица находится в конечном объеме V, то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

                                   Р = 1  

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const, описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

- условие нормировки

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

 - функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

• непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),

• Волновая функция удовлетворяет принципу суперпозиции: если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями₁,₂..._n, то она может находится в состоянии , описываемой линейной комбинаций этих функций:

                             

С_n (n=1,2...) - любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

               

24. Уравнение Шредингера. Квантовая частица в одномерной потенциальной яме. Одномерный потенциальный порог и барьер.