§ 107. Энергия электромагнитных волн

Электромагнитные волны переносят энергию. Согласно формуле (98.9) плотность потока энергии можно получить, умножив плотность энергии на скорость волны.

Рассмотрим случай, когда электромагнитная волна распространяется в вакууме. В этом случае скорость волны равна с. Плотность энергии электромагнитного поля" w слагается из плотности энергии электрического поля и плотности энергии магнитного поля:

(107.1)

(см. формулы (30.2) и (67.7); для вакуума .

В данной точке пространства векторы Е и Н изменяются в одинаковой фазе. Поэтому соотношение (105.12) между амплитудными значениями Е и Н справедливо и для их мгновенных значений. Положив в (105.12) , придем к соотношению

(107.2)

Отсюда следует, что плотности энергии электрического и магнитного полей волны в каждый момент времени одинаковы: . С учетом (107.2) выражению (107.1) можно придать вид

(см. формулу (39.15)). Умножив найденное выражение для w на скорость волны с, получим модуль плотности потока энергии:

(107.3)

Векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора [ЕН] совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен ЕН. Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно представить как векторное произведение Е и Н:

(107.4)

Вектор S называется вектором Пойнтинга.

Можно показать, что формула (107.4) оказывается справедливой и в случае, когда электромагнитная волнараспространяется в диэлектрической или проводящей среде.

По аналогии с формулой (98.13) поток Ф электромагнитной энергии через некоторую поверхность F можно найти с помощью интегрирования:

(107.5)

(в формуле (98.13) буква S обозначала поверхность; поскольку буквой S принято обозначать вектор Пойнтинга, нам пришлось обозначить поверхность буквой ).

В качестве примера на применение формул (107.4) и (107.5) рассмотрим участок однородного цилиндрического проводника, по которому течет постоянный ток (рис. 107.1). Вначале будем считать, что на этом участке сторонние силы отсутствуют. Тогда согласно формуле (34.3) в каждой точке проводника выполняется соотношение

Постоянный ток распределяется по сечению провода с одинаковой плотностью j. Следовательно,электрическое поле в пределах изображенного на рис. 107.1 участка проводника будет однородным.

Выделим мысленно внутри проводника цилиндрический объем радиуса и длины. В каждой точке боковой поверхности этого цилиндравектор Н перпендикулярен к вектору Е и направлен по касательной к поверхности. Модуль Н равен, (согласно (52.7). Таким образом, вектор (107.4) в каждой точке поверхности направлен к оси провода и имеет модуль. Умножив S на боковую поверхность цилиндра F, равнуюнайдем, что внутрь рассматриваемого нами объема втекает поток электромагнитной энергии

(107.6)

где V — объем цилиндра.

Согласно (38.4) есть количество тепла, выделяющееся в единицу времени в единице объема проводника. Следовательно, равенство (107.6) указывает на то, что энергия, выделяющаяся в виде ленц-джоулева тепла, поступает впроводник через его боковую поверхность в виде энергии электромагнитного поля. По мере проникновения в глубь проводника поток энергии постепенно ослабляется (уменьшается и вектор Пойнтинга, и поверхность, через которую течет поток) за счет поглощения энергии и превращения ее в тепло.

Теперь допустим, что в пределах рассматриваемого нами участка проводника действуют сторонние силы, поле которых однородно ).

Рис. 107.1.

В этом случае согласно формуле (35.1) в каждой точке проводника имеет место соотношение

из которого вытекает, что

(107.7)

Будем считать, что сторонние силы на рассматриваемом участке цепи не противятся, а способствуют прохождению тока. Это означает, что направление Е совпадает с направлением j. Допустим, что выполняется соотношение Тогда согласно (107-7) напряженность электростатического поля Е в каждой точке равна нулю, и поток электромагнитной энергии через боковую поверхность отсутствует. В этом случае тепло выделяется за счет работы сторонних сил.

Если же имеет место соотношение то, как следует из (107.7),вектор Е будет направлена противоположно вектору j. В этом случае векторы Е и S имеют направления, противоположные изображенным на рис. 107.1. Следовательно, электромагнитная энергия не втекает, а, наоборот, вытекает через боковую поверхность проводника в окружающее его пространство.

Резюмируя, можно сказать, что в замкнутой цепи постоянного тока энергия от участков, где действуют сторонние силы, передается другим участкам цепи не вдоль проводников, а через окружающее проводники пространство в виде потока электромагнитной энергии, характеризуемого вектором 

Пло́тность пото́ка эне́ргии — физическая величина, численно равная потоку энергиичерез малую площадку единичной площади, перпендикулярную направлению потока. Часто вводят также вектор плотности потока энергии (так называемый вектор Умова), величина которого равна плотности потока энергии, а направление совпадает с направлением потока. В электродинамике вектор плотности потока электромагнитной энергии носит название вектора Пойнтинга^[1]

Вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — векторплотности потока энергии электромагнитного поля, один из компоненттензора энергии-импульса электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга Sможно определить через векторное произведение двух векторов:

 (в системе СГС),

 (в СИ),

где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно.

интенсивность волны Средняя по времени энергия, переносимая волной в единицу времени через единичную площадку,перпендикулярную к направлению распространения волны. [Ультразвук: Маленькая энциклопедия / Гл. ред. И.П. Голямина].  Единица измерения Вт/м²

21. Электромагнитные волны. Вывод волнового уравнения для нейтральной, однородной среды. Скорость электромагнитной волны.

ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНЫЕ ВО́ЛНЫ, электромагнитные колебания, распространяющиеся в пространстве сконечной скоростью, зависящей от свойств среды. Электромагнитной волной называютраспространяющееся электромагнитное поле 

Волновое уравнение в математике — линейное гиперболическое дифференциальное уравнение в частных производных, задающее малые поперечные колебания тонкой мембраны или струны, а также другие колебательные процессы в сплошных средах (акустика, преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и электромагнетизме (электродинамике). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравненийматематической физики

Скорость распространения электромагнитных волн. Свойства электромагнитных волн

1. Из теории Максвелла вытекает, что если в какой-либо малой области пространства периодически изменять электрическое и магнитное поля, то эти изменения должны периодически повторяться и во всех других точках пространства, причем в каждой последующей несколько позже, чем в предыдущей, т.е. от источника электромагнитных колебаний должны во все стороны распространяться электромагнитные волны с определенной скоростью. Вывод о конечности скорости распространения электромагнитных волн — очень важное следствие из теории Максвелла.

Дж. Максвелл чисто математически показал, что скорость распространения электромагнитного поля в вакууме равна скорости света  c=3⋅108mc, а в среде эта скорость ν меньше и зависит от свойств среды:

 v=cεμ√,

где ε — диэлектрическая проницаемость среды, μ — магнитная проницаемость среды.

2. При распространении электромагнитных волн в каждой точке пространства происходят периодически повторяющиеся изменения электрического и магнитного полей. Эти изменения удобно изображать в виде колебаний векторов напряженности электрического поля  E⃗  и индукции магнитного поля  B⃗  в каждой точке пространства. Электромагнитная волна — поперечная волна, так как

 E⃗ ⊥v⃗  и  B⃗ ⊥v⃗ .

3. Колебания векторов  E⃗  и  B⃗  в каждой точке электромагнитной волны происходят в одинаковых фазах и по двум взаимно перпендикулярным направлениям

 E⃗ ⊥B⃗ 

в каждой точке пространства.

4. Векторы  E⃗  и  B⃗  образуют с вектором скорости распространения  v⃗  правовинтовую систему (рис. 2): если головку правого винта расположить в плоскости векторов  E⃗  к  B⃗  и поворачивать ее в направлении от E⃗  к  B⃗  по кратчайшему пути, то поступательное движение острия винта укажет направление вектора  v⃗  в момент времени t.

Рис. 2

22. Электромагнитное поле. Взаимные превращения электрического и магнитного полей. Представление циркуляции вектора с помощью теоремы Стокса (случай стационарного и нестационарного полей). Ток смещения.

ЭЛЕКТРОМАГНИ́ТНОЕ ПО́ЛЕ, особая форма материи. Посредством электромагнитного поля осуществляется взаимодействие между заряженными частицами. 

В основах теории электричества часто утверждается, что электрические и магнитные поля связаны между собой и способны взаимно превращаться  друг в  друга. Также часто утверждается, что всякое изменение электрического поля вызывает появление магнитного  и наоборот -  всякое изменение магнитного поля вызывает изменение электрического поля. В /4/ говорится: «Между электрическими и магнитными полями существует глубокая внутренняя связь, проявляющаяся в том, что эти поля могут превращаться  друг в друга. Поэтому электрическое и магнитные поля, взаимно превращаясь и поддерживая друг друга, будут распространяться вдоль линии. Это взаимное превращение электрического и магнитного полей было открыто в начале второй половины прошлого века Максвеллом». Максвелл изложил свою теорию в 1864 году в книге «Динамическая теория электромагнитного поля». В то время еще не были разработаны и созданы современные электрические станции, сверхвысоковольтные линии электропередач и энергетические системы. Многие теории создавались интуитивно и предположительно. Проанализируем эту теорию о связи электрического и магнитного полей с учетом современных достижений науки и практики. Есть заряд – есть электрическое поле. Движется заряд - вместе с ним движется его электрическое поле. Движение заряда вызывает появление магнитного поля. Остановился заряд – не стало магнитного поля. Электрическое поле зависит от потенциала.  Магнитное поле зависит от величины электрического тока. Связь проявляется в том, что всякое изменение величины тока и напряжения пропорциональны между собой согласно закону Ома, соответственно пропорционально изменяются электрическое и магнитное поля. Таким образом, можно констатировать о наличие какого-то количественного соотношения между электрическим и магнитным полями. Не выдерживает критики теория превращения электрического и магнитного поля друг в друга. Превращения одного поля в другое не наблюдается. Они без какого-либо физического вмешательства не могут превращаться  друг в друга.  Взаимное превращение электрического и магнитного поля невозможно  себе представить. В линии присутствуют оба вида поля. Трансформация электрического тока изменяет электрическое и магнитное поля. При повышении напряжения усиливается электрическое поле и обратно пропорционально уменьшается магнитное поле. Очень важно обратить  внимание на то, что генерация электрической энергии – это есть создание направленного движения зарядов в проводнике – обмотке электрической машины. Это будет необходимо при дальнейшем  обсуждении теории передачи электроэнергии. Спорным также является вопрос – что движет заряды электродвижущая сила (ЭДС) или магнитное поле. В классической теории ошибочно считается, что силой, создающей упорядоченное движение электронов, является сила со стороны электрического поля внутри проводника, которое определяется электрическим напряжением на концах провода  /2/. Также спорным является вопрос:  посредством, каких процессов происходит распространение электрической энергии вдоль линии. Теорема Стокса. Зная ротор вектора а в каждой точке некоторой (не обязательно плоской) поверхности S, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру Г, ограничивающему S (контур также может быть неплоским). Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы . Ввиду их малости эти элементы можно считать плоскими. Поэтому в соответствии с (11.23) циркуляция вектора а по контуру, ограничивающему может быть представлена в виде (11.29) где — положительнаянормаль к элементу поверхности  В соответствии с формулой (11.21), просуммировав выражение (11.29) по всем , получим циркуляцию вектора а по контуру Г, ограничивающему Осуществив предельный переход, при котором все AS стремятся к нулю (число их при этом неограниченно растет), придем к формуле (11.30) Соотношение (11.30) носит название теоремы Стокса. Смысл ее состоит в том, что циркуляция вектора а по произвольному контуру Г равна потоку вектора rota через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром. Оператор набла. Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом и носящий название оператора набла илиоператора Гамильтона. Под этим оператором подразумевается вектор с компонентами Следовательно, Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор у на скаляр , то получитсявектор который представляет собой градиент функции (см. (11.1)). Если вектор у умножить скалярно на вектор а, получится скаляр который есть не что иное, как дивергенция вектора а (см. (11.14)). Наконец, если умножить у на а векторно, получится вектор с компонентами: и т. д., которые совпадают с компонентами rota (см. (11.25) — (11.27)). Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, можно написать (11-34) Таким образом, существует два способа обозначений градиента, дивергенции и ротора: Обозначения с помощью у обладают рядом преимуществ. Поэтому мы в дальнейшем будем применять такие обозначения. Следует приучить себя отождествлять символ со словами «градиент(т. е. говорить не «наблаа «градиент фи»), символ— со словами «дивергенция а» и, наконец, символ— со словами «ротор а». Пользуясь вектором у, нужно помнить, что он является дифференциальным оператором, действующим на все функции, стоящие справа от него. Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит у, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Например,производная произведения функций равна В соответствии с этим Аналогично (11.36) Градиент некоторой функции представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операциидивергенции и ротора: (А — оператор Лапласа); (11.38) (напомним, что векторное произведение вектора на самого себя равно нулю). Применим операции дивергенции и ротора к функции  (смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах; если два из этих векторов совпадают, объем параллелепипеда равен нулю); (11.40) (мы воспользовались формулой ). Соотношение (11.39) означает, что поле ротора не имеет источников. Следовательно, линии вектора не имеют ни начала, ни конца. Именно по этой причине поток ротора через любую поверхность S, опирающуюся на данный контур Г, оказывается одним и тем же (см. формулу (11.30)). В заключение отметим, что с использованием оператора у формулам (11.15) и (11.30) можно придать вид Ток смещения или абсорбционный ток — величина, прямо пропорциональная скорости изменения электрической индукции. Это понятие используется в классической электродинамике. Введено Дж. К. Максвеллом при построении теории электромагнитного поля.

23. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной формах. Материальные уравнения. Уравнение непрерывности.

Уравнения Максвелла в интегральной форме 1) 

2) 

3) 

4) 

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

1) 

2) 

3) 

4) 

Материальные ур-ния для таких сред имеют вид

При этом индуцированные в среде электрич. заряды наз. связанными или поляризац. зарядами с плотностью , а токи, обусловленные их изменениями,- поляризац. токами с плотностью:

Эти понятия были перенесены и на магн. поля, что можно выразить в виде системы ур-ний, аналогичной

(8):

и только потом выяснилось, что истинными источниками намагничивания среды оказались электрич. токи , а не магн. заряды. Поэтому терминология сложилась на основе физически некорректной системы

тогда как следовало бы принять беззарядовые ур-ния

что равносильно замыканию исходных M. у. (1) - (4) с помощью материальных связей

Из (6) и (7a) следует, что 2-й вариант представления материальных соотношений, в к-ром постулируются в качестве исходных векторы E и B, физически предпочтительнее.

В модели Лоренца - Максвелла усреднение микрополя Нмикро, произведённое с учётом вклада со стороны индуциров. полей, приводит к ур-ниям (9) и соответственно <Нмикро>= В. Однако обычно параметры сред вводятся с помощью ур-ний (7), что облегчает двойственную симметризацию ф-л (подробнее см. в разделе 9). Напр., скалярные восприимчивости сред (c^e, c^m) определяются соотношениями

и позволяют ввести диэлектрическую проницаемость e и магнитную проницаемость m:

Простейшие модели сред характеризуются пост, значениямиВ случае вакуума0.

Классификация разл. сред ооычно основывается на материальных ур-ниях типа (10) и их обобщениях. Если проницаемости e и m не зависят от полей, то M. у. (1) - (4) вместе с материальными ур-ниями (10) остаются линейными, поэтому о таких средах говорят как о линейных средах. При наличии зависимостейсреды наз. нелинейными: решения M. у. в нелинейных средах не удовлетворяют принципу суперпозиции. Если проницаемости зависят от координат то говорят о неоднородных средах, при зависимости от времени - о нестац попарных средах (иногда такие эл--динамич. системы наз. параметрическими). Для анизотропных сред скаляры e, m в (10) заменяются на тензоры: (по дважды встречающимся индексам производится суммирование). Важное значение имеют также эффекты запаздывания и нелокальности отклика среды на внеш. поля. 

Значение индуциров. поляризации Р^е, напр, в момент г, может определяться, вообще говоря, значениями полей во все предыдущие моменты времени, т. е.

что при преобразовании Фурье по времени приводит к зависимости [соответственноi]. Такие среды наз. средами с временной (частотной) дисперсией или просто диспергирующими средами. Аналогичная связь устанавливается и для нелокальных взаимодействий, когда отклик в точке г зависит от значения полей, строго говоря, во всех окружающих точкахно обычно всё-таки в пределах нек-рой конечной её окрестности: При преобразовании Фурье по г это приводит к появлению зависимостей такие среды наз. средами с пространственной дисперсией (см.Дисперсия пространственная).

В проводящих средах входящая в M. у. (1) - (5) плотность тока состоит из двух слагаемых: одно по-прежнему является сторонним токомобусловленным заданным перемещением электрич. зарядов под действием сторонних сил (обычно неэлектрич. происхождения), а другое - током проводимостизависящим от полей, определяемых системой M. у., и связанным с ними материальными ур-ниями вида В простейшем случае эта зависимость сводится к локальному Ома закону,

где - электропроводность (проводимость) среды. Иногда в (11) вводят обозначение, благодаря к-рому различают системы с заданными токами и системы с заданными полями (напряжениями). Для синусоидальных во времени полей, подчинённых ур-ниям (1б) - (4б) и материальным связям (10) и (11), вводится комплексная диэлектрич. проницаемость, объединяющая (10) и (11),, мнимая часть к-рой обусловлена проводимостью и определяет диссипацию энергии эл--магн. поля в среде. По аналогии вводится комплексная магн. проницаемость, мнимая часть к-рой обусловливает потери, связанные с перемагничиванием среды. Комплексные проницаемости в общем случае зависят от частоты w и волнового вектораэти зависимости не могут быть произвольными: причинности принцип связывает их действительные и мнимые части Крамерса - Кронига соотношениями.

В общем случае вид материальных ур-ний зависит также и от системы отсчёта, в к-рой эти ур-ния рассматривают. Так, если в неподвижной системе К среда характеризуется простейшими ур-ниями (10), то в инер-циальной системе К' , движущейся относительно К с пост, скоростью и, появляется анизотропия:

где индексыобозначают продольные и поперечные ксоставляющие векторов. В рамках алгебраич. M. у. (1в) - (4в) материальные ур-ния (12) могут быть переписаны в виде

что можно трактовать как наличие временной и пространственной дисперсии. Исследование процессов с материальными связями типа (12) составляет предмет электродинамики движущихся сред. Заметим, что хотя характеристики е и m удобно симметризуют материальные ур-ния, их введение не является непременным условием замыкания M. у. Соответствующей перенормировкой допустимо свести описание магн. поля к одно-векторному, т. е. сделать но при этом даже для изотропной среды диэлектрич. проницаемость становится тензором, она различна для вихревых и потенциальных полей. Физически это связано с неоднозначностью модельного представления диполь-ных моментов, во всяком случае приони могут равноправно интерпретироваться и как зарядовые, и как токовые Но согласно (30,4). Таким образом, мы приходим снова к уравнению (29,3). В четырехмерном виде из (30,2) имеем:

Но симметричный по индексам i, k оператор - , примененный к антисимметричному тензору обращает его тождественно в нуль, и мы приходим к уравнению непрерывности, написанному в четырехмерном виде (29,4).

24. Теория Максвелла. Первое уравнение Максвелла в интегральной и дифференциальной формах.

Первое уравнение Максвелла является дифференциальной формулировкой закона полного тока:

S - опирается на контур L.

Используем теорему Стокса:

Равенство сохраняет силу по любой поверхности, опирающейся на контур L, отсюда следует, что подинтегральные функции равны.

 -    дифференциальная форма закона Ома.

Физический смысл 1-го уравнения Максвелла.

Источниками вихревых магнитных полей являются токи проводимости и токи смещения.

25. Теория Максвелла. Уравнения Максвелла и их инвариантность относительно преобразований Лоренца.