view

равна 0,7. Проведено 10 бросков. Что вероятнее: он забросит мяч в корзину 6 или 8 раз?

4.23.Вероятность госпитализации пациента при эпидемии гриппа равна 0,004. Найти вероятность того, что из 3000 заболевших поликлиника направит на госпитализацию не более 5 пациентов.

4.24.Вероятность того, что после одного учебного года учебник уже нельзя будет использовать в дальнейшем, равна 0,25. Найти вероятность того, что придется закупить не более 1050 новых учебников, чтобы к новому учебному году в библиотеке вуза их снова было 4000.

4.25Среди изделий, изготовляемых вручную, бывает в среднем 4 % брака. Определить вероятность того, что среди взятых наудачу 5 изделий будет ровно 40 % бракованных.

4.26.При сборке в среднем 2 % механизмов оказываются с дефектами. Контролер проверяет взятые наудачу 6 механизмов. Определить вероятность того, что среди них с дефектами окажется не более 1 механизма.

4.27.Из автобусного парка ежедневно выходят на линию 100 автобусов. Вероятность выхода из строя двигателя у одного автобуса равна 0,1. Определить вероятность того, что в течение дня выйдут из строя не более чем 2 двигателя.

4.28.В результате проверки качества приготавливаемого для посева зерна было установлено, что 80 % зерен всхожие. Определить вероятность того, что из отобранных и высаженных 100 зерен прорастут не менее 70.

4.29.Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется первого сорта, равна 0,7. Определить вероятность того, что среди 2100 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500.

4.30.По данным технического контроля, в среднем 2 % изготавливаемых на заводе автоматических станков нуждается в дополнительной регулировке. Чему равна вероятность того, что из шести изготовленных стан-

61

ков четыре нуждаются в дополнительной регулировке?

Примеры решения задачи

Пример 1. На складе имеются две партии пряжи. Первая партия содержит 30 %, а вторая – 20 % пряжи второго сорта; остальная пряжа в обеих партиях первого сорта.

1)Определить, в пряже какой партии окажется большим наиболее вероятное число мотков пряжи первого сорта, если для контроля качества пряжи взяли 40 мотков из первой партии и 30 – из второй.

2)Сколько нужно взять мотков пряжи из первой партии, чтобы наиболее вероятное число мотков пряжи первого сорта в этой партии оказалось равным 5? Найти вероятность этого события.

Решение.

1) Наиболее вероятное (наивероятнейшее) число m0 наступлений события A в n испытаниях определяется неравенством: пр–q ≤ m0 ≤ пр + р,

Значит, n = 7. Для вычисления вероятности того, что в семи мотках пряжи из первой партии окажется пять мотков пряжи первого сорта, нужно применить формулу Бернулли, считая p = 0,7; n = 7; m = 5. Следовательно,

P7 (5) = C75 0,75 0,32 = 0,318.

Пример 2. В среднем в магазин заходит 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет:

62

1)6 человек;

2)не более одного человека;

3)не менее одного человека.

Решение. Для решения задачи следует воспользоваться формулой Пу-

Пример 3. Вероятность того, что изготовленная рабочим деталь отличного качества, равна 0,8. Найти вероятность того, что среди ста деталей окажется отличного качества:

1)80 деталей;

2)не менее 70 и не более 85 деталей.

1) Вероятность того, что среди 100 отобранных 80 деталей отличного

качества можно определить и по формуле Бернулли:

P100 (80) = C10080 0,880 (1− 0,8)20. Но из-за громоздкости вычислений по этой формуле и зная, что n =100 и пр = 80, а npq =16, лучше применить локальную формулу Муавра-Лапласа:

возьмем в табл. П.В.3 прил. В.

63

2) Для вычисления P(70 ≤ m ≤ 85) следует воспользоваться интегральной формулой Муавра–Лапласа:

булирована (см. табл. П.В.3 прил. В).

= Ф(1,25) + Ф(2,5) = 0,3944 + 0,4938 = 0,8882.

Задача 5 . Дискретная случайная величина.

Закон распределения дискретной случайной величины и ее числовые характеристики

Для заданной случайной величины Х:

1) составить закон распределения, функцию распределения F(x) и по-

строить ее график; 2) найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратиче-

ское отклонение;

3) определить P(α ≤ X ≤ β); M (У) и D(У), если У = kX + b

(α, β, k, b – данные числа);

4) вычислить асимметрию A(X ) и эксцесс Эх .

5.1.Электронная аппаратура имеет три дублирующие линии. Вероятность выхода из строя каждой линии за время гарантийного срока равна 0,1. Случайная величина X – число вышедших из строя линий. α = 1; β = 2; k = 2; b = 3.

5.2.Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящих из пяти единиц. Каждый объект, независимо от дру-

64

гих, может быть потерян с вероятностью 0,1. Случайная величина X – число потерянных объектов. α = 1; β = 4; k = 3; b = –2.

5.3.Прибор состоит из четырех узлов. Надежность каждого узла равна 0,3. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Случайная величина X – число вышедших из строя узлов. α = 1; β = 3; k = 4; b = 1.

5.4.Имеется пять станций, с которыми поддерживается связь. Время от времени связь теряется из-за атмосферных помех. Перерыв связи с каждой станцией происходит независимо от остальных с вероятностью 0,2. Случайная величина X – число станций, с которыми может быть потеряна связь. α = 2; β = 4; k = –3; b = 2.

5.5.Методом тестирования отыскивается неисправность в арифметическом устройстве вычислительной машины. Можно считать: есть 4 шанса из 5, что неисправность сосредоточена в одном из восьми микропроцессоров с равной вероятностью в любом из них. Число испытанных микропроцессоров есть случайная величина Х. α = 3; β = 5; k = 2; b = –5.

5.6.Вероятность появление положительного результата в каждом опыте равна 0,9. Произведено четыре опыта. Случайная величина X – число

отрицательных результатов среди проведенных четырех испытаний.

α= 1; β = 3; k = 5; b = –4.

5.7.Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,75. Случайная величина X – число попаданий в мишень при трех выстрелах.

α= 1; β = 2; k = 2; b = 5.

5.8.В партии из 6 деталей имеется 3 стандартных. Наудачу сразу извлекаются 3 детали. Случайная величина X – число бракованных деталей среди вынутых. α = 0; β = 2; k = 5; b = 1.

5.9.Два баскетболиста сделали по одному броску в корзину. Вероятность попадания для первого 0,85, а для второго – 0,6. Случайная величина X – число мячей, попавших в корзину. α = 1; β = 2; k = 3; b = 2.

5.10.Стрельба ведется до первого попадания, но не свыше четырех вы-

65

стрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8. Случайная величина X – число произведенных выстрелов, α = 1; β = 2; k = 4; b = –3.

5.11.Случайная величина X – число появлений герба при трех подбрасываниях монеты. α = 0; β = 2; k = 2; b = 3.

5.12.В команде из 12 спортсменов пять мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают трех спортсменов. Случайная величина X – число мастеров спорта среди отобранных спортсменов. α = 1; β = 2; k = 7; b = 1.

5.13.В ящике 10 деталей, среди них 7 окрашенных. Сборщик наудачу достает 4 детали. Случайная величина X – число окрашенных деталей среди выбранных. α = 1; β = 3; k = 2; b = –4.

5.14.Среди 17 студентов группы, в которой 8 девушек, на дежурство выбирается 4 человека. Случайная величина X – число девушек среди выбранных. α = 0; β = 2; k = 2; b = 7.

5.15.В партии из 60 изделий 5 бракованных. Наугад из этой партии выбирается 4 изделия. Случайная величина X – число бракованных изделий среди выбранных. α = 1; β = 2; k = 4; b = 3.

5.16.Магазин получил партию из 100 телевизоров, среди которых может оказаться 3 телевизора, требующих дополнительной настройки. Клиент покупает 5 телевизоров для оснащения ими офиса своей фирмы. Случайная величина X – число телевизоров, требующих дополнительной настройки среди выбранных клиентом. α = 0; β = 2; k = 2; b = –2.

5.17.Из 25 экзаменационных билетов студент подготовил только 20. Если он не знает и отказывается отвечать по первому взятому билету, то ему разрешается взять следующий билет, но не более четырех. Случайная величина Х – число взятых студентом билетов. α = 1; β = 3; k = 3; b = –5.

5.18.За определенный промежуток времени в магазин заходят 20 покупателей, среди которых 15 покупают хлебобулочные изделия. В кассу для оплаты за покупки стоят четыре человека. Случайная величина Х – число покупателей, которые будут оплачивать хлебобулочные изделия. α = 1;

β= 3; k = 2; b = –3.

66

5.19.В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. По жребию (случайным образом) выбирают пятерых. Случайная величина Х – число юношей среди отобранных. α = 2; β = 4; k = 5; b = –2.

5.20.По статистическим данным в некотором населенном пункте на каждые десять новорожденных приходится 6 мальчиков. 1 января нынешнего года появилось на свет четверо младенцев. Случайная величина Х – число мальчиков среди этих четверых новорожденных. α = 0; β = 2; k = 5; b = –7.

5.21.При передаче каждых десяти знаков четыре получают искажение. Передано три знака. Случайная величина Х – число искаженных знаков среди переданных. α = 0; β = 2; k = 4; b = –1.

5.22.В партии каждое изделие независимо от других может оказаться бракованным с вероятностью 0,2. Для проверки из партии берется выборка

вшесть изделий. Если число дефектных изделий не более трех, то партия принимается. Случайная величина Х – число дефектных изделий в принятой партии α = 1; β = 2; k = 7; b = 3.

5.23.В урне 6 белых и 4 черных шара. Из урны извлекают шары по одному 5 раз подряд, причем каждый вынутый шар возвращают в урну и шары перемешивают. Случайная величина Х – число извлеченных белых шаров. α = 0; β = 3; k = 4; b = 3.

5.24.Вероятность попасть в «яблочко» для данного стрелка при одном выстреле равна 0,3. Стрелок поражает мишень при трех выстрелах. Случайная величина Х – число попаданий в «яблочко» . α = 1; β = 2; k = 4; b = –5.

5.25.В урне имеется 4 шара с номерами 1, 2, 3, 4. Вынули два шара. Случайная величина Х – сумма номеров этих шаров. α = 0; β = 1; k = 6; b = 2.

5.26.В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынули два шара. Случайная величина Х – число вынутых белых шаров. α = 0; β = 1; k = 2; b = –3.

5.27.Вероятность рождения мальчика 0,51. В семье пять детей. Случайная величина Х – число мальчиков в данной семье. α = 0; β = 3; k = 7; b = 5.

5.28.Прибор состоит из четырех независимо работающих ламп. Веро-

67

ятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны p1 = 0,1, p2 = 0,2, p3 = 0,3, p4 = 0,4. Для выхода из строя прибора достаточно перегореть двум лампам. Прибор вышел из строя. Случайная величина Х – число ламп, отказавших в работе. α = 2; β = 3; k = 4; b = 3.

5.29. Установлены две частоты, на любой из которых могут работать успешно три радиостанции с соответствующими вероятностями p1 = 0,2, p2 = 0,5, p3 = 0,4. Выбор частоты для работы предполагается произвольным. Случайная величина Х – число радиостанций, работающих на второй частоте. α = 0; β = 2; k = 5; b = 3.

5.30. Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных, независимо работающих, элементов. Вероятность отказа первого элемента равна 0,1, второго – 0,3, третьего – 0,5. Цепь не работает. Случайная величина Х – число неработающих элементов цепи. α = 1; β = 2; k = 4; b = –5.

Примеры решения задачи

Пример. Сырье на завод поступает на автомашинах от трех независимо работающих поставщиков. Вероятность прибытия автомашины от первого поставщика равна p1 = 0,2; от второго – p2 = 0,3, от третьего – p3 = 0,1. Случайная величина Х – число прибывших автомашин. Составить: закон распределения; функцию распределения F(x) данной случайной величины

Решение. Закон распределения представим в виде таблицы значений случайной величины Х и соответствующих вероятностей. Заметим, что возможные значения дискретной случайной величины Х равны 0, 1, 2, 3. Определим соответствующие этим значениям вероятности:

p1 = P(X = 0) = 0,8 0,7 0,9 = 0,504 ;

p2 = P(X =1) = 0,2 0,7 0,9 + 0,8 0,3 0,9 + 0,8 0,7 0,1= 0,398;

68

p3 = P(X = 2) = 0,2 0,3 0,9 + 0,2 0,7 0,1+ 0,8 0,3 0,1= 0,092 ; p4 = P(X = 3) = 0,2 0,3 0,1= 0,006 .

Контроль:

p1 + p2 + p3 + p4 = 0,504 + 0,398 + 0,092 + 0,006 =1. Значит, соответствующие вероятности рассчитаны верно.

Теперь можно записать таблицу распределения:

Далее найдем функцию распределения вероятностей F(x) = P(X < x):

1)если x ≤ 0, то F(x) = 0;

2)если 0 < x ≤1, то F(x) = P(X = 0) = 0,504;

3)если 1< x ≤ 2, то F(x) = P(X = 0 X =1) = 0,504 + 0,398 = 0,902;

4)если 2 < x ≤ 3, то

F(x) = P(X = 0 X =1 X = 2) = 0,504 + 0,398 + 0,092 = 0,994;

5) если x > 3, то F(x) = P(X = 0 X =1 X = 2 X = 3) =1.

Построим график этой функции (рис. 3.2):

Рис. 3.2

Теперь определим числовые характеристики заданной случайной величины, исходя из соответствующих формул:

69

n

•M (X ) = ∑xi pi

i=1

M (X ) = 0 0,504 +1 0,398 + 2 0,092 + 3 0,006 = 0,6.

• D(X ) = M (X 2 ) − M 2 (X )

D(X ) = 02 0,504 +12 0,398 + 22 0,092 + 32 0,006 − 0,62 = 0,46.

•σ(X ) = D(X ) = 0,678.

•Далее, P(1≤ X ≤ 2) = P(X =1 X = 2) = 0,398 + 0,092 = 0,490.

•По условию задачи Y = 2X + 5. Следовательно:

M (Y) = M (2X + 5) = M (2X ) + M (5) = 2M (X ) + 5 = 2 0,6 + 5 = 6,2.

D(Y) = D(2X + 5) = 22 D(X ) + D(5) = 4D(X ) = 4 0,46 =1,84.

Задача 6 . Непрерывная случайная величина и законы ее распределения . Числовые характеристики непрерывной случайной величины

В вариантах 6.1–6.15 непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти:

1)значения неопределенных коэффициентов; плотность распределения f (x) ; построить графики F(x) и f (x) ;

2)вероятность того, что значения данной случайной величины находятся на интервале (a,b);

3)математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

4)моду, медиану, асимметрию и эксцесс заданной случайной величины.

70