3. Интегрирование некоторых иррациональных функций.

1. Интегралы вида , гдеR – рациональная функция своих аргументов решаются подстановкой x=t^k k-наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей.

Пример 1. Найти , Решение. Полагаемx=t⁶, тогда dx=6t⁵dt, t³, t², получаем ====

=6 =6(t-arctgt)+C= =6(x^1/6+arctgx^1/6)+C.

2. Интегралы вида, еслиR рациональная функция своих аргументов, решаются подстановкой=t^k, где k-наименьшее общее кратное знаменателей дробных показателей.

Пример 2. Найти . Решение. Полагаемx-1=t⁴, тогда dx=4t³dt, =t, =t²,получаем =. Последний интеграл является интегралом от неправильной рациональной дроби. Выделим целую часть. Отнимем и прибавим в числителе единицу. Сгруппируем, почленно разделим, двучлен х⁴-1 разложим как разность квадратов, сократив, получим

====4(+t+

+C =4/3+2ln|+C.

3. Интегралы вида: 1. ,11.,111., гдеR-рациональная функция своих аргументов, решаются с помощью тригонометрических подстановок: 1. x=, 11.

x=atgt, 111. x=asint, которые приводят к рациональным функциям относительно sint и cost.

Пример 3. Найти . Решение. Интеграл111. вида. Положим x=sint, dx=costdt, =cost, получим ===

== (t-sin2t)+С=(t-sintcost)+C =(arcsinx-x)+C.

Этот интеграл решён в примере 2 (*) §3 п3. методом интегрирования по частям. Мы ещё раз убедились в том, что путей нахождения интегралов много и в этом плане нахождение интегралов является более интересным, чем дифференцирование функций.

4. Интегралы вида выделением под корнем полного квадрата приводятся к интегралам1., 11., 111. пункта 3.. Покажем это на примере.

Пример 4. Найти . Выделим в подкоренном выражении полный квадрат. 4x²+4x-15=4(x²+x+1/4-1/4-15/4)=4((x+1/2)²-4). Выполним замену переменной. Положим x+1/2=t, тогда x=t-1/2 , dx=dt, получим ==. Сделаем новую заменуt=, dt=, =2tgz. Получим ==4=2=2=

=2-2=2-2sinz=2-2sinz=2-2sinz= =ln-2sinz+C. (Смотри формулу XV. таблицы 2)

Выполним обратную замену. Так как t=, то cosz=,z=arccos, гдеt=x+1/2. Получим

= ln-2sinz+C= ln-2+C=

=ln++C=ln+

++C.

§5 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Известно, что всякая непрерывная на [a, b] функция f(x) имеет первообразную, т.е. существует такая функция F(x),что F′(x)=f(x). Однако не всякую первообразную F(x) можно выразить через элементарные функции. Так при нахождении интегралов вида их первообразные выражаются через элементарные функции только в трёх случаях:

1. р-целое;

2. -целое;

3. +р –целое.

Во всех остальных случаях данный интеграл не выражается через элементарные функции.

Приведём примеры интегралов, которые не выражаются через элементарные функции, каждый из которых имеет определённое название:

- интеграл Пуассона,

- интегральный синус,

- интегральный косинус,

- интегральный логарифм,

- интегралы

- Френкеля,

- эллиптический интеграл первого рода,

dx – эллиптический интеграл второго рода.

С некоторыми из этих интегралов познакомимся позже.

29