- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •§ 1 Введение в интегралы или подготовка к восприятию интегралов
- •§2 Первообразная функция и неопределённый интеграл
- •11. (1X.)*
- •2. Интегрирование методом разложения подынтегральной функции.
- •3. Метод замены переменной.
- •4. Интегрирование по частям.
- •§4 Интегрирование некоторых классов функци
- •1. Интегрирование рациональных функций
- •2 .Интегрирование тригонометрических функций.
- •3. Интегрирование некоторых иррациональных функций.
- •§5 Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
Министерство образования и науки Российской Федерации
ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Методические указания для выполнения семестровой работы
Волгоград 2011
УДК
Рецензент
А.Е. Годенко
Издаётся по решению редакционно-издательского отдела
Волгоградского государственного технического университета.
Неопределённые интегралы: Методические указания для выполнения семестровой работы / сост. В.И.Шушков, В.Н.Поляков.
Волгоград: ИУНЛ ВолгГТУ, 2011.-23с.
В пособии представлены рекомендации по изучению темы «Неопределённый интеграл». Изложен в кратком виде теоретический материал, необходимый для нахождения интегралов. Показаны разные методы нахождения интегралов. Дано много решённых примеров нахождения интегралов от различных классов функций. Рассмотрены решения одних и тех же интегралов различными методами.
Предназначено для студентов первого курса всех специальностей и всех форм обучения.
©Волгоградский государственный
Технический университет 2011.
§ 1 Введение в интегралы или подготовка к восприятию интегралов
Прежде чем приступить к изучению интегрального исчисления, необходимо повторить дифференциальное исчисление, ибо действие интегрирования является обратным по отношению к операции дифференцирования, а обратные действия являются более сложными. Так, например, извлечение корня (обратное действие по отношению к возведению в степень) более сложное действие, чем возведение в степень, действия с обратными тригонометрическими функциями также являются более сложными, чем действия с тригонометрическими функциями и т.д.
При интегрировании особо часто будем пользоваться понятием дифференциала функции, поэтому вспомним о том, что дифференциалом функции называется произведение производной функции на дифференциал аргумента, т.е. дифференциал функции y=f(x) определяется формулой
dy=f′(x)dx (1)
если у=f(x) сложная функция вида y=f(u(x)), то согласно свойству инвариантности дифференциала (1) можно записать в виде
dy=f′(u)du (2)
Вспомним дифференциалы основных элементарных функций:
Таблица 1
ТАБЛИЦА ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНЦИЙ
1. d(um)=mum-1du. V1. d(ctgu)=-1X. d(еu)= еu du
11. d(lnu)=.V11. d(arcsinu)= X. d(shu)=chudu
(11)*. d(logau)=. (V11)*. d(arccosu)=- X1. d(chu)=shudu
111. d(sinu)=cosu du V111. d(arctgu)= X11. d(thu)=
1V. d(cosu)=-sinudu (V111)*. d(arcctgu)= -X111. d(cthu)=-
V. d(tgu)=1X. d(аu )= аu lnаdu X1V.
Но в интегральном исчислении чаще всего нам надо будет читать эти формулы справа налево. При этом будет искать такую функцию f(x), дифференциалом которой является выражение вида ψ(x)dx, т.е. чтобы соблюдалось равенство ψ(x)dx=df(x), а это уже действия обратные по отношению к нахождению дифференциала функции и они сложнее. Поэтому потренируемся выполнять такие действия на примерах.
Пример 1. Найти такие функции, дифференциалы которых описываются следующими выражениями: а) x2dx; b) sin(2x)dx; c) sin(x)cos(x)dx; d) ; e) ;f) ;
g) ; h) , t) .
Решение:
а) x2dx; замечаем, что по формуле (1) d(x3)=3x2dx, следовательно, x2dx= d(x3);
b) sin(2x)dx; подведём число 2 под знак дифференциала и, соответственно разделим на 2, получим sin(2x)dx=sin(2x)d(2x)=
=-dcos(2x) (смотри формулу 1V. табл.1), здесь функция u=2x.
c) sin(x)cos(x)dx; решим этот пример различными способами. В начале представим произведение sin(x)cos(x) по формуле двойного угла для синуса - получим sin(x)cos(x)dx=sin(2x)dx=-dcos(2x). Т.е. мы пришли к предыдущему примеру. Подведём теперь под знак дифференциа-
ла cos(x) получим sin(x)cos(x)dx= sin(x)dsin(x)=dsin2(x). Теперь функция u=sin(x). Можно подвести под знак дифференциала sin(x) получим sin(x)cos(x)dx= -cos(x)dcos(x)= -dcos2(x) .Здесь мы, как и в предыдущем варианте воспользовались формулой 1. табл.1 только теперь u=cos(x). Проанализировав результат, мы видим интересный факт sin(x)cos(x)dx=
=-dcos(2x)=dsin2(x)=-dcos2(x), а именно дифференциалы различных функций одинаковые, однако если воспользуемся основным тригоно- метрическим тождеством и формулами понижения степени для синуса или косинуса, то увидим, что все эти функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
d) . Подведём под знак дифференциала подкоренное выражение. d(1-x2) =-2xdx, следовательно, xdx= -d(1-x2) получим ==-d. Здесь мы воспользовались формулой X1V. табл. 1 при этом учли, что u=(1-x2).
e) . Заметим, что=d(arcsinx), получим =dln(arcsinx). В этом примере сработала формула X1. табл.1, где u=(arcsinx).
f)==(arcsin-2x)d(arcsinx)=-d(arcsinx)-1=-d.
Мы привели решение без пояснений оно на начальном этапе похоже на решение в предыдущем примере, лишь в конце воспользовались формулой 11. табл.1.
g) . Найдём дифференциал знаменателя d(cos2x + sinx)=
=(-2(cosx)(sinx)+cosx)dx=(cosx-sin2x)dx, следовательно, в числителе стоит дифференциал знаменателя, тогда имеем = ==dln(cos2x+sinx). (u=cos2x+sinx, формула 11. табл.1).
h) . Решение приведём без пояснений. d(5+3lnx)=, следовательно,=d(5+3lnx), тогда ==
=dln(5+3lnx). Здесь u=5+3lnx.
t) ==2.
Попробуйте самостоятельно ответить на вопрос дифференциалы, каких функций описывают данные ниже выражения?
1); 2)tgxdx; 3) ctgxdx; 4) ; 5) xsin(x2)dx; 6) ;
7) ; 8); 9); 10).
Правильность решения проверьте дифференцированием.