- •Оглавление
- •Матрицы
- •Обратные матрицы
- •Ранг матрицы
- •Матричные уравнения
- •Глава 2. Системы линейных уравнений.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Базисные решения
- •Фундаментальные решения
- •Геометрические векторы
- •Сумма множеств по Минковскому
- •Элементы аналитической геометрии
- •N-мерные векторы
- •Глава 4. Векторные пространства
- •Векторные пространства и подпространства
- •Линейные многообразия
- •Метрические пространства
- •Евклидовы пространства
- •Глава 5. Линейные отображения
- •Квадратичные формы
- •Глава 6. Векторные функции
- •Глава 7. Классические методы оптимизации
- •Экстремум неявной функции
- •Условный экстремум
- •Глобальный экстремум
- •Экстремум в системах функций
- •Найти экстремум в системах функций
|
Глава 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
34 |
||||
|
3x1 5x2 |
|
x3 4 |
|
|
|
r A r A | B . Система не имеет |
||||||||||||||||
|
|
|
7x2 |
x3 |
|
5 . |
|
|
|
||||||||||||||
63. 4x1 |
|
|
|
|
решений. |
|
|||||||||||||||||
|
2x |
x |
2 |
|
3x |
3 |
9 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5x1 |
4x2 |
18x3 |
5x4 |
12 |
r A r A | B 2 . Система |
|
||||||||||||||||
64. |
x1 |
3x2 |
|
7x3 |
2x4 |
5 |
имеет бесконечное множество |
||||||||||||||||
8x |
|
9x |
|
|
|
5x |
|
|
|
x |
|
1 |
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
||||
|
2x |
5x |
2 |
3x |
x |
4 |
решений. |
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||
|
3x x 2x 3x |
|
|
7 |
r A r A | B . Система не имеет |
||||||||||||||||||
65. |
5x11 x32 |
|
2x43 |
|
6 |
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
2x |
|
|
3x |
|
|
|
4x |
|
8 |
|
|
||||||||||
|
x |
2 |
|
3 |
|
4 |
решений. |
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3x |
|
5x |
|
1 |
|
|||||||||
|
8x x |
2 |
|
3 |
4 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x1 2x2 |
|
4x3 |
|
4x4 |
5 |
r A r A | B 4 . Система имеет единственное |
|
|||||||||||||||
|
x1 |
x2 |
|
3x3 |
|
3x4 |
|
0 |
|
||||||||||||||
66. |
x |
x |
2 |
x |
3 |
x |
4 |
4 |
|
|
|
решение. |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x1 |
|
3x 2 |
5x3 |
x4 |
|
3 |
|
|
Базисные решения
67.Может ли система линейных уравнений не иметь базисных решений? Обосновать.
Как определить максимальное число
68.возможных базисных решений системы линейных уравнений?
Да, если:
1)система уравнений является однородной;
2)система уравнений, являясь неоднородной, несовместна.
Это число сочетаний из n неизвестных по r, где r – ранг матрицы коэффициентов при неизвестных, n – число неизвестных.
Найти все базисные решения системы уравнений
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
0, |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
0, 0 |
, |
|
|
, |
|
|
|
|
, 0 |
, |
|
|
|
, 0, |
0, |
|
, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x1 x2 |
x3 |
2x4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||||||||||||||||
69. |
x |
x |
2 |
x |
|
2x |
4 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
, 0, |
|
|
, |
0, 0, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
, |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0, 0 |
, |
|
|
, 0, |
|
|
|
|
|
, |
0, 0, |
|
|
|
, |
|
, |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
3x |
|
x 2x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
||||||||||||||||||
70. |
x1 |
x |
2 |
2 x |
3 2x |
4 |
4 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
0, |
|
0, |
|
|
|
|
, 0, |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
x |
|
x |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1, |
1, 2, |
0 , 1, |
0, 2, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
2x4 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
71. |
2x1 |
2x2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
x |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3x1 x2 2x3 2x4 18 |
4, |
4, |
|
1, |
0 , 4, |
0, 1, |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x4 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
72. |
x1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x x |
2 |
x |
3 |
2x |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2x x |
|
x |
|
x |
|
|
5 |
|
4 |
, |
17 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
17 |
|
|
|
|
9 |
|
|
0, 0, |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0, |
|
0 , |
|
|
|
, 0, |
|
|
|
|
|
, 0 , |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
73. |
x1 |
2x2 |
2x3 |
3x4 6 . |
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3x1 x2 |
x3 2x4 |
1 |
|
0, |
9, |
0, 4 , 0, 0, |
9, 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти какое-либо одно базисное решение системы линейных
x |
|
2x |
x |
|
1 |
||
|
1 |
|
|
3 |
4 |
|
|
74. x1 |
2x |
4x3 |
x4 |
|
1. |
||
x |
2 |
4x x |
4 |
1 |
|||
|
1 |
|
|
3 |
|
уравнений:
Свободная переменная - x4 :
3, 4, 1, 0
Глава 2
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
2x |
4 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
75. |
x1 |
|
x2 |
|
2x3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x x x |
|
2x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2x1 |
|
x2 |
|
x4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
76. |
x1 |
|
2x3 x4 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x3 |
x4 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3x 5x |
3x 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
2x1 |
|
4x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
77. |
x |
|
4x |
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x1 x |
2 |
x3 |
|
x4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
x2 |
|
|
|
2x3 |
|
|
x4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
78. |
2x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
2x |
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
2x |
2 |
x |
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
1 |
2x |
2 |
|
x |
3 |
2x |
4 |
|
2x |
5 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
79. |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x3 |
|
|
6x4 |
|
x5 |
|
4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
2x |
3 |
x |
4 |
|
x |
5 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3 |
|
x |
4 |
|
x |
5 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
80. |
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x3 |
x4 |
x5 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
1 |
2x |
2 |
|
4x |
3 |
x |
4 |
x |
5 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
2x |
3 |
x |
4 |
- 2x |
5 |
|
4x |
6 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
81. 2x1 |
|
x2 |
|
|
2x3 |
|
- 2x |
4 |
|
|
x5 |
|
x6 |
|
3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2x x |
2 |
4x |
3 |
2x |
4 |
|
|
|
|
x |
6 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2x1 |
x2 |
x3 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x1 |
|
2x2 |
|
|
x3 |
x4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
82. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||
|
x1 |
x |
2 |
|
|
x |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x1 |
2x2 5x3 4x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x1 |
|
x2 |
|
|
|
|
x4 |
|
x5 |
|
|
4x6 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
83. |
x |
|
3x |
2 |
|
3x |
3 |
2x |
4 |
|
|
3x |
5 |
|
|
3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3x1 |
|
2x2 |
|
|
3x3 |
|
3x4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x1 |
x2 |
|
|
x3 |
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2x x |
2 |
|
|
|
|
x |
3 |
|
x |
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
84. 3x1 |
2x3 |
|
x4 |
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x1 |
|
2x2 |
2x3 |
|
2x4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4x |
|
2x |
2 |
2x |
3 |
|
2x |
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
|
35 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободная переменная - x4 : |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4, |
|
1, |
1, |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободная переменная - x4 : |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, 5, |
1, |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободная переменная - |
x 3 : |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
0,5, 0, 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Свободная переменная - |
x 3 : |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, |
0, |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные - |
x4 , |
x5 : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, 0, |
1, 0, |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные - |
x4 , |
x5 : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5, |
|
4, |
|
|
|
|
, |
0, |
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 , |
|
x6 : |
||||
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные - |
x5 , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
3, |
|
|
|
, |
0, |
0, |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные - |
x4 , |
x5 : |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, 0, 1, 0, |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные - x5 , |
x6 : |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1, |
1, |
|
|
1, |
|
1, 0, |
|
0 |
|
|
|||||||
Свободные переменные - x3 , x4 , |
x5 : |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
, 0, |
|
|
0, |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Фундаментальные решения
|
|
Да, если определитель матрицы, |
85. |
Может ли однородная система линейных уравнений не иметь |
составленной из коэффициентов перед |
|
фундаментальных решений? Обосновать. |
неизвестными, отличен от нуля. |
|
Какому условию должна удовлетворять система линейных |
|
86. |
уравнений, чтобы сумма двух решений этой системы также |
Быть однородной. |
|
являлась бы решением данной системы? |
|
87. |
Чему равен ранг набора фундаментальных решений, |
Количеству фундаментальных решений |
входящих в фундаментальную систему решений? Обосновать. |
в наборе. |
|
|
Как определить число фундаментальных решений в наборе, |
Это величина равна n-r, где r – ранг |
88. |
представляющем общее решение однородной системы |
матрицы коэффициентов при |
|
линейных уравнений? |
неизвестных, n – число неизвестных |
89. |
Как определить максимальное число возможных наборов |
Это число сочетаний из n неизвестных |
фундаментальных решений системы линейных уравнений? |
по r, где r – ранг матрицы коэффици- |
Глава 2 |
Системы линейных уравнений |
36 |
|
ентов при неизвестных, n – число |
|
|
неизвестных. |
|
Можно ли для любой однородной системы линейных уравнений с рациональными |
|
|
90. коэффициентами построить целочисленные фундаментальные решения (при условии, что ранг |
Можно |
|
матрицы коэффициентов меньше числа переменных)? Обосновать. |
|
91.Показать, что любые два решения однородной системы линейных уравнений пропорциональны, если ранг системы на единицу меньше числа переменных (случай нулевого решения исключить).
|
Решить системы линейных уравнений, выделив фундаментальные решения: |
|
||
92. |
Свободные переменные |
( ) |
( ) |
( ), где |
93.
94.{
95.{
96.{
|
2x 6x |
2 |
4x |
3 |
|
|
3x |
4 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
97. |
3x1 |
4x2 |
|
5x3 |
|
|
2x4 |
|
0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
11x |
|
8x |
2 |
|
17 x |
3 |
2x |
4 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
3 |
|
x |
4 |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
98. |
x1 |
|
|
2x |
|
|
4x3 |
|
x4 |
|
0 . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
|
2 |
|
4x |
3 |
|
x |
4 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x 6x |
2 |
|
4x |
3 |
|
2x |
4 |
|
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
99. |
2x1 |
|
4x2 |
5x3 |
|
3x4 |
|
0 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
4x |
8x |
2 |
|
17 x |
3 |
|
11x |
4 |
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
6x 3x |
|
2 |
4x |
3 |
|
2x |
4 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
100. |
4x1 |
2x2 |
5x3 |
3x4 |
|
0 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
8x |
|
4x |
2 |
17 x |
3 |
11x |
4 |
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x 5x |
|
|
2x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
101. |
4x1 |
7x2 |
|
|
5x3 |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
x |
|
4x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2x |
9x |
2 |
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x1 |
2x2 |
4x3 |
|
3x4 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
102. |
3x1 5x2 |
6x3 |
|
|
4x4 |
|
0 |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
8x |
|
|
24x 19x |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
4x 5x 2x 3x 0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
( ), где |
|
|
|||||||||||||
Свободные переменные |
|
|
( |
) |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
) где |
|
|
|||||||||
|
|
Свободная переменная |
|
|
|
|
|
( |
|
) |
|
( |
) где |
|
||||||||||||||
Свободные переменные x2 : ( |
) |
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
|
) где |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где c R |
|
|||||||
Свободная переменная |
x2 |
|
c 1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Свободная переменная |
x4 : |
x |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
c |
1 |
, где c R |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
Свободные переменные x , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
: x2 |
|
c |
1 |
|
c |
1 |
, |
с ,с |
|
R |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
2 |
5 |
|
1 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
||||||
Свободные переменные x2 , |
|
|
x3 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x1 |
|
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
c1 |
0 |
|
c2 1 |
|
|
, где с1 ,с2 R |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|
0 |
|
|
1,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Фундаментальная система не существует. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Есть только нулевое решение. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 , |
|
|
|
x4 |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
7 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
c1 |
|
6 |
|
|
|
5 |
|
,с2 R |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
c2 |
|
,с1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Глава 2
|
2x1 |
x2 x3 |
|
|
|
x5 |
0 |
|
|
|||||||||||||||||||
103. |
2x1 |
2x2 x3 x4 0 |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
x1 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
x5 |
0 |
||||||||||||||||
|
x x |
2 |
x |
3 |
x |
5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x1 x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x5 |
|
0 |
|||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
0 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
104. |
|
|
|
x2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
x4 |
x5 |
|
0 |
||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x1 |
x2 2x3 |
x |
|
|
x5 |
|
0 |
|||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x |
5 |
|
0 |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
105. |
|
|
2x2 - 4x3 |
|
x4 |
x5 |
0 . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
2x |
|
|
2x4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||
|
x |
2 |
3 |
x |
4 |
|
2x |
5 |
0 |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x2 x3 x4 |
|
x |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||
|
x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
5 |
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
106. |
|
|
|
|
|
|
|
x3 x4 |
x5 |
|
0 . |
|||||||||||||||||
|
x1 |
|
|
2x3 |
x4 |
2x5 |
0 |
|||||||||||||||||||||
|
2x |
|
|
4x |
3 |
2x |
4 |
|
4x |
5 |
|
0 |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x |
|
|
0 |
||||||||||||||||||||
|
2x |
x |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
107. |
|
3x1 |
|
|
|
2x3 |
x4 |
x5 |
|
0 . |
||||||||||||||||||
|
2x1 |
2x2 |
2x3 |
|
2x4 |
|
|
0 |
||||||||||||||||||||
|
4x |
2x |
|
2x |
|
|
|
2x |
|
|
0 |
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
37 |
|||||||
|
x1 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||
Свободная переменная |
x 5 : x3 |
|
c |
1 |
|
, где c R |
|
|
|
x4 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Свободная переменная x |
3 |
: |
|
|
x |
3 |
|
c |
1 |
, где c R |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||
Свободная переменная |
|
x |
3 |
: |
|
x |
|
|
c |
|
1 |
|
, где |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
c R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
Свободные переменные - x |
|
, x |
|
|
: |
|
x |
|
|
c |
|
|
1 c |
|
|
|
1 |
|
, где |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с1 ,с2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свободные переменные - x3 , |
|
|
x4 , |
x5 : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
c |
|
3 |
|
c |
|
|
|
0 |
|
|
c |
|
0 |
|
, где с ,с |
|
|
|
R |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
,c |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 3 |
|
||||||||||||
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что можно сказать о решении неоднородной |
Система имеет бесконечное множество решений, |
108. системы из 10 линейных уравнений с 5-ю |
которые представляют собой набор из 2-х фун- |
переменными, если r A r A| B 3 ? |
даментальных решений плюс базисное решение. |
Ранг матрицы коэффициентов системы должен быть равен рангу расширенной матрицы и равен числу переменных в системе.
Что можно сказать о решении неоднородной системы из m
110.уравнений с n переменными, если для ранга r выполнено условие r n m ?
Какому условию должна удовлетворять переменная в системе
111.уравнений, чтобы ее можно было причислить к базисным переменным?
Система имеет бесконечное множество решений.
Она не должна приводить к обнулению определителя, составленного из коэффициентов перед базисными переменными.
Общее решение Найти общее решение линейного уравнения, выделив в ответе фундаментальную
совокупность решений, если она есть, и базисное решение.
Возьмем x1 в качестве базисной переменной, x2 .-
|
|
свободной. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
112. x1 2x2 |
3 . |
x1 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
, где c R |
||
|
|
|
|
c |
1 |
|
|
0 |
|
|||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
фундаментальное |
базисное |
решение |
решение |
Глава 2
113.2x1 3x2 x3 1 .
114.3x1 3x2 x3 2x4 x5 3
x1 2x2 |
x3 |
1 |
. |
|||
115. |
x |
x |
|
2x |
2 |
|
|
2 |
|
||||
1 |
|
3 |
|
|
116. 2x1 3x2 x3 3 .
3x1 2x2 x3 1
|
2x 3x |
2 |
|
5x |
3 |
|
7x |
4 |
1 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
117. 4x1 |
6x2 |
|
2x3 |
|
3x4 |
2 . |
||||||||||||
|
2x |
3x |
2 |
|
11x |
3 |
|
15x |
4 |
1 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x 5x |
2 |
|
2x |
3 |
|
4x |
4 |
2 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
118. 7x1 |
4x2 |
|
x3 |
3x4 |
|
5 . |
||||||||||||
|
5x |
7x |
2 |
|
4x |
3 |
|
6x |
4 |
3 |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x 4x |
2 |
|
x |
3 |
2x |
4 |
3 |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
119. 6x1 |
8x2 |
2x3 |
|
5x4 |
|
7 . |
||||||||||||
|
9x |
12x |
2 |
3x |
3 |
10x |
4 |
13 |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3x 2x |
2 |
|
5x |
3 |
|
4x |
4 |
2 |
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
120. 6x1 |
4x2 |
|
4x3 |
|
3x4 |
3 . |
||||||||||||
|
9x |
6x |
2 |
|
3x |
3 |
|
|
2x |
4 |
4 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
38 |
Базисной переменной возьмем x3 , свободными переменными будут
x1 , x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1 |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|||||||
x |
|
|
c |
|
0 |
|
c |
|
1 |
|
|
0 |
|
, где c , c |
|
R |
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фундаментальные |
базисное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
решения |
|
|
|
решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Базисной переменной возьмем x 1 , свободными |
|
|||||||||||||||||||||||||
переменными будут x2 , |
|
x3 , |
|
x4 , |
|
x5 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
|
|
c |
|
0 |
|
c |
|
|
3 |
|
c |
|
|
0 |
|
c |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
, где |
|
3 |
1 |
|
0 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
4 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фундаментальные |
решения |
|
|
|
|
базисное |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение
c1 ,c2 ,c3 ,c4 R
Базисными переменными возьмем x1 , x3 , свободной
переменной будет |
x2 |
|
|
|
|
||||||
x1 |
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
||
x |
|
|
|
c |
1 |
|
|
0 |
|
, где |
c R . |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
фундаментальное |
|
базисное |
|
|
|||
|
|
|
|
решение |
|
решение |
|
|
Базисными переменными возьмем x2 , x3 , свободной
переменной будет |
|
x1 |
|
|
|
|
|||||
x1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
||
x |
|
|
|
c 5 |
|
|
|
4 |
|
, где |
c R . |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
13 |
|
|
9 |
|
|
|
||
|
|
|
|
фундаментльное |
|
базисное |
|
|
|||
|
|
|
|
решение |
|
|
решение |
|
|
Базисными переменными возьмем x3 , x4 , свободными переменными будут x1 , x2
x |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
x3 |
|
c1 |
|
22 |
|
c2 |
|
33 |
|
11 |
, где c1 , c2 R |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
24 |
8 |
|
|
|||||||
x4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
фундаментальные |
|
базисное |
|
||||||
|
|
|
|
решения |
|
|
|
решение |
|
Система не имеет решений
Базисными переменными возьмем x3 , x4 , свободными переменными будут x1 , x2
x |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|
|||||
1 |
|
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
x3 |
|
c1 |
|
3 |
c2 |
|
4 |
|
|
1 |
|
, где c1 , c2 R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|||||||
x4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
фундаментальные |
|
базисное |
|
||||||
|
|
|
решения |
|
|
|
решение |
|
Базисными переменными возьмем x3 , x4 , свободными переменными будут x1 , x2 .
Глава 2
|
6x 10x |
2 |
4x |
3 |
8x |
4 |
1 |
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
121. 7x1 |
|
4x2 |
|
x3 |
|
3x4 |
|
2 . |
||||||||||
|
5x |
|
7x |
2 |
|
4x |
3 |
|
6x |
4 |
3 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3x 5x |
2 |
2x |
3 |
|
2x |
4 |
4 |
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
122. 2x1 |
|
7x2 |
3x3 |
|
x4 |
6 . |
||||||||||||
|
9x |
|
4x |
2 |
|
x |
3 |
|
7x |
4 |
2 |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x 12x |
2 |
3x |
3 |
10x |
4 |
13 |
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
123. 3x1 |
4x2 |
x3 |
2x4 |
|
3 |
. |
|||||||
6x |
8x |
2 |
2x |
3 |
5x |
4 |
7 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 8x2 |
|
7x3 |
|
12 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
4x1 |
3x2 |
9x3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
124. |
|
2x |
3x |
|
5x |
|
7 . |
|
|
|
|
|||||||
|
2x 1 5x |
|
2 8x |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x1 3x2 |
x3 |
|
2x4 |
x5 |
4 |
|
||||||||||
125. |
x1 |
x2 2x3 |
|
x4 x5 1 |
. |
|||||||||||||
|
2x2 x3 x4 |
2x5 |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
4 |
|
|||||||||||||||
|
x 2x |
2 |
|
|
2x |
3 |
2x |
4 |
2x |
5 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 2x2 4x3 x5 1 |
|
|||||
|
2x1 6x4 4x5 |
4 |
. |
|
||||
126. |
x x 2x |
1 |
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
4 |
x 2x 5 |
|
||
|
|
x |
x |
3x |
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
||
|
|
x1 |
x2 |
2x3 |
x5 |
2 |
|
|
127. |
2x1 |
x4 |
x5 3 |
. |
||||
|
|
|
- 2x4 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
x1 x2 2x3 x4 2x5 5 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
39 |
||||||||
x |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
c1 |
|
15 |
c2 |
|
10 |
|
6 |
|
, где c1 , c2 |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
12 |
7 |
|
|
|
||||||||
x4 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
фундаментальные |
|
базисное |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
решения |
|
|
|
решение |
|
|
|
Система не имеет решений
Базисными переменными возьмем x1 , x2 , свободными переменными будут x3 , x4 .
x1 |
|
|
1 |
|
9 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||
x2 |
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
10 |
|
|
|
||
|
|
c1 |
11 |
|
c2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
, где |
c1 , c2 R |
|
11 |
|||||||||||||||||
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
11 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
фундаментальные |
|
|
|
|
базисное |
|
|
||||||||
|
|
решения |
|
|
|
|
|
|
решение |
|
|
Базисной переменной возьмем переменными будут x1 , x2 .
x |
|
|
1 |
|
0 |
0 |
|||||
1 |
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
x3 |
c1 |
|
3 |
c2 |
|
4 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|||||||
x4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
фундаментальные |
|
базисное |
||||||
|
|
|
решения |
|
|
|
решение |
x1 |
|
|
3 |
|
||
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
x3 |
|
|
|
|
базисное
решение
x3 , свободными
, где c1 , c2 R
Базисными переменными возьмем x1 , x2 , x3 , x 4 , свободной переменной будет x5 .
x1 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|||
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
1 |
|
1 |
, где c R . |
||||||
c |
|
|
|
||||||||
x4 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|||
x |
5 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
фундаментальное |
|
базисное |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
решение |
|
|
решение |
|
Базисными переменными возьмем x1 , x2 , x3 , x 4 , свободной переменной будет x5 .
x1 |
|
|
|
11 |
|
25 |
|
|
|
||
x2 |
|
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
5 |
|
|
9 |
|
|
c R . |
x3 |
|
, где |
|||||||||
x4 |
|
|
|
3 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
5 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
фундаментальное |
базисное |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
решение |
|
решение |
|
|
Система не имеет решений.
Глава 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
40 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базисными переменными возьмем x1 , x2 , x3 , |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободной переменной будет x4 . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
31 |
|
|
|||||||
|
x1 |
x2 |
3x3 |
x4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
4x |
2 |
5x |
3 |
2x |
4 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
128. |
2x1 |
9x2 |
8x3 |
3x4 |
7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
3x |
7x |
|
7x |
|
2x |
|
12 |
|
2 |
c |
0 |
|
|
|
3 |
|
|
, где c R . |
|
|||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
x3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||||
5x1 7x2 |
9x3 |
2x4 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
2 |
6 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фундаментальное |
базисное |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение |
|
|
|
решение |
|
x1 2x2 3x3 2x4 x5 4
129.3x1 6x2 5x3 4x4 3x5 5 .x1 2x2 7x3 4x4 x5 112x1 4x2 2x3 3x4 3x5 6
3x1 2x2 2x3 x4 7
130.6x1 4x2 5x3 2x4 3x5 1.9x1 6x2 x3 3x4 2x5 23x1 2x2 4x3 x4 2x5 3
Базисными переменными возьмем x3 , x4 , x5 , свободными переменными будут x 1 , x 2
x1 |
|
|
1 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
c |
|
1 |
|
c |
|
|
2 |
|
4,5 |
|
, |
где c , c |
|
R . |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||
x4 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
12,5 |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
7,5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
фундаментальные |
|
|
базисное |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
решения |
|
|
|
|
|
решение |
|
|
|
|
|
|||||
Базисной переменной возьмем |
x4 , свободными |
||||||||||||||||||||
переменными будут |
x 1 , x 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
c |
|
0 |
|
c |
|
|
0 |
|
|
13 |
|
|
, где c , c |
|
R . |
||
|
3 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
x4 |
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
||||
x |
5 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
34 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
фундаментальные |
|
|
базисное |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
решения |
|
|
|
|
|
решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Базисными переменными возьмем x3 , x5 , |
свободными |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменными будут |
x1 ,x2 . |
|
||||||||||||||
|
6x1 3x2 4x3 |
8x4 13x5 9 |
|
|
x1 |
|
1 |
|
0 |
0 |
|
||||||||||||||||||||||||
131. 6x1 |
3x2 |
2x3 |
4x4 |
5x5 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||||||||||
|
|
x2 |
|
0 |
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x |
x x 2x 3x 2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
R |
|||||||||||||||||
|
4x |
2x |
|
x |
|
x |
|
2x |
|
1 |
|
|
c1 |
8 |
c2 |
|
|
1 , где c1 , c2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
5 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фундаментальные |
|
базисное |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решения |
|
|
|
|
решение |
|
||||
|
Исследовать систему и найти ее решения в зависимости от : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При 4 |
решений нет; при 4 - бесконечное множество |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
132. |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2x1 |
2x2 |
|
|
|
|
|
|
решений |
|
|
|
c |
|
|
|
, где c R . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1 |
решений нет; при 1 - единственное решение |
||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
133. |
x1 |
2x2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1 |
решений нет; при 1 - бесконечное множество |
||||||||||||||||||
|
x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
134. |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 , |
где c R . |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решений |
|
|
|
c |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
135. |
x1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1- единственное решение x1 |
1, x2 |
0 ; |
|
|||||||||||||||||||||
x |
x |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2
x |
|
x |
2 |
x |
1 |
||
|
1 |
|
|
3 |
|
||
136. x1 |
x2 |
x3 |
1 . |
||||
x |
x |
2 |
x |
1 |
|||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
Системы линейных уравнений |
|
|
|
41 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 - |
||||||||
при 1- бесконечное множество решений |
|
|
|
c |
|
|
|
; при |
|||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
x1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
c R . |
|
|
|
|
|
|
|||
бесконечное множество решений |
|
c |
|
|
, где |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x2 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 1, 2 - единственное решение |
|||||||||||||||||||
x1,2,3 |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
при 1- бесконечное множество |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
||||||||
решений |
x |
|
|
c |
|
1 |
|
c |
|
0 |
|
|
0 |
|
, где |
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
0 |
|
|
2 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
c1 , c2 R ; |
|
при 2 решений нет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При 0 |
нет решений, при 0 - бесконечное |
|||||||||||||||
|
5x 3x 2x 4x 3 |
|
|
|
|
множество решений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
137. |
4x1 1 2x2 2 3x3 3 7x4 4 1 |
. |
|
|
|
x1 |
|
|
2,5 |
6,5 |
|
|
1,5 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
6x2 |
x3 5x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
8x1 |
9 |
|
|
|
|
x2 |
c1 |
3,5 |
|
c2 |
9,5 |
|
|
|
3,5 |
, где c1 , c2 |
R |
||||||||||||||
|
|
7x1 |
3x2 |
7x3 17x4 |
|
|
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
При каком условии линейная комбинация решений |
|
|
Сумма коэффициентов линейной |
|
||||||||||||||||||||||||||||
138. |
неоднородной системы линейных уравнений снова будет |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
комбинации равна единице. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
решением этой системы? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
139. |
Какой вид имеет линейная функция, проходящая через |
|
|
y 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
точки с координатами 0, |
3 |
и 1, |
5 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
140. |
Какой вид имеет квадратный трехчлен f x , если |
|
|
f x x 2 5x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f 1 1 , |
f 1 9 , |
f 2 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Какой вид имеет многочлен третьей степени |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
141. |
y ax3 |
bx 2 cx d , если |
y 1 0 , y 1 4 , y 2 3, |
|
|
y 2x3 |
5x2 7 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
y 3 16 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Какой вид имеет дробно-рациональная функция y |
ax b |
, если |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
142. |
cx d |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
||||||||
|
y 3 1, |
y 1 3, |
y 0 2 , y 2 0 ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Матричные уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
143. |
Перечислить основные отличия в правилах преобразований матричной алгебры от |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
правил обычных алгебраических преобразований. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
144. |
При каком условии обе части матричного равенства можно |
|
Если матрица состоит из одного |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
разделить на матрицу? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элемента и этот элемент ненулевой. |
|||||||||||||||||||||||
|
Решить матричное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
145. |
1 |
2 |
|
|
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
||||||||||
|
3 |
|
X |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 |
|
|
5 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
2 3 |
|
1 |
|
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 4 |
|
5 |
|
|
|
||||||||||
146. |
|
3 |
|
2 |
|
4 X |
10 |
2 |
|
7 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
10 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5 |
|
3 |
|
1 |
|
8 3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
147. |
X |
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
5 |
9 |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
6 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
5 2 |
|
1 |
|
|
2 15 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 8 |
|
9 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
|
42 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
148. |
X |
3 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
, c ,c |
2 |
R |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 3c2 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 8 |
|
|
|
|
9 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Решить матричное уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
149. |
AXB C , если |
|
4 3 |
B |
|
6 8 |
|
|
5 4 |
X |
A |
1 |
|
|
|
1 |
|
0,3 |
6,4 |
||||||||||||||||||||||||||||||
A |
|
, |
|
|
, |
C |
2 0 |
. |
|
|
CB |
|
|
|
|
|
8,0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|||||||||
150. |
T |
|
B |
1 |
, если A |
2 |
1 |
|
B |
1 1 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
1 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
A X |
|
|
|
0 |
|
, |
|
|
|
. |
|
|
BA |
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
151. |
A |
1 |
X |
1 |
B |
1 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
X |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, если A |
|
|
, |
B |
1 |
|
. |
|
|
BA |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
152. |
|
|
1 |
X |
T |
B , если |
A |
1 |
|
0 |
B |
|
1 1 |
|
|
X |
B |
2 |
T |
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
AB |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
|
|
||||||||
153. |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
, если A |
1 |
0 |
B |
0 1 |
|
X |
A |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||
ABX |
|
|
A |
|
|
0 |
2 |
, |
|
1 1 |
. |
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
154. |
|
T |
|
1 |
B |
T |
|
1 |
AB , если |
A |
|
1 1 |
, |
|
|
2 |
0 |
|
X |
B |
T |
|
|
|
|
T |
|
14 25 |
|
|
|||||||||||||||||||
A X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
. |
|
|
|
ABA |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 11 |
|
|
|||||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||
155. |
|
|
B |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, если |
A |
|
|
|
, |
B -невырожденная матрица. |
X |
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
AX |
|
|
|
|
|
BA |
|
|
A A |
|
|
3 5 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
156. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
B |
1 2 |
|
|
X |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
AX XB A B , если A |
|
|
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
1 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
157. |
X AX E A , если |
A |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
X |
с1 |
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где c1 ,c2 R |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 с1 1 |
с2 |
|
|
|
|
|
Предприятие использует три вида сырья, выпуская два вида продукции. В таблице приведены данные производства в условных единицах затрат на производство одного изделия. Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
158. |
|
Расход сырья по видам продукции |
Запас сырья |
|
|
Вид сырья |
Продукция 1 |
Продукция 2 |
|
|
|
|
|
|
|
░1░ |
2 |
3 |
1200 |
|
░2░ |
1 |
4 |
2400 |
|
░3░ |
5 |
1 |
1000 |
|
продукция 1 |
|
1000 |
|
|
|
продукция 2 |
|
|
2000 |
|
|
|
|
|
|
Обувная фабрика выпускает 4 вида продукции: мужскую обувь, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
женскую обувь, детскую обувь и изделия по уходу за обувью. В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
таблице приведены данные производства в условных единицах затрат |
|
мужская |
|
|
|
|
|||||||
|
на производство одного изделия. Определить объем выпуска |
|
|
обувь |
|
|
|
100 |
|
|||||
|
продукции каждого вида при заданных запасах сырья. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
женская |
|
|
|
|
|
||||||
|
Вид |
Расход сырья по видам продукции |
|
Запас |
|
100 |
||||||||
159. |
|
|
обувь |
|
|
|
|
|||||||
сырья |
Мужская |
Женская |
Детская |
Изделия по |
|
сырья |
|
детская |
|
|
|
|
||
|
|
Обувь |
обувь |
обувь |
уходу |
|
|
|
обувь |
|
|
200 |
|
|
|
░1░ |
20 |
10 |
10 |
0 |
|
5000 |
|
изделия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
░2░ |
30 |
40 |
20 |
1 |
|
12000 |
|
по уходу |
|
1000 |
|
||
|
░3░ |
20 |
60 |
10 |
1 |
|
11000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
░4░ |
10 |
50 |
5 |
0 |
|
7000 |
|
|
|
|
|
|
|
Глава 2 |
Системы линейных уравнений |
43 |
Матрица конечного продукта
В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период между двумя отраслями промышленности в условных единицах. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли,
160.если объем выпуска конечного продукта первой отрасли возрастет на
10%;
|
Потребление |
Конечный |
Валовой |
|
Отрасль |
1 |
2 |
продукт |
выпуск |
|
|
|
|
|
░1░ |
5000 |
15000 |
80000 |
100000 |
░2░ |
10000 |
10000 |
180000 |
200000 |
|
|
|
|
|
80000180000
Матрица валового выпуска
100000200000
Матрица прямых затрат
0,05 |
0,075 |
||
|
0,1 |
0,05 |
|
|
|
Необходимый объем валового выпуска каждой отрасли при увеличении валового выпуска первой отрасли на 10%
108492200894
В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период между тремя отраслями промышленности в условных единицах. Найти матрицы конечного продукта и валового выпуска, матрицу коэффициентов прямых затрат. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если:
1)конечный продукт 1-й отрасли возрастет на 20%;
2)конечный продукт 2-й отрасли увеличится вдвое;
3)конечный продукт по каждой отрасли возрастет на 50%.
161. |
|
|
Потребление |
|
Конечный |
Валовой |
||
Отрасль |
1 |
|
2 |
|
3 |
продукт |
выпуск |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
░1░ |
20 |
70 |
|
10 |
1000 |
1100 |
|
|
░2░ |
30 |
60 |
|
10 |
500 |
600 |
|
|
░3░ |
20 |
40 |
|
90 |
1000 |
1150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты матрицы прямых затрат считать, беря 4 значащие цифры после запятой.
Матрица конечного
|
1000 |
|
продукта |
600 |
. |
|
|
|
|
1000 |
|
Матрица валового выпуска
1100 |
|
600 |
. |
|
|
1150 |
|
Матрица прямых затрат
0,0182 |
0,1167 |
0,0087 |
|
|
|
0,0273 |
0,1000 |
0,0087 |
. |
|
0,0182 |
0,0667 |
0,0783 |
|
|
|
|
1304 ,5 |
|
|
1166 ,7 |
|
1) |
606 ,3 |
|
. 2) |
1158 ,0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
1154 ,6 |
|
|
1191,8 |
|
1650,1
3)900,1 .1725,1
В таблице приведены данные об исполнении баланса за определенный период между десятью отраслями промышленности в условных единицах. Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если:
1)конечный продукт всех отраслей должен увеличиться на 10%;
2)конечный продукт 1-й отрасли должен возрасти на 50%, а конечный продукт 10-й отрасли должен уменьшиться при этом на 25%;
3)конечный продукт 10 отрасли должен возрасти в 10 раз.
(Задачу следует решать на компьютере; В ответе оставить одну значащую цифру после запятой).
162. |
|
|
|
|
|
Потребление |
|
|
|
|
Конечный |
Валовой |
|||
|
Отрасль |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
продукт |
выпуск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
░1░ |
2 |
2 |
2 |
0 |
7 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
5 |
80 |
100 |
|
|
░2░ |
0 |
1 |
0 |
4 |
0 |
2 |
|
0 |
2 |
0 |
11 |
80 |
100 |
|
|
░3░ |
2 |
0 |
6 |
0 |
4 |
3 |
|
9 |
3 |
13 |
0 |
160 |
200 |
|
|
░4░ |
0 |
10 |
0 |
5 |
0 |
4 |
|
0 |
4 |
6 |
1 |
170 |
200 |
|
|
░5░ |
10 |
2 |
5 |
0 |
3 |
0 |
|
10 |
10 |
0 |
10 |
250 |
300 |
|
|
░6░ |
2 |
0 |
4 |
6 |
0 |
3 |
|
2 |
2 |
1 |
0 |
280 |
300 |
|
|
░7░ |
1 |
4 |
0 |
1 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
90 |
100 |
|
|
░8░ |
7 |
0 |
3 |
0 |
7 |
3 |
|
0 |
10 |
0 |
10 |
360 |
400 |
Глава 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Системы линейных уравнений |
44 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
░9░ |
16 |
4 |
10 |
10 |
50 |
0 |
0 |
0 |
10 |
0 |
900 |
1000 |
|
|
|
░10░ |
4 |
3 |
4 |
2 |
0 |
3 |
0 |
1 |
1 |
2 |
480 |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каково соотношение между валовым выпуском отрасли и внутренним потреблением каждой отрасли?
110110220220
Ответы: 1) 330 2)
330
110
4401100550
139,497,6200,9
198,6
301,6 3)300,8
100,1400,2
1006,5
381,0
157 ,5
189,4
205,8
255,0
400,0
303,8
114,1
504,3
1033,04843,4
Глава 3 |
|
|
|
|
|
Векторная алгебра |
45 |
|||||||||
|
Глава 3. Векторная алгебра |
|
||||||||||||||
1. Г е о м е т р и ч е с к и е |
в е к т о р ы . Вектором называется направленный отрезок, который может |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
перемещаться параллельно самому себе. Обозначение: a . Длиной или модулем |
a |
вектора называется |
||||||||||||||
число, равное длине направленного отрезка. Два вектора a и b называются взаимно перпендикулярными |
||||||||||||||||
или ортогональными, если a, |
b 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Арифметические действия с векторами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1) |
Произведение числа на вектор |
a есть вектор b такой, что |
|
b |
|
|
|
|
|
a |
|
; направление вектора |
b |
|||
|
|
|
|
|
||||||||||||
совпадает с направлением a , если 0 , |
и противоположно по направлению, если 0 . |
|
||||||||||||||
2) |
Сумма двух векторов a и b есть вектор c a b , определяемый по правилу параллелограмма. |
|
||||||||||||||
3) |
Разность двух векторов a и b есть вектор c a b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) |
Скалярное произведение двух векторов a и b есть число, |
которое определяется по правилу |
a, |
b |
|
a |
|
|
|
b |
|
cos , где - угол между векторами. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 . К о о р д и н а т ы |
в е к т о р а . |
Координатами вектора a |
называются координаты его конечной |
||||||||||||||
точки |
x, |
y, z , |
если |
начальная |
точка |
вектора |
совпадает |
с |
началом |
координат. Обозначение: |
||||||||
a x, |
y, |
|
z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Если |
|
|
i, j, k - |
векторы единичной |
длины, |
направленные |
вдоль |
осей координат (орты), то |
a xi yj zk .
Арифметические действия с геометрическими векторами в координатах. 1) a x2 y2 z2 , в частном случае, при z=0 a x2 y2 .
2) |
cos |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
, cos |
|
|
|
y |
|
|
|
|
, cos |
|
|
z |
|
|
|
|
, , |
где , , |
- углы между |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y2 z 2 |
|
|
|
|
x2 y2 z 2 |
|
|
|
x2 y2 z 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
вектором |
a |
и |
|
положительными |
направлениями |
осей |
|
ОХ, |
|
ОУ, |
|
|
|
OZ |
соответственно, |
причем |
|||||||||||||||||||||||||||||
cos 2 cos 2 cos 2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3) |
|
a |
|
x, |
|
|
y, |
z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Пусть a x1 , |
|
y1 , |
|
z1 , b x2 , |
|
y2 , |
z2 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4) a b x1 x2 , |
y1 y2 , |
z1 z2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5) a b x1 x2 , |
y1 y2 , |
z1 z2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
6) a, |
|
|
b x1 x2 y1 y2 z1 z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
7) |
cos |
|
a, |
b |
|
|
|
x1 x2 y1 y2 |
z1 z2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a |
b |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
y1 |
z1 |
|
x2 y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3. |
А л г е б р а |
|
|
м н о ж е с т в . Пусть |
заданы два произвольных |
множества векторов. |
Векторы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 , x2 , |
..., |
|
|
xn |
|
составляют |
множество |
|
А, |
векторы |
y1 , |
y2 , ..., |
|
ym |
|
- |
|
|
множество В. |
Все |
векторы |
||||||||||||||||||||||||
отсчитываются от начала координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Сумма множеств по Минковскому A B есть совокупность векторов, каждый из которых составлен |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из двух векторов: один взят из множества А, другой из множества В, т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
xi |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi y j , |
где i 1,2,...,n, |
j 1,2,...,m |
|
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
= |
|
y j |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
1 i 1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Алгебраические операции над векторными множествами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
A B = B A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
м |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) A B |
A B , где R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мм
3) Если нулевой вектор o A , то множество A B будет содержать множество В; если нулевой
м
вектор o B , то множество A B будет содержать множество А.
м
Глава 3 |
|
|
|
|
Векторная алгебра |
46 |
4) Множество B A x0 |
есть параллельный перенос множества A x1 , x2 , ..., xn на вектор |
x0 : |
||||
B x1 x0 , x2 x0 , ..., |
xn x0 |
. |
|
|
|
|
5) Сумма множеств по Минковскому A x0 |
и B y0 |
равна: |
|
|||
|
|
|
A x0 B y0 A B x0 y0 |
|
||
|
|
|
м |
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 . n - м е р н ы е |
в е к т о р ы . |
n-мерным |
вектором называется упорядоченная совокупность n |
|||
действительных чисел. |
Обозначение: |
x x1 , |
x2 , ..., |
xn . Арифметические действия с n-мерными |
векторами вводятся аналогично арифметическим действиям с геометрическими векторами в координатах.
Линейным векторным пространством называется множество векторов, в котором определены операции умножения числа на вектор и сложения векторов вместе со своими свойствами.
Вектор a называется линейной комбинацией векторов a1 ,a2 ...am , если a 1a1 2a2 ... mam .
Векторы a1 ,a2 ...am называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1 , 2 ,... m , не
все одновременно равные нулю, |
что 1a1 2a2 ... mam 0 , в противном случае они называются |
линейно независимыми. |
|
5. П е р е х о д к н о в о м у |
б а з и с у . Размерность векторного пространства – максимальное число |
содержащихся в нем линейно независимых векторов. Совокупность любых n линейно независимых векторов называется базисом n – мерного векторного пространства.
Теорема. Каждый вектор линейного векторного пространства можно представить, причем
единственным образом, в виде линейной комбинации векторов базиса. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Переход от старого базиса |
e , |
e |
2 |
... |
e |
n |
к новому базису |
e , |
e |
|
... |
e |
задается формулой |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
... |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
|
1n |
|
|
e , |
e ... |
e |
e , |
e |
|
... e |
|
a21 |
a22 |
|
.. |
a2n |
, |
|||||
1 |
2 |
|
|
n |
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
... ... |
|
... |
... |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an2 |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
|
ann |
|
a |
a |
... |
11 |
12 |
|
где матрица T a21 |
a22 .. |
|
... |
... ... |
|
|
an2 ... |
|
an1 |
a1n a2n
...
ann
называется матрицей перехода от старого базиса к новому.
Координаты вектора в новом базисе выражаются через координаты вектора в старом базисе:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T 1 x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПРИМЕР 1. Вычислить a,b a, |
|
|
a b , если |
|
a |
|
1, |
|
b |
|
2, aˆb |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. a,b a, |
a b a,b a, |
|
a b a,b a,a a,b a,b a,a a,b 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
a |
b |
cos |
|
|
a |
|
|
a |
|
cos 0 |
|
a |
b |
cos |
|
|
|
1 2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторная алгебра |
47 |
||||||||||
|
|
ПРИМЕР 2. |
Вычислить координаты единичного вектора e x1 , |
x2 , перпендикулярного вектору |
|||||||||||||||||||||||||||
a 2, |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Решение. |
|
|
Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю скалярного |
||||||||||||||||||||||||||
произведения: |
|
|
e,a 0 . В |
координатах это равенство имеет вид |
2x1 x2 0 . |
Длина вектора |
е равна |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
единице. |
|
Следовательно, |
|
|
|
x2 |
x2 |
1. Решая совместно оба |
уравнения, |
получим два |
вектора |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
e |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
и e |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕР 3. Найти угол между вектором a 1, |
2, 2 и осью ОХ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Ось ОХ зададим единичным вектором e 1, |
0, 0 . Косинус угла между вектором а и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положительным |
направлением |
|
|
|
оси |
ОХ, |
|
задаваемым |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
вектором е, находится из равенства cos |
|
a,e |
|
. Поэтому |
|
|
A B |
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
e |
|
|
M |
|
м |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a,e |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
||||||||
arccos |
arccos |
|
arccos |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
a |
e |
|
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b |
|
||||||||||
ПРИМЕР 4. Найти алгебраическую сумму по |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Минковскому |
|
|
бесконечного |
|
|
|
множества |
|
|
|
|
|
векторов |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||
A a 4, |
|
2 , |
1 и множества B b 1, |
2 . |
|
|
|
|
|
|
M |
|
N |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Решение. Запись A a 4, |
2 , |
|
1 означает, что |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
концы |
векторов |
a1 , |
|
a2 , ..., an , |
... имеют |
|
координаты |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x, y : |
4 x 2, |
y 1. |
Множество |
|
А |
|
сдвигается |
на |
-3 |
-1 |
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
вектор |
b . |
|
При |
сложении |
|
векторов, |
концы |
|
которых |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
находятся |
на |
линии |
|
y 1 , |
с вектором |
b , |
|
получаются |
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 3 . |
|
|
|
|
|
|
|||
векторы, |
|
концы |
которых |
находятся |
на |
|
|
линии |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Геометрически это означает, что отрезок MN параллельным переносом переходит в отрезок M N (рис.3.1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПРИМЕР 5. Найти алгебраическую сумму по |
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Минковскому |
|
|
бесконечного |
|
|
|
множества |
|
|
|
|
|
векторов |
M |
|
N |
|
|
||||||||||||||||||||||
A a 4, |
|
2 , |
1 и бесконечного множества векторов |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A B |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
B b x, y , |
y x, 0 x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. При |
сложении |
одного |
|
из |
|
|
векторов |
b , |
м |
Q |
|
|
|
|
|
Р |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
оканчивающегося на отрезке ОР (рис. 3.2), с одним из |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
векторов |
|
a |
множества А |
|
получается |
вектор |
a b |
с |
|
|
|
a b |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
концом |
в |
точке |
Q. |
Складывая |
|
векторы |
|
с |
|
концами |
на |
M |
|
N |
1 |
|
b |
|||||||||||||||||||||||
отрезке MN c векторами, концы которых расположены на |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
отрезке |
|
|
|
|
ОР, |
получим |
|
|
множество |
|
|
|
|
|
векторов, |
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
оканчивающихся |
на |
|
фигуре |
MM N N . |
Значит, |
фигура |
-3 |
-1 |
|
О |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MM N N вместе со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
своими граничными |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точками |
|
|
|
и |
есть |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множество A B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Множество графически поставленных точек, из |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которых состоит фигура MM N N , можно считать концами векторов, |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начала которых находятся в начале координат. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
ПРИМЕР 6. Найти алгебраическую сумму по Минковскому |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечного множества векторов |
A a x, y , где x 2 |
y 2 1, и |
||||||||||||||||||||||
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
бесконечного множества векторов B |
b x, y , |
где y 2x, 0 x 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Первое множество векторов оканчивается в круге Рис. 3.3 радиусом 1 с центром в начале координат и показано прямоугольной штриховкой, второе множество векторов находится на отрезке ОР.
Глава 3 |
Векторная алгебра |
48 |
Их сумма по Минковскому указана на рис. 3.3 множеством точек, которые можно представить как концы векторов.
ПРИМЕР 7. Являются ли векторы a1 1, |
2, 1 , |
a2 2, |
3, |
1 , |
a3 4, 1, |
1 линейно |
зависимыми? Если да, найти связь между векторами.
Решение. Составим матрицу из координат векторов, расположив их в виде строк, и найдем ее ранг
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|||||
|
2 |
3 1 |
~ |
0 |
7 |
3 |
|
~ |
0 |
7 |
3 |
. |
|
|
4 |
1 |
1 |
|
0 |
7 |
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из трех строк только две являются линейно независимыми. Третья есть линейная комбинация первых двух. Следовательно, векторы линейно зависимы. Найдем их линейную комбинацию. Рассмотрим
уравнение 1a1 2a2 3a3 о . Поскольку данные векторы линейно зависимы, среди чисел |
1 , 2 , 3 |
||||||||||||||||||||||||
существуют отличные от нуля. Запишем уравнение в матричном виде |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
4 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решим систему по методу Гаусса, преобразуя матрицу их коэффициентов при неизвестных к |
|||||||||||||||||||||||||
треугольному виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
4 |
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|||||||||||
|
2 |
3 |
1 |
~ |
0 |
- 7 - 7 |
~ |
|
0 |
1 |
1 |
|
~ |
|
0 |
1 |
1 |
. |
|
||||||
|
1 1 |
|
1 |
|
0 |
3 |
|
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
Откуда следует |
|
2 |
|
c |
1 |
, где c R . Связь между векторами можно записать, положив, например, |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
c 1 . Тогда 2a1 a2 a3 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 8. Пусть в некотором старом базисе заданы векторы x 0, |
|
3, 1 , a1 2, |
1, |
3 , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 3, 4, |
3 , a3 1, |
2, |
|
5 . Показать, что векторы |
|
a1 ,a2 ,a3 |
составляют новый базис. Разложить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор х по этому базису. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Векторы a1 ,a2 ,a3 |
могут составить базис в трехмерном векторном пространстве, если они |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
линейно независимы. Составив из координат этих векторов матрицу и найдя ее ранг, убедимся, что он |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равен 3. Тогда векторы a1 ,a2 ,a3 |
линейно независимы. Пусть вектор х имеет координаты x1 , |
x2 , |
x3 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
новом базисе, составленном из векторов a1 ,a2 ,a3 . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x1a1 x2a2 x3a3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x |
|
1 |
|
x |
|
|
|
4 |
|
x |
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найдем переменные по методу ГауссаЖордана, используя расширенную матрицу |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 3 |
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
4 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
~ ... ~ |
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 3 |
|
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отсюда x 1, |
1, 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕР 9. Найти матрицу перехода от старого базиса векторов |
e ,e |
2 |
к новому базису e |
,e . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Решение. Векторы e1 ,e2 |
создают базис в двухмерном пространстве. Это означает, что любой третий |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вектор, например e , или |
e есть линейная комбинация векторов этого базиса, он может быть разложен по |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
векторам базиса. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e a |
|
e |
a |
21 |
e |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
a |
|
e |
a |
22 |
e |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В матричном виде |
e |
|
|
a a |
|
e |
|
или |
e |
, |
|
e |
= |
e , |
e |
|
a |
|
a |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
11 |
|
21 |
e |
1 |
|
|
|
|
|
11 |
|
12 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
e |
|
a a |
22 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
a |
21 |
|
a |
22 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3 |
|
|
|
Векторная алгебра |
49 |
Матрица |
a |
a |
|
, |
|
T 11 |
12 |
|
|
||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
по столбцам которой стоят координаты новых базисных векторов в старом базисе, есть по определению матрица перехода от старого базиса к новому.
ПРИМЕР 10. Найти координаты вектора в новом базисе, зная его координаты в старом базисе.
Решение. Пусть вектор x имеет в старом базисе координаты x , x |
2 |
, в новом базисе - |
x |
, |
x |
. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
x x e x e |
2 |
|
x e |
x e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Векторы e , |
e , свою очередь, могут быть разложены по векторам старого базиса: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
a |
|
|
e |
|
a |
21 |
e |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
11 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
a |
|
|
|
e |
|
a |
22 |
e |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
12 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Подставим эти разложения в формулу. Получим |
|
a e a e |
|
|
|
x a e a |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x e x |
e |
2 |
x |
2 |
22 |
e |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
12 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Перенесем все слагаемые влево, раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с сомножителями |
e1 |
и e2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Получим |
x |
a |
x a |
|
|
x e |
|
|
x |
2 |
|
a |
21 |
x |
|
a |
22 |
x |
e |
2 |
о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
11 |
|
1 |
|
12 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Линейная комбинация из векторов старого базиса равна нулю только при |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11x1 |
|
a12 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
a |
|
|
|
x |
|
a |
22 |
x |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В развернутой матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
a |
12 |
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
a |
21 |
|
|
|
|
22 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
в сокращенной матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
X T X . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Решим матричное уравнение, умножив его слева на T 1 . |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X T 1 X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
или |
|
|
|
1 |
|
T |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
T |
|
a |
21 |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее соотношение позволяет вычислить координаты вектора х в новом базисе, зная его координаты в старом.
|
ПРИМЕР 11. |
Найти |
связь |
координат |
|
одного |
|
|
и |
|
|
|
того |
|
|
|
же |
|
|
|
вектора в двух базисах: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
e 1, |
2, 1 , e |
2 |
2, 3, 3 , e 3, |
7, 1 |
и e |
|
3, 1, |
|
4 , e |
|
|
5, |
2, 1 ,e |
1, 1, |
|
|
6 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. Задача сводится к вычислению матрицы перехода от векторов старого базиса к векторам |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нового: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
1 |
|
a e |
a e |
2 |
|
a e |
|
a |
|
2 |
|
a |
21 |
|
3 |
|
a |
|
|
|
7 |
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
4 |
|
|
11 |
|
1 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
31 |
3 |
|
|
|
|
|
|
11 |
1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
31 |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
2 |
|
a e |
a |
22 |
e |
2 |
|
a |
32 |
e |
3 |
|
a |
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
|
|
3 |
|
a |
|
|
|
|
7 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
1 |
|
|
|
|
|
22 |
3 |
|
|
|
|
|
32 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
1 |
|
a e a |
23 |
e |
2 |
a |
33 |
e |
3 |
|
a |
|
|
2 |
a |
23 |
|
3 |
a |
33 |
|
7 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
Получаем 3 системы уравнений с девятью переменными. Преобразуем по методу Гаусса |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
расширенную матрицу первой системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 7 |
|
1 |
|
~ |
0 |
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
5 |
~ |
|
2 3 7 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 1 |
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
1 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Отсюда a31 4, a21 9, a11 |
27 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Для второй и третьей систем матрицы коэффициентов преобразуем аналогично: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|
|
5 |
|
|
1 2 3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 3 7 |
|
|
|
2 |
|
~ |
|
0 |
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
8 |
|
~ |
|
2 3 7 |
|
|
|
8 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 3 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 2 |
|
4 |
|
|
|
|
0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Тогда a32 12, a22 |
20, a12 71. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 3 |
|
1 |
|
|
|
1 2 3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 3 7 |
|
1 |
|
|
~ |
|
0 |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
~ |
|
2 3 7 |
|
|
|
1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 3 1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
0 |
|
|
1 2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
8 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Глава 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Векторная алгебра |
|
50 |
||||
Следовательно, a33 8, a23 9, a13 41. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица перехода, таким образом, имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a11 |
a12 |
a13 |
|
27 |
71 |
41 |
|
|
|
|
|
|
|||
T a a |
|
a |
|
|
9 |
20 |
9 . |
|
|
|
|
|
|
||
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
4 |
12 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|||
a31 a32 |
a33 |
|
|
и x |
|
|
, то |
||||||||
Если вектор х имеет в старом и новом базисе координаты соответственно x , x |
2 |
, x |
, x |
, x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
связь координат этого же вектора в двух базисах имеет вид:
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
27 71 41 x1 |
|
27x1 |
71x2 41x3 |
|||||||||||||
x |
2 |
|
9 20 |
9 |
x |
|
|
9x 20x |
9x |
. |
||||||
|
|
4 12 |
8 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
||
x |
|
|
x |
|
|
|
4x 12x |
8x |
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ПРИМЕР 12. Переход к новому базису можно рассчитать быстрее, если воспользоваться |
||||||||||||||||
следующими рассуждениями. Запишем матрично-векторное уравнение |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
e , |
e = e , |
|
e |
|
|
a |
|
a |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
11 |
12 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
a22 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
|
|
|
|
||
в матричном виде |
|
|
|
B A T , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где матрица В составлена из координат векторов нового базиса, размещенных по столбцам матрицы,
матрица |
А |
|
составлена |
из координат векторов |
старого базиса, размещенных |
также по столбцам, |
|||
T |
a |
a |
|
– матрица перехода от старого базиса к новому. Умножим обе части уравнения сначала на |
|||||
11 |
12 |
|
|||||||
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
B 1 |
слева, затем на T 1 справа. |
|
|
|
|
||||
|
Получим |
|
T 1 B 1 A. |
|
|
||||
|
Как известно, координаты вектора в старом базисе X связаны с координатами этого вектора в новом |
||||||||
базисе X соотношением |
X T X . |
|
|
|
|
||||
Отсюда |
|
|
|
X T 1 X |
или X B 1 A X . |
|
|
||
|
Особенно эффективно этот способ работает при переходе к ортонормированному базису в |
||||||||
евклидовом пространстве. Тогда матрица |
В, а |
следовательно |
и матрица B 1 |
- единичные. Задача |
|||||
нахождения |
координат |
вектора в новом |
базисе |
сводится к |
матричному умножению матрицы А, |
составленной из координат векторов старого базиса на матрицу координат вектора в старом базисе.
X B 1 A X E A X A X .
|
|
В общем случае надо вычислить произведение матриц |
B 1 A X . Это удобно сделать по методу Жор- |
|||||||||||||||
дана. Известно, что элементарными преобразованиями левую часть матрицы Жордана A | E можно при- |
||||||||||||||||||
вести к единичному виду, |
|
тогда в правой части образуется обратная матрица, т.е |
E | A 1 . Аналогично, |
|||||||||||||||
матрицу B | A элементарными преобразованиями можно привести к виду |
E | B 1 A , затем взять произве- |
|||||||||||||||||
дение матриц B 1 A X и получить |
X - координаты вектора в новом базисе через его координаты в старом. |
|||||||||||||||||
|
|
Продолжим решение предыдущей задачи этим методом и выразим X |
через |
X . Составим матрицу |
||||||||||||||
1 |
|
3 |
3 |
|
1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||
2 |
5 |
5 |
1 |
1 |
2 |
|
||||||||||||
A |
2 |
3 |
7 |
, матрицу B |
1 |
2 |
1 |
и матрицу Жордана B | A |
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
7 |
|
. Путем элементарных |
||
|
1 |
3 |
1 |
|
|
4 |
1 |
6 |
|
|
4 |
1 |
6 |
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразований приведем левую часть матрицы Жордана к единичному виду.
1 |
0 |
0 |
|
19 |
181 4 |
|
||
13 |
||||||||
|
0 |
1 |
0 |
9 13 63 2 |
. |
|||
|
0 |
0 |
1 |
7 |
10 |
99 4 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x1
В правой части образуется матрица B 1 A . Умножая ее на вектор – столбец x , получим2
x3
x |
|
|
|
181 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
181 |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
13 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
13x1 |
19x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
63 |
|
|
. |
|||||||
2 |
9 13 |
|
|
|
|
|
|
2 |
9x 13x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
||||
x |
|
|
|
99 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 |
|
7 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
7x1 |
10x2 |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|