Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 2	Системы линейных уравнений	29
Ранг матрицы коэффициентов системы равен 2.	Пусть основными переменными будут	x11 , x21 ,
свободной переменной x31 . Найдем x11 и x21 : x11 6x31 2, x21 5x31 1 . Тогда общее решение 1-й

системы имеет вид:

x11			6	2
							где c R .
x21	c		5	1		,	где c R .
x31			1	0
				x11				2
Одно из решений получим, положив c 0 .		Итак,		x				1	.
					21			0
				x31				0

Аналогичным образом можно решить три другие системы. В окончательном виде одно из решений задачи можно записать, например, так

x11		x12		x13		x14			2	5	2	1
x		x		x		x			1	3	2	2 .
	21		22		23		24
								0 0			0	0
x31		x32		x33		x34

Задачи для самостоятельного решения.

Методы решения систем линейных уравнений

	Преобразовать матрицу по методу Гаусса-Жордана.
1.	1		2
1.		3	.
		3	4
	1		0	1
2.		2	1	0		.
		1	1	1
		1	1	1
	0		1		1
3.		2	0		0	.
		1	1		1
		1	1		1
	1		1	1
4.		2	2	2	.
		3	3	3
		3	3	3
		1	2		5
5.		6	3		4		.
		5	5		9
		5	5		9
	1		1		2
6.		0	1		3		.
		2	3		4
		2	3		4
		1	1				0		1
7.		2		2				3 1 .
		0		2				1	1

		0	1				1		2
8.		1	2				0		1 .
		2	2				0		2
		2	2				0		2
	1		0		2				1	1
9.		1	0				4		1	1 .
		1	2		4				1	1
		1	2		4				1	1
	2		1				1		0	1
10.		2		2			1		1	0
10.		1	0				1		0		.
		1	0				1		0		1
		1	1				1		0		1

1		0
	0	1

1		0	1
	0	1	2
	0	0	0
	0	0	0
1		0	0
	0	1	1
	0	0	0
	0	0	0
1		1	1
	0	0	0
	0	0	0
	0	0	0
1		0	7 15

	0	1	34 15
	0	0	0
1		0	0
	0	1	0
	0	0	1
	0	0	1
1		0	0	1
	0	1	0	0
	0	0	1	1

1		0	0	1
	0	1	0	0
	0	0	1
	0	0	1	2
1		0	0	3	3
	0	1	0	3	4
	0	0	1	1	1
	0	0	1	1	1
1		0	0	0	2
	0	1	0	0	2
	0	0	1	0	1
	0	0	0	1	9
	0	0	0	1	9

Глава 2

		1	1			0	0		1
		1	1			0	1		1
11.		0	1		1		0		1		.
		0	1		1		1		1
		0	1		1		1		1
		1	1			0	1		1
		1	1			0	1		1
		1	1		2	0			1
		2	0		0	1			1
12.		2	0		0	1			1
		0	0		0		2		0
		1	1		2	1			2
		1	1		2	1			2
	0		1		1	1			0
		1	1		0	1			1
13.		0	0		1	1			1	.
		1	0		2	1			2
		2	0		4	2			4
		2	0		4	2			4
		2	3			1		2			1
		1	2			1		3				2
14.		1		6		5			4		2
		4		4		6			1		0
		0	1			3		1			1
		0	1			3		1			1
		1	1			2		2			3
		3	4			4			5			5
15.		6		6		5		5			4
		4	3			3			2			2
		1	1			0			0		0
		1	1			0			0		0
	5		4	3		2	1
		1	2	3		4	5
16.		0	1	2		3	4
		4	3	2		1	0
		0	1	0		1	0
		0	1	0		1	0
	1		1		1		1		0
		2	1		1		0		1
17.		3	0		2		1		1		.
		2	2		2		2		0
		4	2		2		0		2
		4	2		2		0		2

Решить систему уравнений методом Гаусса

	2x1		x2				3
18.	x	x		2		2
	1			2
	2x 3x						2	x				3		6
		1					2					3
19.	x1	x2			x3					2 .
	3x 4x						2	3x						3		5
		1					2							3
	2x		3x				2	x				3		1
		1					2					3
20.	x1	3x2					2x3							3 .
	x		x			2		x			3			0
		1				2					3
	3x		2x				2	x					3	2
		1					2						3				1 .
21.	2x1			3x2						2x3							1 .
	4x		3x				2	5x						3			12
		1					2							3
	x		2x					2	3x						3			2
		1						2							3
22.	а) 2x1			3x2						4x3									3
	3x			4x					2	5x								3	4
			1						2									3

Системы линейных уравнений															30
1		0			0	0				1
	0	1			0	0					1
	0	0			1	0				0
	0	0			0	1				0
	0	0			0	0				0
	0	0			0	0				0
1		0			0	0				0
	0	1			0	0				2
	0	0			1	0				0
	0	0			0	1				0
	0	0			0	0				0
	0	0			0	0				0
1		0			0		1						0
	0	1			0	2							1
	0	0			1			1						1
	0	0			0			0					0
	0	0			0			0					0
	0	0			0			0					0
1		0	0		0		0
	0	1	0		0	1 5
	0	0	1		0	0
	0	0	1		0	0
	0	0	0		1	4 5
	0	0	0		0	0
	0	0	0		0	0
1		0			0			1		0
	0	1			0			1		0
	0	0			1	1 0
	0	0			0			0		1
	0	0			0			0		0
	0	0			0			0		0
1		0			0	1					1
	0	1			0			1			0
	0	0			1			1			2
	0	0			0			0			0
	0	0			0			0			0
	0	0			0			0			0
					2	1					1
1		0
1		0			3	3					3
					3	3					3
	0	1		1					2			1
	0	1		3				3			3
				3				3			3
	0	0		0		0				0
	0	0		0		0				0
	0	0		0		0				0
	0	0		0		0				0

1, 1

2, 1, 1

1, 0, 1

1, 1, 1

Бесконечное множество решений, которые можно записать, например, так:

x	x	,	, где x3 R
1	3		, где x3 R
x2	1		2x3

Глава 2

			3x1							2x2												5x3												1
	б) 6x1														4x2													10x3													2
			3x											2x									2					5x							3				1
											1												2												3
	2x					x						2				x					3				1
				1								2									3
23. 3x1						5x2												x3										10 .
	4x					2x								2				3x										3		8
				1										2														3
	5x 3x													2				2x									3			4
				1										2													3
24. 2x1						5x2												3x3												6
	3x					x					2				3x								3					7
				1							2												3
	2x					x						2			3x								3					9
				1								2											3
25. 3x1						5x2												x3										4
	4x					7x								2				x						3				5
				1										2										3
	3x x															2			x						3				5
						1										2									3					1 .
26.											x2												x3							1 .
	4x					5x								2				3x									3			3
				1										2													3
	2x					3x								2				10
				1										2				18 .
27. 5x2						4x3												18 .
	3x					4x								3				14
				1										3
		x1					x2											x3			4
																					4
			2					3										2
			2					3										2
	x						x		2									x		3
28.			1						2											3	4 .
28.			2					5										3			4 .
			2					5										3
	x1				x2												x3				13
			3		x2													3			13


	x x													3x													2x										6
	2x1					x2									3x3												5x4											3
29.				1							2											3												4								8 .
29.			- x			3x									2			2x												4x									4			8 .
					1										2													3											4
			3x			2x										2		x x															4				3
					1											2								3									4
	2x1							3x2												x3									x4									3
	3x x																	2x										4x										8
30.	x			1 x							2		3x									3 2x												4			6 .
			1							2											3												4
			x1								2x2											3x3												5x4 3
	2x1							x2										x3										x4								3
	4x1					2x2												2x3												3x4											2
31.			2x				x										5x												6x											1 .
			2x1				x2										3x3												4x4											5
					1							2													3											4
			x1			2x2												x3										x4								4
	2x x															2			x						3				2x								4			2
						1										2									3												4
32.			3x1			2x2															2x3										2x4											2 .
	2x1						5x2												2x3												x4									8
											6x							2		x							3			3x								4			1
																		2									3											4
	x1					2x2												3x3												6
	2x1					3x2												x3										0
33.			3x			2x												4x													5 .
	x				x								3x													3
					1											2												3
			1							2											3
								x2							2x3													2x4											7
	x1 x2																x3									5x4												6
34.			3x			2x													x																				4 .
			2x1													2 3x3													x					4				5
					1																					3								4
	2x1							3x2												3x3												2x4											3 0
			6x1					9x2												2x3												x4									4 0
35.			10x					3x										2		3x										3		2x									4		3 0 .
						1												2												3											4
			8x 6x													2			x						3				3x							4				7 0
					1											2									3											4

Системы линейных уравнений

Бесконечное много решений, которые можно записать, например, так:

x2 12 32 x1 52 x3 , где x1 ,x3 R

1, 1, 2

1, 1, 1

Нет решений

2, 1, 0

2, 2, 2

6, 15, 12

1, 1, 2, 0

Нет решений

1,			1,	1
0, 1,				2,		1
	1			2
		,			,	2, 3
		,			,	2, 3
	2			3

Глава 2

	3x1 x2									x3							x4						2
				3x2						x3							2x4								1
36.	x							2x							3		3x						4		3 .
		1													3								4
		x1 2x2												3x3								3x4							4
	2x1 7x2											3x3							x4						5
		x 3x							5x 2x																3
37.	x 1 5x							2 9x							3 8x								4	1
		1				2								3								4						12
		5x			18x									4x								5x						12
			1						2								3								4
	x1		x2				x3						x4							x5					1
	2x - x					2		2x						3					3x			4		2x						5			10
		1				2								3								4								5
38.	x1			x2 x3												2x4							2x5									3 .
	2x1							2x2					3x3								x4						3x5							5
								x	2			2x						3		x				4		2x							5	2
									2									3						4									5
	x1			2x2							x3						x4						2x5									0
	x x				2			x				3				2x				4	2x							5		8
		1			2							3								4								5
39.	2x1 3x2												4x3								3x4								5x5 11 .
								2x2					x3							2x4									x5					3
	2x		1									2x						3		x				4	x						5		8
			1															3						4							5
	2x2						5x3							x4							x5							1
	2x					3x							3	2x							4	x					5		0
		1											3								4						5
40. 3x1				x2							2x3									2x5									1.
	4x		1	3x2 7x3														x4							4
	5x		1	- x		2							5x						4				8x			5			0
			1			2													4							5

Системы линейных уравнений		32
1,	0, 1, 0

Система имеет бесконечно много решений, которые можно записать, например, так:

x 6 26x 17x					,
x1	1 7x3	5x	4	4		, где
2	3		4

x3 ,x4 R

1, 1, 1, 1, 1

1, 1, 2, 1, 1

2, 1, 0, 1, 2

41.Какому условию должна удовлетворять система уравнений, чтобы можно было использованием метода Гаусса получить решение системы?

Что можно сказать о решении системы линейных уравнений, если:

1)r A r A | B ;

42.2) r A r A | B 2 при 3 переменных;

3)r A 2 , r A | B 3 ?

Быть линейной.

1)Имеет решения;

2)имеет бесконечное множество решений;

3)несовместна.

	Решить систему уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера и методом
	Гаусса-Жордана
	2x		3x						1									1,	1
43.	3x1		4x2						1									1,	1
		1					2
	17x		23x								11							2,	1
44.	12x1 14x 2										38							2,	1
		1								2
	x1	2x2						x3				8					5 .	1,			3
45.	2x					3x				2	3x					3	5 .	1,	2,		3
45.			1							2						3
	3x		4x				2		5x				3		10
		1					2						3
	2x		x					x				0						1,	2,		0
		1			2						3							1,	2,		0
46.	3x2			4x3							6				0 .
	x	x		3		1
	1			3
	x	2x						x				5						3,	0,		2
	1				2						3							3,	0,		2
47.	2x1 x2									6							.
	3x 4x						2		2x				3		13
		1					2						3
	2x1		x2					x3				1						1,		2
48.	3x		5x				2		x			3		10 .				1,	1,	2
48.		1					2					3				8
	4x		2x					2			3x			3		8
		1						2						3

Глава 2

	3x1 x2 x3 5
										x2							x3											1 .
49.										x2							x3											1 .
	4x 5x											2				3x								3				4
				1								2												3
	x				2x						2			3x										3				2
		1									2													3							3
50. 2x1									3x2												4x3										3
	3x						4x						2				6x										3				5
				1									2														3
	12x 9x															2			15x 18
						1										2															3
51.	17 x1 18x2																									7x3						28
	5x								16x											2			18x												29
							1													2												3
	2x1						x3							x4											4
52.	2x1						2x2 x3 2
52.	x				x							2x														4
	x		2		x					3		2x										4				4
			2							3												4
	x2				2x3										x4											0
	x1				x2 x3																x4										4
	2x1						x2						3x3														2x4									1		.
53.	x				x						2x										4			6														.
		1						3													4
	3x1 x2												x3										x4 0
	x				2x								x																				4
54.	21x x2												x3 2x 2																									.
54.				1						2										3											4							.
		2x1												x3																		1
								x2 x3 2x4 2
								x2 x3 2x4 2
	3x1 2x2																x3										x4							4
55.	2x1													2x3														x4							4				.
55.		x					x x x 2																																.
		x					x x x 2
					1						2											3									4
		2x										2x 3x 2x 5
							1											2												3							4
									x2					2x3														2x4								7
	x1						x2									x3										5x4									6
56.		3x					2x												x																	4 .
		2x1													2 3x3															x			4			5
					1																					3							4
	3x1							x2									x3											x4							2
							3x2											x3											2x4								1
57.	x														2x										3			3x							4		3 .
			1																						3										4
		x1 2x2																						3x3										3x4 4
	x1						x2 3x3																				3x4										0
	2x1						3x						2					5x3												x4						3
58.	3x					2x							2				4x										3			4x						4	5 .
	x			1									2														3									4
	x				x				2		x								3		x								4					4
		1							2										3										4
	2x1								5x2																						x4						12
	3x - 4x															2x																					8		.
59.	4x1						3x2										x								3 x							4			4				.
	5x				1		x						2										3					x				4			0
	5x						x				2		5x										3					x				4			0
				1							2												3									4

Системы линейных уравнений

2, 1, 0

1, 1, 1

2, 2, 2, 2

1, 2, 3, 4

1, 1, 1, 1

1, 0, 1, 0

0, 1, 2, 1

1, 0, 1, 0

1, 1, 1, 1

0, 2, 0, 2

60.Какому условию должна удовлетворять система уравнений, чтобы можно было использованием метода обратной матрицы получить решение системы? Обосновать.

Определитель матрицы коэффициентов при неизвестных не равен нулю.

Не решая системы уравнений, на основе теоремы Кронекера-Капелли сделать вывод о наличии или отсутствии решений у системы.

2x1 2x2 x3						3	r A r A \| B 3 . Система
		x2		x3	4
61. 2x1							имеет единственное решение.
x	2x		2	2x	3	1
1							r A r A \| B 2 . Система
x	2x		2	3x	3	4
1
62. 3x1		x2		x3	3		имеет бесконечное множество
4x		x	2	4x	3	1	решений.
	1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 186 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

		1	1			0	0		1
		1	1			0	1		1
11.		0	1		1		0		1		.
		0	1		1		1		1
		0	1		1		1		1
		1	1			0	1		1
		1	1			0	1		1
		1	1		2	0			1
		2	0		0	1			1
12.		2	0		0	1			1
		0	0		0		2		0
		1	1		2	1			2
		1	1		2	1			2
	0		1		1	1			0
		1	1		0	1			1
13.		0	0		1	1			1	.
		1	0		2	1			2
		2	0		4	2			4
		2	0		4	2			4
		2	3			1		2			1
		1	2			1		3				2
14.		1		6		5			4		2
		4		4		6			1		0
		0	1			3		1			1
		0	1			3		1			1
		1	1			2		2			3
		3	4			4			5			5
15.		6		6		5		5			4
		4	3			3			2			2
		1	1			0			0		0
		1	1			0			0		0
	5		4	3		2	1
		1	2	3		4	5
16.		0	1	2		3	4
		4	3	2		1	0
		0	1	0		1	0
		0	1	0		1	0
	1		1		1		1		0
		2	1		1		0		1
17.		3	0		2		1		1		.
		2	2		2		2		0
		4	2		2		0		2
		4	2		2		0		2

		1	1			0	0		1
		1	1			0	1		1
11.		0	1		1		0		1		.
		0	1		1		1		1
		0	1		1		1		1
		1	1			0	1		1
		1	1			0	1		1
		1	1		2	0			1
		2	0		0	1			1
12.		2	0		0	1			1
		0	0		0		2		0
		1	1		2	1			2
		1	1		2	1			2
	0		1		1	1			0
		1	1		0	1			1
13.		0	0		1	1			1	.
		1	0		2	1			2
		2	0		4	2			4
		2	0		4	2			4
		2	3			1		2			1
		1	2			1		3				2
14.		1		6		5			4		2
		4		4		6			1		0
		0	1			3		1			1
		0	1			3		1			1
		1	1			2		2			3
		3	4			4			5			5
15.		6		6		5		5			4
		4	3			3			2			2
		1	1			0			0		0
		1	1			0			0		0
	5		4	3		2	1
		1	2	3		4	5
16.		0	1	2		3	4
		4	3	2		1	0
		0	1	0		1	0
		0	1	0		1	0
	1		1		1		1		0
		2	1		1		0		1
17.		3	0		2		1		1		.
		2	2		2		2		0
		4	2		2		0		2
		4	2		2		0		2

		1	1			0	0		1
		1	1			0	1		1
11.		0	1		1		0		1		.
		0	1		1		1		1
		0	1		1		1		1
		1	1			0	1		1
		1	1			0	1		1
		1	1		2	0			1
		2	0		0	1			1
12.		2	0		0	1			1
		0	0		0		2		0
		1	1		2	1			2
		1	1		2	1			2
	0		1		1	1			0
		1	1		0	1			1
13.		0	0		1	1			1	.
		1	0		2	1			2
		2	0		4	2			4
		2	0		4	2			4
		2	3			1		2			1
		1	2			1		3				2
14.		1		6		5			4		2
		4		4		6			1		0
		0	1			3		1			1
		0	1			3		1			1
		1	1			2		2			3
		3	4			4			5			5
15.		6		6		5		5			4
		4	3			3			2			2
		1	1			0			0		0
		1	1			0			0		0
	5		4	3		2	1
		1	2	3		4	5
16.		0	1	2		3	4
		4	3	2		1	0
		0	1	0		1	0
		0	1	0		1	0
	1		1		1		1		0
		2	1		1		0		1
17.		3	0		2		1		1		.
		2	2		2		2		0
		4	2		2		0		2
		4	2		2		0		2