Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет международных отношений МИД России (МГИМО)

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

ЛинАл Задачник - Малугин.pdf

Скачиваний:

164

Добавлен:

08.03.2016

Размер:

6.79 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Глава 4

Векторные пространства

Евклидовы пространства

126.Сформулировать определение n-мерного евклидова пространства.

127.Сформулировать определение скалярного произведения в n-мерном евклидовом пространстве.

128.Сформулировать определение нормы вектора.

129.Доказать неравенство Коши-Буняковского в векторном виде x,

130.Доказать неравенство Коши-Буняковского в координатном виде

xi yi

i 1

131.

Доказать неравенство треугольника в векторном виде

x y

132.

Доказать неравенство треугольника в координатном виде xi yi

xi2

yi2

i 1

133.Доказать, что для ортогональных векторов x и y справедливо равенство x y 2 x 2 y 2 .

Дать определения следующих понятий: ортогональная система векторов; нормированная система векторов;

134.ортонормированная система векторов.

135.Что такое процедура Грама-Шмидта?

	Решить векторное уравнение, считая, что координаты всех векторы разложены по ортонормированному базису.
		a1		5,	8,		1,			2 ,									x 0,							2
136.	a1 2a2 3a3	4x о , где a2		2,	1,			4,	3 ,										x 0,				1, 2,			2
		a3		3, 2,				5,		4 .
	3 a1 x 2 a2 x 5 a3 x , где				a 2,					5, 1,			3 ,
137.	3 a1 x 2 a2 x 5 a3 x , где				a12			10,		1,		5,	10 ,							x 1,					2,	3,	4
					a	3		4,		1,	1,		1 .
138.	x, a x, b 0 , где a 1, 1 , b 1,						1 .												x ,	,					где R .
139.	a b, x о , где a 2, 3 , b 2,				4 .													x 2 ,			,				где R .
140.	x a, b a b,	x a , где a 1,		1 ,		b 2,					1 .										x 1					, 1	6
																									6		6
141.	a b, x b a,	x b a, b , где a 0,				1 ,		b 1,			1													x 1,			1
142.	b x a, b a x b, a x , где a 2,						4 , b -1,						2 .						x 51				20 , 2710
143.	a b x, a a b x, b a, b ,					где a 1,						1 , b 2,			-1 .				x 4,		,				где R .
144.	a b, x b a,	x x a, b a b x ,				где a 2,						3 , b 1,				3 .			x 10133 , 3133
	a a b x, a b a b x, b о , где a 1,											0 ,b 0,				0 .				1
145.	a a b x, a b a b x, b о , где a 1,									1,		0 ,b 0,			1,	0 .			x		0	,			где R .



	a b, x b x, a x a, b о , где a 1,								1 ,b 1, 1,					0 .							0
146.	a b, x b x, a x a, b о , где a 1,						0,		1 ,b 1, 1,					0 .					x 1					, где		R

																					1
																	x		1		1
147.	a a x, b b b x, a о , где a 0,						1,		1 ,b 1,				0,	1 .			x x12	1 1						, где		R

																	x3		1		0
	Показать, что скалярное произведение двух векторов											x x1 ,		x2 ,		x3 ,	y y1 , y2 ,		y3 тогда и только
148.	тогда выражается равенством x,		y x1 y1					x2 y2			x3 y3 , когда базис, в котором заданы координаты, является
	тогда выражается равенством x,		y x1 y1					x2 y2			x3 y3 , когда базис, в котором заданы координаты, является

	Глава 4																														Векторные пространства																																																	77
	ортонормированным.
	Если V есть подпространство пространства W , то любой вектор x W однозначно представляется в
149.	виде x y z ,				где	y V ,		z V . Указать идею для вычисления y и z
	Дополнить векторы до ортогонального базиса																																																													1, 1,												0, 0 ,
150.	a 1,	1,	0, 0 ,		b 0,		0,	1,	1																																	Например,																c				1, 1,												0, 0 ,
																																																										d				0, 0, 1,																1
151.	a 1,	0,	2, 1 , b 1,					1,	1, 3																															Например,															c				2,						1,						1,						0 ,
																																																							d 1,											3,								1,							1
152.	a 1,	1,	1, 2 ,		b 1,		2,	3,	3																												Например,														c							1,			2,						1,					0					6
																																																			d							25,					4, 17,														6
	Найти	матрицу			перехода			от	ортонормированного базиса														e1 ,				e2 , e3 , e4																к				базису															1 0 0													0
	Найти	матрицу			перехода			от	ортонормированного базиса														e1 ,				e2 , e3 , e4																к				базису																	0 0 1										0
153.	e1 , e3 , e2 , e4																																																															0 1 0 0
	e1 , e3 , e2 , e4																																																															0 1 0 0
																																																																0 0 0										1
	Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис евклидова пространства по заданному
	базису
154.	a 0,	2 ,b 1,				1																																													e1 0,											1 ,					e2							1,							0
	a 1,	1 ,		b 1,		2																																										1				1																	1								1
155.																																							e											,							, e				2														,
																																							e											,							, e																		,
																																								1
																																																2					2																			2								2
	a 1,	2 ,		b 0,		3																																										1				2																			2						1
156.																																						e											,								, e			2														,
																																						e											,								, e																	,
																																								1
																																																5					5																			5								5
157.	a 0,	1,	0 , b 0, 2,				4 , c 3,			2, 1															e1 0, 1,													0 , e2 0,																	0, 1 , e3 1, 0,																													0
157.	a 0,	1,	0 , b 0, 2,				4 , c 3,			2, 1
	a 1,			2 , b 3,				3 , c 5,			1											1			2					2											2							2				1											2						1											2
158.		2,					0,			1,									e1				,			,						, e2											,						,						, e3													,					,
158.		2,					0,			1,									e1				,			,						, e2									3		,					3	,			3			, e3													,					,
																						3 3 3																			3							3				3											3 3																	3
	a 1,	2,		2 , b 1, 0,				1 ,
159.	c 5,	3,		7									1					2			2													2						2								1											2										1											2
											e1				,					,		, e2													,								,						, e3															,								,
											e1				,					,		, e2												3	,					3			,					3	, e3															,					3			,
													3					3 3																3						3								3											3										3											3
	a 1, 1,		0 , b 0, 1,				2 ,						1			1																		1							1											4																	2					2									1
											e1		1			1																		1							1					,						4																	2					2									1
160.															,					, 0 , e2																	,																			, e3																,							,					.
															,					, 0 , e2																	,																			, e3																,							,					.
	c 1,	1,	1										2					2														3 2						3					2						3 2																				3					3									3
	Применяя процесс ортогонализации, построить ортонормированный базис евклидова подпространства по
	заданному базису
	a 1, 0,			1, 0 ,																			1											1																		1															1							2
161.	b 1, 0,			0, 1 ,												e									, 0,											, 0 , e																						, 0,													,										,.
																e									, 0,											, 0 , e																						, 0,													,										,.
																		1					2											2										2										6														6
																							2											2																				6														6									6
														1							2				2								1															2									3							3										2
	a 1,	2, 2, 1 ,									e					,						,						,								, e				2												,									,									,												,
											e					,						,						,								, e																,									,									,												,
											1			10							10				10																							26									26								26
162.	b 1, 1,		5, 3 ,											10							10				10								10															26									26								26											26
162.	b 1, 1,		5, 3 ,
	c 3,	2, 8, 7 .												2						1				1									2
											e	3					,					,							,							.
											e						,					,							,							.
														10							10				10
														10							10				10									10
	Линейное подпространство V x задано линейной оболочкой. Найти систему линейных уравнений, задающих
	ортогональное дополнение V y
163.	V x : x a , где						(		)
164.	V x : x 1 a1				2 a2 3				a3 , где	{	(			)																																		{
164.	V x : x 1 a1				2 a2 3				a3 , где	{	(			)																																		{
165.
	Линейное подпространство V задано линейной оболочкой.																		Найти базис ортогонального дополнения V
166.	V x : x a ,				где a 1,			1, 1																																							Например, b1																					1,				1,					0 ,
																																																														b						1,						0,								1
	V x : x 1 a1									a1 0, 1,			1 , a2						1,						1 ,																																			2
167.	V x : x 1 a1				2 a2 3				a3 , где	a1 0, 1,			1 , a2						1,			1,			1 ,																				Например,														b 2,														1,									1
167.	a3 1,	0, 2 .
	a3 1,	0, 2 .

	Глава 4																						Векторные пространства						78
																												Например,
168.	V x : x 1 a1										2					a2		3	a3 , где a1 1,	0, 2, 1 ,				b1 2,			2, 1,		0 ,
168.	a2 2, 1,			2, 3 ,								a3 0, 1,							2, 1 .					b2 1, 1, 0,					1
	a2 2, 1,			2, 3 ,								a3 0, 1,							2, 1 .					b2 1, 1, 0,					1
169.	V x : x 1 a1										2					a2		3 a3 4 a4 , где		a1 1, 1, 0, 1 ,								Например,
169.	a2 2, 1,			0, 1 ,								a3 1,						2, 0, 2 , a4 2,		1, 1,	0 .			b 0,			1, 1, 1
	a2 2, 1,			0, 1 ,								a3 1,						2, 0, 2 , a4 2,		1, 1,	0 .			b 0,			1, 1, 1
	Линейное		подпространство V																задано однородным		уравнением	x1	x2 x3	0 .
170.	Найти базис ортогонального дополнения V .																							Например, b 1, -1,1
	Найти базис ортогонального дополнения V .
	Линейное подпространство V , заданно системой однородных уравнений. Найти базис ортогонального
	дополнения			V					.
									.
171.	V x : {																								{			(	)
171.	V x : {																								{			(	)
																												(	)
172.	V x : {																								{			(	)
172.	V x : {																								{			(	)
																												(	)
		2x1 x2 x3 0,																							b1			1, 2,	0 ,
	V x :										x3 0,														b1			1, 2,	0 ,
173.	V x :	2x1 x2									x3 0,													Например,	b			3, 0,	2
		x x			2	x					3			0.												2
		1			2						3															4, 5, 0, 0 ,
	V x :	x1 2x2 x3 x4 0,																						b1		4, 5, 0, 0 ,
174.	V x :	2x		3x				2		x			3		2x		4	0 ,						Например, b		4,		0, 15,	0 ,
174.			1					2					3				4							2		1, 0, 0, 3
		x		x			2		3x					3	3x		4	0.						b		1, 0, 0, 3
			1				2							3			4							3

Линейное подпространство V x задано уравнениями. Найти уравнения, задающие ортогональное дополнение

V y .

175.V x : {

176.V x : {

	V x :	2x1 x2			3x3 x4 0,
177.	V x :	3x		2x	2	2x		4		0,
177.			1		2			4
		3x1		x2	9x3 x4 0.
	Найти ортогональную проекцию																					и ортогональную составляющую
	L :
	(			),		{					(								)
178.	(			),		{					(								)
178.

179.	a 1,	2,	1 ,			L:	a1						1,			1, 2 ,
								a	2				1,			1,			1
									2								1, 1, 1,						1 ,
	a 4, 1, 3, 4 ,										a1						1, 1, 1,						1 ,
180.	a 4, 1, 3, 4 ,							L:			a			2			1, 2, 2,							1
180.														2	1, 0, 0,									3
											a3				1, 0, 0,									3
	a 2, 5, 3, 4 ,								a1							1,			3, 3, 5 ,
181.	a 2, 5, 3, 4 ,						L:		a			2				1,			3, 5,					3
181.												2		1,										3
									a3					1,					5, 3,					3
	a 5, 2, 2, 2 ,								a1							2,			1, 1, 1 ,
182.	a 5, 2, 2, 2 ,						L:		a			2				1,			1, 3, 0
182.												2		1,					2, 8, 1
									a3					1,					2, 8, 1
	a 4,	2,		3, 5 , L:			x				x x									x				0,
183.	a 4,	2,		3, 5 , L:			x1				x2 x3										x		4	0.
									1						2				3				4
	a 7, 4, 1, 2 ,								2x1						x2				x3 3x4						0,
184.	a 7, 4, 1, 2 ,							L: 3x							2x				2	2x			3	x	4	0,
184.													1						2				3		4
									x					2x				2	2x			3	9x		4	0.
												1						2				3			4

Найти расстояние от точки M до подпространства L .

Например,	6 y1 9 y2 y3 0,
		y4	0
	y2

вектора a на линейное подпространство

				(	)			(	)
3			3			1		1
x		,		, 1 , y			,		, 0
x		,		, 1 , y			,		, 0
	2		2			2		2


x 3a1 2a2 1,					1,		1, 5 ,
y 3,	0, 2,			1
	x		0,		3,		5,	2 ,
	y		2,		2,		2,		2
x 2a1 a2 3, 1,						1,		2 ,
y 2,	1, 1,			4
	x 0,5 1,					1,		1,	1 ,
	y 0,5 9,				5,		5,	9
	x	5,		5,		2,		1 ,
	y	2,		1,	1,		3

	Глава 4																		Векторные пространства							79
185.	M 1, 2,				a1 2,				0, 1 ,																3
185.	M 1, 2,		1 , L :				2,			2, 1																5
					a		2,			2, 1																5
						2
	M 1,			1 ,	x		2x			x 0,
		1,			x		2x			x 0,																2
186.					L: x1		x		2 0. 3																2
186.					L: x1		x	3	2 0. 3																2	3
					1			3																		3
187.	Найти расстояние между подпространствами L1														a1	1, 0,	1 ,	L2	b1	1, 0,	1 ,					0
187.	Найти расстояние между подпространствами L1														: a	0, 1,	1	L2	: b	0, 1,	1					0
															2				2
	Найти угол между вектором x и линейным подпространством L .
188.	x 1,	1,		2 ,	L:	a 1,			2,			1											arccos				1
188.	x 1,	1,		2 ,	L:	a 1,			2,			1											arccos
						a 2,							2 ,													6
	x 1,			1 ,		a 2,					3,		2 ,									arccos				5
189.		2,			L:	1		0,				1,	2


						a2															2				3 6
							a1			5,		3, 4, 3 ,
190.	x 1,	0,		3, 0 ,		L:	a			1,		1, 4, 5
	x 1,	0,		3, 0 ,		L:	a			1,		1, 4, 5
							2																			6
							a3 2, 1,							1, 2												6
							a3 2, 1,							1, 2
	x 2,	0,		3 ,		x 2x						3x		0,										1 13
191.					L:		1				2		3									arccos
191.					L:		1				2		3									arccos
						2x1		x2				x3 0.												5 3
	Найти угол между линейными подпространствами L1															и L2 .

	L1 : a		2,		0, 3 ,		b 1, 1,						1 ,
192.	L1 : a		2,		0, 3 ,	L2 : b1		1,			1,		1
							2
	L1	a1		1,	2, 1 ,			b1			0, 1,		2 ,
193.	L1	: a		2, 0,		4	L2 :	b			1, 1, 1
		2							2
		a1	2,		1, 0,	1 ,			b1			0,	1, 2, 2 ,
194.	L1	: a		1,	1, 1,	1	L2	:	b			3,	1, 3,	2
		2								2

	Найти расстояние между точкой М и линейным многообразием H .
195.	M 2,		1, 1 ; H x : x b x0 , где b 1,																						2, 1 ,	x0 0,	1, 1 .
196.	M 1, 1,				1 ,			H x : x b x0											, где b 0, 1, 2 , x0							1, 2,	1 .
197.	M 1,		1, 0,					0 ;				x				x						1,
197.	M 1,		1, 0,					0 ;			H x :			1						4		1	.
												x2				x3						1
	Найти расстояние H1 , H 2 между линейными многообразиями.
	H1	x x						1,			H 2 :	x x						2,
198.	H1	:	1		3				;		H 2 :		1			3
		x2			2							x2		3
	H1	x			x			2,			H 2	x x									1,
199.	H1	:	x	2	x		3	1		;	H 2	:	1				3					1
			x		x	2		1					x	2	2x						3	1
			1			2								2							3
200.	H1	: x1 2x2						2x3			1 ; H2 :					x1 2x2 2x3								2
201.	H1	: x1 x2 x3 x4 2 ; H 2														: x1 x2 x3								x4	3

	arccos			2

2			13
	arccos		8


		7	6
		7	6

	arccos	0,7

			3
			3

a, H 2a, H 0

a, H 2

H1 ,	H 2	6

		2

H1 , H 2 22

H1 , H 2 1

H1 , H 2 23

	Найти угол между вектором a				и линейным многообразием					H x .
				2x1		x2 1,
				2x1		x2 1,								6
202.	a 2,	1,	2 ;	H x :	x x			1	.				arccos
202.	a 2,	1,	2 ;	H x :					.				arccos
							3							3
					1		3							3
203.	a 1,	1,	0, 0 ;	H x :	x 1b1 2b2 x0 , где b1					0, 1, 1,	0 ,	b2 1, 0, 0, 1 ,
203.	x0 1, 1,		0, 0 .											4
	x0 1, 1,		0, 0 .											4
	Через точку M проходит одномерное линейное многообразие H параллельно подпространству L x .												Найти H

Глава 4


204.	M 1, 2,	1 ,		L x : x a , где a 2,	1,	3 , R .
204.	Представить		H системой уравнений.
	Представить		H системой уравнений.
205.	M 3, 2, 2 ,		L x : x3 0 .
205.	Представить		H в векторном виде.
	Представить		H в векторном виде.
	M 2, 1,	2 ,		L x : x 1 a1 2 a2 , где
206.	a1 0,	1,	1 , a2 1, 1, 1 , 1 , 2 R .

Представить H в векторном виде.

Векторные пространства								80
			x		2x				5,
	Например, H :			1				2
			3x1 2x3 5
Например,	H x : x a x0 , где
a 3, 2,	2 , x0 0,	0, 2 , R .
	Например, H x :				x a x0					,
		где a 2,							1, 2 ,
			3			5
	x0	0,		,			, R .
	x0	0,	2	,		2	, R .
			2			2

M 2,

1 и

N 1, 1,

Например,

Через точки

проходит двухмерное линейное

H x :

x 1 a1

a2 x0 , где

L x :

x a ,

207.

многообразие

параллельно подпространству

где

a1 2,

1 , a2

1 ,

a 2,

2, 1 , R .

2, 1, 2 ,

R .

Найти

H и представить в векторном виде.

Через точки M 2,

0 и

N 1, 0,

1, 0,

проходит трехмерное линейное многообразие H

208.

параллельно

подпространству

L x :

Найти

представить

линейными

Например,

H : x x 2

уравнениями.

Подпространство V задано линейным уравнением

V : x1 x2 x3 0 .

H : x1 x2 x3 3

209.

Найти линейное многообразие H максимальной размерности, параллельное

V и

или x1

x3 3

удаленное от него на расстояние 3. Представить H линейными уравнениями.

2x1 x2 2,

V x :

x a , где

Линейное многообразие H задано уравнениями H :

210.

2 3

Найти линейное подпространство V , ортогональное к H и удаленное от

него на расстояние 1. Представить V в векторном виде.

Линейное многообразие

H 1

задано линейными

уравнениями

H1 : x1

3, .

Найти

H 2 : x1

2x 3

3 .

211.

линейное многообразие

H 2 максимальной размерности,

параллельное

и удаленное от

dim H2 3

него на расстояние 2. Представить H линейными уравнениями. Указать его размерность.

212.

Доказать, что расстоянием между вектором

подпространством V в

евклидовом

пространстве

является

ортогональная составляющая a вектора a

на подпространство V.

213.

Доказать, что расстоянием между вектором a

и линейным многообразием

H V x0 в евклидовом пространстве

является ортогональная составляющая a x0

вектора a x0

на подпространство V.

214.

Доказать, что расстоянием между двумя линейными многообразиями

H1 V1

V2 y0

евклидовом

пространстве является ортогональная составляющая x

вектора

на сумму подпространств

V V .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>