6.Метод прямокутників та метод трапецій обчислення визначених інтегралів.

Метод прямокутників — найпростіший метод чисельного інтегрування, що полягає у заміні значень функції на проміжку значенням функції в деякій точці проміжку.

Формула лівих прямокутників

В даному випадку береться значення функції на початку проміжку:

Похибка обчислення рівна: 

Формула правих прямокутників

В даному випадку береться значення функції в кінці проміжку:

Як і в попередньому випадку похибка обчислень рівна: 

Формула центральних прямокутників

Дана формула має вид:

Похибка обчислень рівна: 

Метод трапеції

В математиці, метод трапецій є методом наближеного обчислення значення визначеного інтегралу

Функція f(x) (синій колір) апроксимується лінійною функцією (червоний колір)

Ідея методу трапецій полягає в наближенні області під графіком функції трапецією та обчисленні її площі.

7)Модель Мальтуса. Модель Ферхюльста.

Модель Мальтуса-Модель природного росту чисельності популяції:

В основу моделі покладено уявлення про те, що швидкість росту популяції пропорційна її

чисельності: (d/dt)*x(t)=ɛx(t)

Зінтегруємо рівняння: х(t)=x(0)*e^ɛt

Зміна чисельності популяції в моделі Мальтуса при ɛ˃0,ɛ=0, ɛ˂0.Проаналізуємо цей розв'язок:

а) при ɛ˃0-швидкість розмноження більше швидкості загибелі і чисельність особин

необмежено зростає з часом( червона лінія);

б) при ɛ=0 - швидкість загибелі дорівнює швидкості розмноження і чисельність особин не

змінюється, залишаючись на початковому рівні (коричнева лінія);

в) при ɛ˂0 -швидкість загибелі більше швидкості розмноження і чисельність особин згодом

впаде до нуля( синя лінія).

Ситуація, коли розмноження перевищує природну загибель, тобто ɛ˃0 відповідає реальності

лише до певного моменту часу, бо в реальній ситуації чисельність популяції не може зростати нескінченно. При значному збільшенні кількості особин відбувається зменшення їхньої чисельності за рахунок механізмів, що не враховує дана модель( наприклад за рахунок боротьби за місце проживання та за їжу).

Модель Ферхюльста-Модель чисельності популяції з урахуванням конкуренції між

особинами:

Як правило, чисельність популяції залежить не тільки від народжуваності та смертності, але й від обмеженості харчових та інших ресурсів. Невдовзі після створення моделі Мальтуса, бельгійський математику Ферхюльст залався питанням: чи буде населення Бельгії зростати необмежено. Відповіддю на це питання було створення ним нової моделі динаміки чисельності популяції за умови обмеження в ресурсах.

Для одержання рішення, яке більш точно описує досліджуваний об'єкт, знімемо припущення в моделі Мальтуса. Врахуємо існування боротьби між особинами, наприклад, за місце

перебування, додаючи додаткове джерело загибелі. Вважаючи, що швидкість загибелі за

рахунок конкуренції між особинами пропорційна ймовірності зустрічі двох особин, можна

написати доданок - γх(t)x(t), що враховує загибель за рахунок конкуренції між особинами

( γ - коефіцієнт пропорційності). Тоді рівняння балансу чисельності особин:

(d/dt)*x(t)=αx(t) – δx(t) – γx²(t)

(d/dt)*x(t)=x(t) (ɛ - γx(t))

x(t)=(x₀ɛ) / (γx₀ + ( ɛ - γx₀ ) * e^-ɛt)

Оскыльки (-ɛt)=0, то у цьому випадку х(∞)=(ɛ/γ)=x_cm