IDZ_VysshMatematTerehov

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ких функций в их сумму

[cos(2x − 6x) − cos(2x + 6x)] =

[cos(x − 3x) + cos(x + 3x)]. Итак,

cos(4 x) − cos(8x) = cos(2x) + cos(4 x) ;

− cos (8x) = cos (2 x); cos(2x) + cos(8x) = 0 ;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.03.2016

Размер:

8.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 436 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

его чётности) приводит к уравнению

π			=	2		π	=	2	.
cos	3	− x		2	cos x −	3		2

– при решении тригонометрических уравнений и неравенств часто используют единичную окружность, при этом надо помнить, что положительные углы отсчитываются против хода часовой стрелки, а отрицательные углы – по ходу часовой стрелки от положительной полуоси оси абсцисс (ось O x ).

“+”

“–”

– использование единичной окружности связано с периодичностью тригонометрических функций (для синуса и косинуса период T = 2π , а для тангенса и котангенса – T = π ), которую необходимо учитывать при решении уравнений и неравенств, например,

19π

cos

+ 2 x

= cos

6π +

+ 2 x

= cos

+ 2x

так как в силу периодичности косинуса величину 6π

можно отбро-

сить.

3π

– кроме периода особыми значениями являются углы

, π ,

, при-

бавление или вычитание из которых неизвестного угла приводит к преобразованию тригонометрической функции.

50. Формулы перехода от одной тригонометрической функции к

другой при использование углов π , π ,

3π

, 2π называются формула-

ми приведения.

Формулы приведения даны в табл. 10.

Таблица 10.

Формулы приведения.

ctg

α \ Функция

sin

cos

cosα

msinα

mctgα

mtgα

2 ± α

± ctgα

π± α

msinα

− cosα

± tgα

3π

− cosα

± sinα

mctgα

mtgα

2 ± α

± ctgα

2π± α

± sinα

cosα

± tgα

Из табл. 10 видно, что прибавление или вычитание аргумента α из π2 и 32π приводит к изменению тригонометрической функции, а из π

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

и 2π – функция не меняется.

– одним из важнейших моментов является умение определить знак тригонометрической функции при заданном значение аргумента в соответствующих четвертях координатной плоскости (I, II, III, IV – номера квадрантов), при этом полезно помнить следующие рисунки:

a) sinα		b) cosα		в) tgα
II	y I	II	y I	II	y I
+	+	–	+	–	+
	x		x		x
–	–	–	+	+	–
III	IV	III	IV	III	IV

– при решении тригонометрических уравнений, неравенств и их систем применяют формулы:

sin2 α + cos2 α = 1;

2) tgα ctgα = 1, α ≠

π + π n, α ≠ π k; n,k Z ;

n Z ;

1 + tg 2α = sec2 α =

, α ≠ 2 + π n,

cos2 α

1 + ctg 2α = cos ec2α =

, α ≠ π n,

n Z ;

sin 2 α

sin(α ± β ) = sinα cos β ± sin β cosα ;

6) cos(α ± β ) = cosα cos β msinα sin β ;

sin(2α ) = 2sinα cosα ;

cos( 2α ) = cos2 α − sin 2 α = 2cos2 α −1 = 1− 2sin 2 α ;

sin(3α ) = 3sin α − 4 sin3 α ;

cos(3α ) = 4cos3 α − 3cosα ;

sin(4α ) = cosα (4 sin α − 8sin3 α ) ;

cos( 4α ) = 8cos4 α − 8cos2 α + 1 ;

7) tg(α ± β ) =

tgα ± tgβ

, α , β , α ± β ≠

+ π n, n Z ;

1 mtgα tgβ

tg (2α ) =

2 tgα

;

tg (3α ) =

3tgα − tg 3α

;

tg (4α ) =

4 tgα − 4 tg3α

;

1 − 3tg 2α

1 − tg 2α

− 6tg 2α + tg 4α

ctg(α ± β ) =

ctgα ctgβ m1

, α , β , α ± β ≠ π n,

n Z ;

ctgα ± ctgβ

1− cosα

(знак перед квадратными корнями выбирается в

sin 2 = ±

зависимости от того, в каком квадранте оказывается угол α );

+ cosα

1− cosα

sinα

1− cosα

10)

cos 2

= ±

;

11) tg 2

sinα

= 1+ cosα = ±

1+ cosα

;

12)

2sinα cos β = sin(α + β ) + sin(α − β ) ;

13) 2sinα sin β = cos(α − β ) − cos(α + β ) ;

14)

2 cosα cos β = cos(α − β ) + cos(α + β ) ;

15)

sin2 α =

1 − cos 2α ;

16) cos 2 α =

1 + cos 2α

;

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

sin3 α =	3sin α − sin 3α ;
	4
sin4 α = cos 4α − 4 cos 2α + 3 ;
	8
		α + β		α
17) sinα + sin β = 2sin		2	cos
		2
		α − β		α
19) sinα − sin β = 2sin		2	cos
		2


21) cos α + sin α =			π		=
		2 sin	4	+ α

22) cos α − sin α =			π		=
		2 sin	4	− α

23) tgα + tgβ =	sin(α + β )		;
	cosα cos β

cos 3 α = 3 cos α + cos 3α

;

cos 4 α = cos 4α + 4 cos 2α + 3 ;

− β

;

α + β

α − β

;

18) cosα + cos β = 2 cos

cos

+ β

;

20) cosα − cos β

−

α +

;

= −2sin

sin

−

;

2 cos

;

2 cos

sin(α − β ) .

24) tgα − tgβ =

cosα cos β

– при решении простейших тригонометрических уравнений (неравенств) надо помнить, что функции синус и косинус являются ограниченными функциями, т.е. − 1 ≤ cos α (sin α ) ≤ 1. Следовательно, например, уравнение sin(3x) = −1,001 и неравенство cos(5x) > 2 решений не

имеют.

Рассмотрим решение простейших тригонометрических урав-

нений, которые являются базой при решении более сложных тригонометрических уравнений:

Пусть вещественное число b (0;1) , тогда

sinα : sinα = b,	α = (−1)n arcsin b + π n, n Z ;
sin α = − b,	α = (−1)n+ 1 arcsin b + π n, n Z ;
Особые случаи: sinα = −1,		α = − π + 2π k, k Z ;
		2
	sinα = 0,	α = π k, k Z ;
	sinα = 1,	α = π + 2π k, k Z .
		2
cos α : cos α = b,	α = ± arccos b + 2π n, n Z ;
cosα = − b, α = ± (π − arccos b) + 2π n, n Z ;
Особые случаи: cosα = −1,		α = π + 2π k, k Z ;
	cosα = 0,	α = π + π k, k Z ;
		2
	cosα = 1,	α = 2π k, k Z .

Пусть вещественное число g > 0 и g R , тогда

tgα :	tgα = g,	α = arctg(g) + π n, n Z ;
tgα :	tgα = − g,	α = − arctg(g) + π n, n Z ;
ctgα :	ctgα = g,	α = arcctg(g) + π n, n Z ;

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

ctgα : ctgα = − g, α = π − arcctg(g) + π n, n Z .

Методы решения тригонометрических уравнений основаны на использовании вышеприведенных формул (1)-(24) и ограниченности функций синуса и косинуса ( sin α ≤ 1, cosα ≤ 1).

Решение тригонометрического уравнения, отличающегося от простейшего, может быть записано в различных формах. Это связано с применением разных методов решения одного и того же уравнения. Для доказательства совпадения решений надо отложить их на единичной окружности. Бывают случаи, когда решение уравнения представляется в виде совокупности решений, которые можно объединить для упрощения формы записи окончательного ответа. Возможна также ситуация, когда одно из множеств решений уравнения является подмножеством другого множества решений, поэтому обычно его отбрасывают, так как оно полностью учитывается вторым множеством решений. Если множества решений пересекаются частично, тогда эту пересекающуюся часть обоих множеств надо исключить из одного или другого решения. Во всех приведенных случаях, лучше всего, решения первого множества откладывать на единичной окружности в виде не зачернённых кружков, а решения, образующие второе множество – в виде крестиков. Если совпадут кружок и крестик, то это значение аргумента (с учётом периода функции) является общим для обоих множеств решений и должно быть исключено из одного или другого множества.

Рассмотрим способы решения тригонометрических уравнений:

а) уравнения вида sinn x = an ( n ≥ 2, n N, a [−1; 1] ) решаются путём раз-

ложения разности sinn x − an на простые множители и приравнивания простых сомножителей нулю.

Пример 71. Решить тригонометрическое уравнение sin2 x = 34 .

Первый способ: Перенесём число в левую часть уравнения и воспользуемся

формулой разности квадратов	sin 2	x −	3	= 0;		3		3	= 0 . Полу-
формулой разности квадратов	sin 2	x −		= 0;	sin x +		sin x −		= 0 . Полу-
			4			2		2
			4			2		2

ченное уравнение равнозначно совокупности тригонометрических уравнений


sin x = − 3
	2 . Решим эти простейшие уравнения:
	3
sin x =	2
	2
	sin x = −	3	,	x = (−1)n+1 arcsin	3	+ π n, n Z,	xn = (−1 )n+1 π	+ π n, n Z ;
		2			2		3

cosα

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

sin x =	3	,	x = (−1 )k arcsin	3	+ π k, k Z ,	xk = (−1)k π	+ π k, k Z .
	2			2		3

Данные множества решений не пересекаются, но окончательный ответ можно записать в объединённой форме: x = ± π3 + π m, m Z .

Второй способ: Этот способ решения более предпочтителен, так как позволяет получить решение в общем виде. Воспользуемся формулой понижения

степени ( sin 2 α =			1 − cos 2α		):	1	(1− cos 2x) =		3	; 1− cos 2x =		3	;	cos 2x = 1−			3	; cos 2x = −	1	;
				2		2		4				2					2		2
		1						π							2π
2x = ±	π − arccos			+ 2π k, k Z; 2x = ± π −							+ 2π k, k Z;			2x = ±		+ 2π k, k Z;
2x = ±	π − arccos	2		+ 2π k, k Z; 2x = ± π −							+ 2π k, k Z;			2x = ±	3	+ 2π k, k Z;
		2						3							3

x = ± π3 + π k, k Z.

На данном примере видно, что тот или иной способ решения уравнения может приводить к разным, на первый взгляд, ответам. Однако при ближайшем рассмотрении ответы оказываются одина-

ковыми, если их отложить на единичной окружности или переписать в объединённой форме.

б) метод разложения на множители.

Пример 72. Решить тригонометрическое уравнение

4 cos 3 x − 4 cos 2 x − cos( π + x) − 1 = 0 .

Так как cos(π + x) = − cos x (см. табл. 10), то уравнение приобретает вид

4 cos 2 x(cos x − 1) + cos x − 1 = 0; (cos x − 1)(4 cos 2 x + 1) = 0 .

Выражение, которое стоит во вторых скобках, положительно для всех действительных значений неизвестной x , следовательно, в нуль может обратиться только выражение, стоящее в первых скобках. Итак, cos x = 1 (особый случай для функции ), т.е.: x = 2π l, l Z .

в) метод замены.

Пример 73. Решить тригонометрическое уравнение cos x + 2 cos 2x = 1 .

Одним из важных аспектов решения тригонометрического уравнения является преобразование его либо к произведению функций при равенстве произведения нулю, либо к одной функции с одним и тем же аргументом. В данном примере воспользуемся формулой cos 2x = 2 cos2 x − 1. Тогда имеем

cos x + 2(2 cos2 x − 1) = 1;

4 cos2 x + cos x − 3 = 0.

Введём новую неизвестную cos x = y

(

≤ 1 ).

4 y2 + y − 3 = 0, D = 1 + 48 = 49,

D = 7. y = − 1 − 7 = −1; y

= − 1 + 7

= 3 .

Оба корня удовлетворяют условию

≤ 1 , решим простейшие тригонометри-

ческие уравнения

y1 = −1: cos x = −1, x = π + 2π k, k Z ;

Z .

y2 =

: cos x

, x = ± arccos

+ 2π n, n

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Легко убедиться в том, что эти множества решений не пересекаются и не могут быть объединены в одну форму записи.

г) решение однородных уравнений:

an sin n α + an−1 sin n−1 α cosα + an−2 sinn−2 α cos2 α + an−3 sinn−3 α cosα + ... + + a2 sin 2 α cos n− 2 α + a1 sin α cos n−1 α + a0 cos n α = 0 .

Пример 74. Решить тригонометрическое уравнение 4 cos 2x − 4 = 2 sin 2x + cos2 x .
Заметим, что 4(cos 2x − 1) = − 4(1 − cos 2x) = −8sin2 x;											4
Заметим, что 4(cos 2x − 1) = − 4(1 − cos 2x) = −8sin2 x;									2 sin 2x = 4 sin x cos x , тогда име-
ем − 8 sin 2 x = 4 sin x cos x + cos 2 x					= 0		или 8 sin 2 x + 4 sin x cos x +			cos 2 x	= 0 . Пос-
ем − 8 sin 2 x = 4 sin x cos x + cos 2 x					= 0		или 8 sin 2 x + 4 sin x cos x +				= 0 . Пос-
			4						4
леднее равенство является однородным, запишем его в виде
		cos	2		8 tg	2	x + 4 tgx +	1
		cos		x	8 tg		x + 4 tgx +	4	= 0 .
								4
	π	+ π l, l			не является решением однородного уравне-
Так как cos x = 0 x =	2	+ π l, l	Z		не является решением однородного уравне-
	2

ния, потому что при этом и sin x должен равняться нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству, поэтому

8tg 2 x + 4 tgx +	1	= 0; tgx = y. 8y2 + 4 y +		1		= 0. D = 16 − 8 = 8 > 0, D = 2 2.
	4			4
y = − 4 − 2 2			= − 2 + 2 ; y	2	= − 4 + 2 2		= − 2 − 2 .
1		16	8			16	8

Оба корня отрицательны, поэтому

y	= − 2 +	2 : tgx = − 2 + 2 ,		2 +
			x = −arctg
1	8	8		8

y		= −	2 −	2	: tgx = −	2 − 2		2 −
y	2	= −			: tgx = −		, x = −arctg
	2		8			8		8
			8			8		8

2 + π k, k Z ;

2 + π n, n Z .

д) метод введения вспомогательного аргумента применяется для решения уравнений вида A sin x + B cos x = C . Деля каждый член урав-

нения на A2 + B2		и вводя обозначения
		A	= sin α ,		B	= cosα ,	C	= a
	A2 + B2			A2 + B2			A2 + B2

(при этом tg α =	A			A
		, т.е.	α = arctg		), приходим к уравнению
	B			B

sinα sin x + cosα cos x = a или cos( x − α ) = a .

Если ввести обозначения	A	= cosα и	B	= sinα , то придём к
	A2 + B2		A2 + B2
уравнению cosα sin x + sin α cos x = a		или sin(x + α ) = a .
Пример 75. Решить тригонометрическое уравнение				3 cos x + sin x = 1.
В данном примере A = 3, B = 1, C = 1. Поэтому			A2 + B2	= 3+1 = 2 , следователь-

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

но,	sinα =	1	и	cosα =		3	(по
						2
	2						π
переходит в уравнение
							cos 6
	π			1
x −	6 = ± arccos				+ 2π m, m Z
				2

табл. 9 α =				π	), a =		1			. Таким образом, уравнение
табл. 9 α =				6	), a =	2				. Таким образом, уравнение
			π	6		2
			π			1						π		1
cos x + sin				sinα =					; cos x −				=		, т.е. аргумент
cos x + sin				sinα =		2			; cos x −			6	=	2	, т.е. аргумент
			6			2						6		2
;	x = π		+ 2π k, k Z; x					2		= − π	+ 2π n, n Z . Эти реше-
	1	2						2		6
		2								6

ния могут быть объединены в единую форму записи (в этом легко убедиться, если отложить корни на единичной окружности): x = − π3 + (−1 )l π6 + π l, l Z .

е) преобразование суммы (разности) тригонометрических функций в произведение (использование формул (17)-(24))

Пример 76. Решить тригонометрическое уравнение

sin x + sin(2x) + sin(3x) + sin(4x) = 0 .

Сумма синусов наводит на мысль использовать формулу (17), однако возникает вопрос: Как собрать эти синусы в группы? В этом случае рекомендуется группировать синусы с нечётными аргументами ( x и 3x ) в одну группу, а с чётными ( 2x и 4x ) – в другую, так как

sin x + sin (3x)		x + 3x		x − 3x			= 2 sin (2 x)cos x ,
	= 2 sin		cos
		2			2

	2 x + 4 x				2 x − 4 x
sin (2 x) + sin (4 x)	= 2 sin			cos				= 2 sin (3x)cos x .
		2				2

Таким образом, уравнение приобретает вид
2 sin(2x)cos x + 2 sin(3x)cos x = 0;				2 cos x (sin(2x) + sin(3x)) = 0 .

Внутри скобки вновь стоит сумма синусов, поэтому

	2x + 3x		2x − 3x
2 cos x 2 sin		cos		= 0 ;	4 cos x sin
	2		2

5x x			= 0 .
	cos
2		2

Это распадающееся уравнение, равносильное совокупности уравнений


				(особый случай)
cos x = 0
	5x		= 0 (особый случай)
sin

	2
	x
cos		= 0		(особый случай)

	2

+ π k, k Z

x =

2π l

= π l, l Z

или

x =

, l Z

x = π + 2π m, m Z

2 =

+ π m, m Z

Если отложить эти решения на единичной окружности, то можно увидеть, что эти множества не пересекаются.

ж) преобразование произведения тригонометрических функций в их сумму (разность) (формулы (12)-(14)).

Пример 77. Решить тригонометрическое уравнение sin(2x)sin(6x) = cos x cos(3x). Используя формулы (13) и (14), преобразуем произведения тригонометричес-

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

	2 x + 8x		2 x − 8x	= 0 ; 2 cos(5x)cos(3x) = 0 ;	cos (5 x ) = 0		.
2 cos		cos				0
	2		2
					cos (3 x ) =

Решением полученной совокупности простейших тригонометрических урав-

+ π k, k Z

π k

, k Z

нений является совокупность:

. Приведенные

+ π l, l Z

π l

, l Z

множества решений пересекаются, так как числа k

и l

связаны равенством:

+ π k

= π

+ π l ;

;

−

;

5 l + 1

; k =

5l + 1

Если положить l = 3m + 4, m Z ,

получим k = 5 m + 7, m Z . Подставим значения

k и l в полученные решения, тогда находим x

3π

+ π m

и x

3π

+ π m , т.е.

эта часть решений является общей, поэтому должна быть исключена из любого множества решений, например, из второго множества решений

π l

−

3π

− π m = −

4π

π 3 k − 1

− π m = −

4π

π ( 3 k − 15 m − 1)

, k, m Z .

з) применение формул понижения степени (формулы (15) и (16)).

Пример 78. Решить тригонометрическое уравнение cos2 (2x) + sin 2 (3x) = 1.

Воспользуемся формулами (15) и (16) cos2 (2x) =

1 + cos(4x)

; sin 2 3x =

1 − cos(6x)

Подставив полученные выражения в исходное уравнение, получим

1 + cos (4 x) + 1 − cos

(6 x)

= 1; 2 + cos (4 x) − cos (6 x) = 2; cos (4 x) − cos (6 x) = 0;

4x − 6x

4x + 6x

(5x) = 0; 2sin x sin(5x) = 0;

− 2sin

sin

= 0; − 2 sin(− x) sin

sin x = 0

x = π k, k Z

= π k

= π l , k, l Z .

sin

(5x) = 0

5x = π l, l Z

Первое множество решений является подмножеством второго множества решений, так как при l = 5 k из второго множества решений получаем все корни первого множества. На данном примере проиллюстрируем графический способ отбора корней, для чего отложим первые решения на единичной окружности в виде ☻, а вторые в виде ☺.

y		Из рисунка видно, что первое множество реше-
1		ний полностью содержится во втором мно-
☺ ☺ ☺		жестве корней, поэтому оно может быть отбро-
☺	☺	шено.
☻☺	☺☻	x
-1☺	☺1
☺ ☺☺
-1

и) уравнение вида P(sin x ± cos x, sin x cos x ) = 0 , где P – полином, решаются с помощью замены sin x ± cos x = y; ± 2sin x cos x = y 2 − 1 .

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

Пример 79. Решить тригонометрическое уравнение sec x + cos ecx = 2																											2 .
Используя определения функций secx =													1	и cos ecx =						1		перепишем уравне-
Используя определения функций secx =												cosx		и cos ecx =					sin x			перепишем уравне-
												cosx							sin x
				1		1									cosx ≠			0					≠	π	+	π k, k Z
ние в виде				1	+	1	= 2		2 . Запишем ОДЗ:						cosx ≠			0			x		≠	2	+	π k, k Z		. При-
ние в виде					+		= 2		2 . Запишем ОДЗ:															2				. При-
				cos x		sin x									sinx ≠			0			x ≠			π l, l Z
ведя к общему знаменателю, получим sinx + cosx = 2
ведя к общему знаменателю, получим sinx + cosx = 2																	2sinxcosx . Введём замену:
		y = sin x + cos x, 2 sin x cos x = y2 − 1. y =												2 ( y2 − 1);						2	y2 − y −					2 = 0 .
	D = 1 + 8 =				9 > 0; D = 3. y = 1 − 3 = − 1									= −		2 , y		2		= 1 + 3				= 2 = 2.
									1	2	2		2			2		2		2			2			2
										2	2		2			2				2			2			2
Решим каждое из тригонометрических уравнений:
y1 = −	2		: sin x + cos x = −					2			π			= −		2					π					π			2	;
y1 = −	2		: sin x + cos x = −					2	; sin x + sin				+ x	= −		2	; 2sin				4		+ x cos				= −		2	;
	2							2			2					2					4					4			2

2sin

y2 = 2 :

	2	= −	2	π			= −	1	;	π		1	+ π m,	m Z;
+ x	2		2	; sin	4	+ x		2		4	+ x = (−1 )m+1 arcsin	2

				x = − π		+	(−1 )m+1 π + π m, m Z.
				1	4				6
					4				6
sin x + cos x =					π			2	=	π		= 1;
sin x + cos x =				2; 2sin		4	+ x	2	=	2; sin	+ x	= 1;
						4		2		4
π	+ x =	π	+ 2π k, k Z; x2 =						π	+ 2π k, k Z.
4		2							4

Полученные множества решений не пересекаются и удовлетворяют ОДЗ.

к) уравнения, которые основаны на использовании ограниченности

функций sin x и cos x ( sin x ≤ 1, cos x ≤ 1 ).

Пример 80. Решить тригонометрическое уравнение

В силу того,

5x +

sin cos x

sin x cos

+ cos x = − 2

− sin

cos x .

что

, то уравнение принимает вид

sin x cos

+ sin

cos x = sin

= −2 . В силу ограниченности функций, входящих в это уравне-

ние, оно может выполняться только тогда, когда одновременно выполняются

уравнения

и cos x = −1 , следовательно, данное уравнение эквива-

sin

= −1

лентно системе уравнений

+ 2π k, k Z

2π

8π k

, k Z

sin

= −1

= −

cos x = −1

x = π + 2π l, l Z

= π + 2π l, l Z

Найдём пересечение полученных множеств решений, которое и будет решением исходного уравнения. Общую часть решений найдём, если приравняем

Терехов С.В. Индивидуальные домашние задания по высшей математике

полученные решения −	2π	+	8 π k	= π + 2 π l;	8 k − 2	= 2 l + 1; 10 l = 8 k − 7 . Так как
	5		5		5

слева стоит чётное число, а справа – нечётное, то множества решений первого и второго уравнений не пересекаются. Следовательно, полученная система решений не имеет: x R .

В заключение обзора школьного курса математики приведём некоторые сведения из геометрии.

		Углы
•	•	Отрезок – часть прямой, ограниченная точками.
•		Луч – часть прямой, ограниченная одной точкой.
		Угол – часть плоскости, ограниченная двумя лу-
		чами, выходящими из одной точки.

Углы измеряются в градусах (о), минутах ( ) и секундах ( ). Градус – 1/360 часть полного оборота (360о) по окружности; Минута – 1/60 часть градуса; Секунда – 1/3600 часть градуса или 1/60 часть минуты.

Углы также измеряются в радианах: 1 радиан = 180π о , где трансцендентное число π = 3,1415926535... Обратный переход от радиан к градусам осуществляется по формуле: 1 o = 180π , т.е. π радиан отвечает угол в 180o . Если произвольный угол ϕ рад задан в радианах, то в градусной

мере он будет равен ϕ		o	=	ϕ рад 180o		(обратно: ϕ рад =	ϕ о π	). Среди углов
мере он будет равен ϕ			=		π	(обратно: ϕ рад =	180 о	). Среди углов
выделяют:					π		180 о
выделяют:
– острый;	– прямой;					– тупой;	развёрнутый;
								\|

– смежные;	– вертикальные;
	(лежат напротив)

Сумма смежных углов равна развёрнутому углу 180o (π радиан). Биссектриса угла – луч, который делит угол пополам (на рисунках она показана пунктирной линией):

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 436 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.08.2019336.38 Кб1glava12.doc
#
03.03.20162.83 Mб4GoPRO Диплом(FR).pdf
#
18.11.201899.33 Кб4Grazhdanskoe_pravo_kursovaya.doc
#
03.03.201690.05 Кб7GRU_otvety.docx
#
03.03.2016146.94 Кб2history.doc
#
03.03.20168.13 Mб68IDZ_VysshMatematTerehov.pdf
#
03.03.20164.28 Mб9Ind_zad_SEMESTR_2.doc
#
03.03.2016195.87 Кб25Ind_Zavdannya_z_Strategiyi_P.pdf
#
12.11.20191.27 Mб2Inescapable by Amy A. Bartol (The Premonition #...doc
#
03.03.2016121.34 Кб33infrastr.doc
#
17.11.2019201.73 Кб1ism.doc