Вопросы для самопроверки к контрольной №2
1. В чём заключается суть метода координат ?
2. Запишите формулы, выражающие расстояние между двумя точками и деление отрезка в данном отношении.
3. Запишите уравнения прямой линии с угловым коэффициентом и проходящей через две точки на плоскости.
4. Как найти угол между прямыми на плоскости? Запишите условия параллельности и перпендикулярности.
5. Напишите канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.
6. Какими параметрами задаются полярные координаты?
7. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки и общее уравнение плоскости.
8. Напишите уравнение прямой линии в пространстве, проходящей через две точки.
9. Что такое нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой ?
Контрольная работа №2 Аналитическая геометрия
1-20. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:
1) длину стороны AВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) угол В в радианах с точностью до двух знаков;
4) уравнение высоты CD и её длину;
5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с
высотой CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ,
7) сделать чертёж.
1. А(-4;12), В(8;13), С(6;17) 11. А(0;2), В(12;-7), С(16;15)
2. А(-3;10), В(9;1), С(7;15) 12. А(-9;0), В(3;-3), С(7;19)
3. А(4;1), В(16;-8), С(14;6) 13. А(1;0), В(13;-9), С(17;13)
4. А(-7;4), В(5;-5), С(3;9) 14. А(-4;10), В(8;1), С(12;23)
5. А(0;3), В(12;-6), С(10;8) 15. А(2;5), В(14;-4), С(18;18)
6. А(-5;9), В(7;0), С(5;14) 16. А(-1;4), В(11;-5), С(15;17)
7. А(-8;-3), В(4;-12), С(8;10) 17. А(-2;-7), В(10;-2),С(8;12)
8. А(-5;12), В(7;-2), С( 11;20) 18. А(-6;8), В(6;-1), С(4;13)
9. А(-12;-1), В(0;-10), С(4;12) 19. А(3;6), В(15;-3), С(13;11)
10. А(-10;9), В(2;0), С(6;22) 20. А(-10;5), В(2;-4), С(0;10)
21. Даны точки А(-4;0) и В(0;6). Через середину отрезка АВ провести прямую, отсекающую на оси ОХ отрезок, вдвое больший, чем на оси ОY. Сделать чертёж.
22. Из начала координат проведены две взаимно перпендикулярные прямые, образующие с прямой 2х+у=а равнобедренный треугольник. Найти площадь этого треугольника. Сделать чертёж.
23. Написать уравнение окружности, имеющей центр в фокусе параболы у = 2рх и касающейся её директрисы. Найти точки пересечения параболы и окружности. Сделать чертёж.
24. В треугольнике АВС даны:
1) уравнение стороны АВ: Зх+2у=12, 2) уравнение высоты ВМ: x+2у=4,
3) уравнение высоты AM: 4х+у=6, где М – точка пересечения высот. Написать уравнение сторон АС; ВС и высоты СМ. Сделать чертёж.
25. Две стороны параллелограмма заданы уравнениями у = x - 2 и 5y = x+6. Диагонали его пересекаются в начале координат. Написать уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей. Сделать чертёж.
26. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину А(0;2), и уравнения высот ВМ: x+y=4 и СМ: у=2х, где М – точка пересечения высот.
27. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 5x-y+10=0 и 8x+4y+9:=0 и параллельной прямой x+3y=0. Сделать чертеж.
28. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М пересечения прямых 2x-3y+5=0 и 3x+y-7=0 и перпендикулярной к прямой y=2x. Сделать чертёж.
29. Написать уравнения биссектрис углов между прямыми Зх+4у-1 = 0 и 4x-3y+5=0. Сделать чертёж.
30. Из вершины параболы y2=2px проведены все возможные хорды. Написать уравнения множества середин этих хорд. Сделать чертеж.
31. Написать уравнение параболы и уравнение директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси ОХ и что точка пересечения прямых у=x и x + y=2 лежит на параболе. Сделать чертёж.
32. Даны точки А(-3;0) и В(3;3). На отрезке ОА построен параллелограмм OACD, диагонали которого пересекаются в точке В. Написать уравнения сторон и диагоналей параллелограмма. Сделать чертёж.
33. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон х+2у=4 и x+2у=10 и уравнение одной из его диагоналей: у=x+2. Сделать чертёж.
34. Даны вершины А(-3;-2), В(4;-1), С(1;3) трапеции ABCD (AD || ВС). Известно, что диагонали трапеции взаимно перпендикулярны. Найти координаты вершины D этой трапеции. Сделать чертёж.
35. Уравнение одной из сторон квадрата х+3у-10=0. Составить уравнения трех остальных сторон квадрата, если точка (1;-2) – точка пересечения его диагоналей. Сделать чертёж.
36. Написать уравнение параболы и её директрисы, если известно, что парабола проходит через точки пересечения прямой x+y=0 и окружности x2+y2 +4у=0 и симметрична относительно оси ОY. Сделать чертёж.
37. Три вершины параллелограмма – точки А(3;-5), В(5;-3), С(-1:3). Определить четвертую вершину D, противоположную В. Найти площадь параллелограмма. Сделать чертёж.
38. Составить уравнения катетов прямоугольного равнобедренного треугольника, зная уравнение гипотенузы 3x -у +7=0 и координаты вершины С(3;-2) прямого угла. Сделать чертёж.
39. Площадь параллелограмма равна 12 кв. ед., две его вершины – точки А(-1;3) и В(-2;4). Найти две другие вершины этого параллелограмма, если известно, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс. Сделать чертёж.
40. Точки А(-2;1), В(2;3) и С(4;-1) – середины сторон треугольника. Найти координаты его вершин. Сделать чертёж.
41-50. В задачах 41-50 даны координаты точек А и В и радиус окружности К, центр которой находится в начале координат. Требуется:
1. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через данные точки А и В;
2. Найти полуоси, фокусы и эксцентриситет этого эллипса;
3. Найти все точки пересечения эллипса с данной окружностью;
4. Построить эллипс и окружность.
41.
А(2
;-4),
В(6;2
),R=2
42.
А(-6;2
),
В(3
;6),R=8
43.
A(
;-2),
B(-3;
),
R=3
44.
A(-8;4), B(4
;-2),
R=4
45.
A(4;-2), B(2;
),
R=2
46.
А(-2
;-4),
В(-6;2
),R=2
47.
А(-3
;6), В(6;-2
),R=8
48.
А(3;-
),
В(-
;2),R=3
49.
А(4
;2),B(8;-4),
R=4
50.
А(-2;-
),B(4;2),
R=2
51-60. В задачах 51-60 даны координаты точек А и В . Требуется:
Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через данные точки А и В, если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс;
Найти полуоси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот этой гиперболы;
Найти все точки пересечения гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы;
Построить гиперболу, её асимптоты и окружность.
51.
А(-3;4), В(-5;4
)
56. А(5;-4
), В(3;4).
52.
А(4;-6), В(6;4
) 57.
А(-6;4
),
В(4;6).
53. А(-4;-3), В(8;9) 58. А(-8;-9), В(4;3).
54.
А(8;12), В(-6;2
) 59.
А(6;-2
),
В(-8;12).
55.
А(8;6), В(10;-3
) 60.
А(-10;-3
),
В(-8;6).
61-80. В задачах 61-80 построить график функции в полярной системе координат по точкам, придавая значения через промежуток /8 (0 2). Найти уравнение линии в прямоугольной декартовой системе координат (положительная полуось абсцисс совпадает с полярной осью, а полюс – с началом координат).
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81-100. Даны точки А, В, С, D. Требуется найти:
1. Уравнение плоскости (Q), проходящей через точки А, В, С и проверить, лежит ли точка D в плоскости (Q);
2. Уравнение прямой (I), проходящей через точки В и D;
3. Угол между плоскостью (Q) и прямой (I);
4. Уравнение плоскости (Р), проходящей через точку А перпендикулярно прямой (I);
5. Угол между плоскостями (Р) и (Q);
6. Уравнение прямой (т), проходящей через точку А в направлении ее радиус-вектора;
7. Угол между прямыми (I) и (т).
81. А(1;-3;1), В(-3;2;-3), С(-3;-3;3), D(-2;0;-4)
82. А(1;-1;6), В(4;5;-2), С(-1;3;0), D(6;-1;5)
8З. А(1;1;1), В(3;4;0), С(-1;5;6), D(4;0;5)
84. А(-1;-1;-1), В(5;2;0), С(2;5;0), D(1;2;4)
85. А(7;1-,2), В(-5;3;-2), С(3;3;5), D(4;5;-1)
86. А(-2;3;-2), В(2;-3;2), С(2;2;0), D(1;5;5)
87. А(3;1;1), В(1;4;1), С(1;1;7), D(3;4;-1)
88. А(4;-3;-2), В(2;2;3), С(2;-2;-3), D(-1;-2;3)
89. А(5;1;0), В(7;0;1), С(2;1;4), D(5;5;3)
90. А(4;2;-1), В(3;0;4), С(0;0;4), D(5;-1;-3)
91. А(3;1;-4), В(4;3;-2), С(3;4;0), D(-1;-1;3)
92. А(5;1;-1), В(3;4;5), С(2;-3;11), D(4;-4;1)
93. А(-2;1;4), В(-3;5;-4), С(0;-4;-10), D(-1;0;3)
94. А(5;-3;5), В(3;3;-4), С(1;9;-1), D(2;-1;2)
95. А(4;0;-5), В(0;2;-1), С(-3;4;-1), D(-1;0;2)
96. А(1;4;0), В(4;-2;6), С(3;2;1), D(3;2;2)
97. А(8;2;2), В(-8;6;0), С(2;0;5), D(-3;6;-2)
98. А(7;5;0), В(-1;-7;4), С(-5;2;-4), D(7;-1;0)
99. А(9;-8;1), В(-9;4;5), С(9;-5;5), D(6;4;0)
100. А(7;5;0), В(6;5;8), С(5;-1;9), D(7;3;-2)