Библиографический список

1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1971, 1976.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т1. – М.: Наука, 1970, 1976.

3. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. – М.: Наука, 1966, 1973.

4. Сборник задач по курсу высшей математике. /Под руководством Г.И. Кручковича. – М.: Высшая школа, 1973.

Глава II Указания к выполнению контрольных работ

§1. Аналитическая геометрия на плоскости

1. Две взаимно перпендикулярные оси ОХ и OY, имеющие общее начало О и одинаковую единицу масштаба (рис. 1), образуют прямоугольную (или декартову) систему координат на плоскости. Пусть М – произвольная точка плоскости. Опустим из неё перпендикуляры МА и MВ на оси ОХ и OY соответственно.

Прямоугольными координатами x и у точки М называются вели­чины ОА и OВ:

x = ОА;y = OВ.

Таким образом, каждой точке М плоскости соответствует пара чисел (x, у) – её прямоугольные координаты.

2. Расстояние d между двумя точками М₁(x₁; у₁) и М₂(х_2;у₂) на плоскости:

.

3. Площадь S треугольника АВС с вершинами А{х_1; у₁); B(x₂;y₂) и С(x₃;y₃):

S ⁼.

4. Деление отрезка в данном соотношении. Если т. М{x; у) делит отрезок с концами М₁(х_1; у₁) и М₂(х₂, у₂) в отношении

, то x = ; y = .

В частности, при делении пополам, то есть в отношении , то

; .

5. Линии первого порядка.

5.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

y=kx+b, (1)

где k равен тангенсу угла  наклона прямой к оси OX(k = tg ) и называется угловым коэффициентом, b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси 0У.

Пример 1. Составить уравнение прямой, отсекающей на оси OY отрезок b = 3 и образующей с осью ОХ угол =/6.

Решение. Находим

k =tg =tg/6 = .

Подставляя k и b в уравнение (1), получаем

у = .

5.2. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁₍х_1;у₁) и M₂(x₂;y₂)

. (2)

5.3. Общее уравнение прямой

Ах+By+С = 0, (3)

где А, В, С – произвольные коэффициенты (А и В не равны нулю одновременно).

6. Угол между двумя прямыми.

Если известны угловые коэффициенты k₁ и k₂ двух прямых, то один из углов  между этими прямыми определяется по формуле:

tg =. (4)

Второй угол равен ( - ).

Условие параллельности двух прямых k₁ = k₂ .

Условие перпендикулярности двух прямых: k₁ = .

7. Линии второго порядка.

7.1. Эллипс.

Эллипсом называется мно­жество всех точек на плос­кости, для которых сумма расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, больше расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

.

Числа а и b называются полуосями эллипса. Отношение = < 1 называется эксцентриситетом эллипса , еслиа>b и , если b>a. Фокальные радиусы r₁ и r₂ определяются формулами:

r₁= a +x, r₂= a -x.

7.2. Гипербола.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, меньше расстояния между фокусами.

ПустьМ – произвольная точка гиперболы. Через r₁ и r₂ обозначают расстояния от точки М до фокусов F₁ и F₂.

Каноническое уравнение гиперболы:

,

где числоа называется действительной, а число b – мнимой полуосями гиперболы.

Отношение = > 1 называется эксцентриситетом гиперболы.

Фокальные радиусы определяются формулами:

r₁= |x + а| , r₂ = |x - a|.

Прямые у = ±называютсяасимптотами гиперболы.

7.3. Парабола.

Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Пусть М – произвольная точка параболы, F – фокус, d – расстояние от точки М до директрисы, р – расстояние от фокуса до директрисы.

Величину р называют параметром параболы.

Каноническое уравнение параболы:

у²= 2рх.

Парабола имеет фокус F(;0) и директрису x = -; симметрична относительно оси ОХ. Парабола x²= 2ру симметрична относительно оси OY.

8. Полярные координаты.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом исходящего из нее луча ОЕ, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин отрезков.

Пусть задана полярная система координат и пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим через r расстояние точки М от точки О, через  – угол, на который нужно по­вернуть против часовой стрелки по­лярную ось для совмещения с лучом ОМ (рис. 6).

Полярными координатами точки М называются числа r и  .

Переход от полярных координат точки М к прямоугольным осуществляется по формулам: (в том случае, когда начало прямоугольной системы координат находится в полюсе, а положительная полуось абcцисс совпадает с полярной осью)

, (5)

а выражение полярных координат через прямоугольные следует из формул:

. (6)

Пример 2. Даны прямоугольные координаты точки (2; 2). Найти её полярные координаты.

Решение. По формулам (6) имеем r = 4 + 4 = 2-2, tg  = 1, откуда  = /4 или  = 5/4 . Но так как x = 2 > 0 и y=2 > 0,то берём  = /4.