- •Казахстан
- •1.2. Формула трапеции
- •1.3. Формула Симпсона
- •1.4. Задача 1
- •1.5. Постановка задачи (круговой контур)
- •1.6. Решение задачи 2
- •1.6. Алгоритм вычисления определенного интеграла
- •Структурная схема расчета.
- •1.7. Фильтрация жидкости и газа
- •1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
- •2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
- •Из последней системы определяются
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
- •4.2. Математическая модель
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки
- •4.5. Переменные. Блок-схема
- •Блок-схема
- •5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •5.4. Расчетная схема
- •5.5. Переменные и блок – схема
- •Блок-схема
- •5.6. Задания для лабораторной работы.
- •6. Обратная задача для уравнения теплопроводности
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Обратная задача
- •6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды
- •6.4. Алгоритм метода
- •6.5. Численная реализация
- •6.6. Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
5.1. Постановка задачи
Подогретый до температурыθ1 (град.) нефть перевозится по подземному трубопроводу.
Глубина прокладки нефтепровода Н(м).
Считая, что теплоотдача происходит только по вертикальному направлению определить распределение температуры от трубы до поверхности земли. |
х
Н
О
|
Рис. 12
5.2. Математическая модель.
Ось ОХ направим вертикально вверх (рис. 1). На оси ОХ выделим элемент с координатами х и х + Δх. Тогда приращение энергии в направлений оси х за время Δt будет
(7.1)
С другой стороны, согласно закону сохранения энергий,
(7.2)
Левые части (7.1) и (7.2) равны, поэтому
где ρ– плотность грунта [кг/м3];
с – массовая теплоемкость грунта [кдж/кг.град];
λ – коэффициент теплопроводности грунта [вт/м·град.].
При х = 0 задается температура . На поверхности земли происходит конвективный теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой (воздух).
В основу изучения конвективного теплообмена положен закон Ньютона-Рихмана
где q – плотность теплового потока, вт/м2;
θ0 – температура воздуха, 0С;
θгр – температура поверхности грунта,0С;
α – коэффициент теплоотдачи, вт/(м2·град);
Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, отдаваемый единицей поверхности тела окружающей среде за единицу времени вследствие теплоотдачи, должно быть равно теплоте, которая путем теплопроводности подводится к единице поверхности в единицу времени со стороны внутренних частей тела, т.е.
(7.3)
Равенство (7.3) является математической формулировкой граничного условия третьего рода; оно является действительной для каждого момента времени t.
называется граничным условием первого рода.
Получена задача: найти решение нестационарного параболического уравнения со смешанными граничными условиями, т.е.
(7.4)
θ(t,0) = θ1 = const (7.5)
(7.6)
(7.7)
Теорема 1. При определенных условиях на ρ(θ), с(θ) и λ(θ) задача (7.4) - (7.7) имеет единственное решение.
Выводы:
5.3. Приближенный метод решения задачи (7.4) – (7.6)
Решение задачи (7.4) – (7.6) зависит от двух переменных , где t – время, час; х – координата точки грунта, м. Поэтому задача (7.4) – (7.6) решается в области
Q= (0, Тmax)·(0,H),
Сетка. Отрезок [0, H] разбиваем на N равных частей с шагом h = H/N, а отрезок [0, Tmax] на М равных частей с шагом ∆t = Tmax /M. Тогда получается сетка (рис. 2).
В рис.2 «крестиками» - х обозначены граничные узлы, а «ноликами» - 0 обозначены внутренние узлы. |
Н х х х х х
х о о о о
х о о о о
х х х х х t Тmax Рис. 2 |
Аппроксимация выражений
т.е. функций ρ(θ) и с(θ) определяются на нижних слоях. В начальный момент времени, т.е. при
.
Вместо задачи (7.4) – (7.7) решается приближенная задача
(7.8)
(7.9)
(7.10)
В системе (7.8) i = 1, 2, …, N-1 при каждом j=0,1,…,M-1.