- •Казахстан
- •1.2. Формула трапеции
- •1.3. Формула Симпсона
- •1.4. Задача 1
- •1.5. Постановка задачи (круговой контур)
- •1.6. Решение задачи 2
- •1.6. Алгоритм вычисления определенного интеграла
- •Структурная схема расчета.
- •1.7. Фильтрация жидкости и газа
- •1.8. Несобственный интеграл с бесконечными пределами
- •2. Интерполирование функций. Сплайны первого и второго порядка.
- •2.1.Сплайн 1-го порядка (кусочно-линейная интерполяция)
- •2.2.Сплайн 2-го порядка s(X)
- •Из последней системы определяются
- •3.2. Математическая модель задачи.
- •3.3.Численные методы решения задачи (3.1) – (3.2)
- •4.2. Математическая модель
- •4.3. Приближенный метод решения задачи (4.1) – (4.2)
- •4.4. Трехточечная разностная схема. Метод прогонки
- •4.5. Переменные. Блок-схема
- •Блок-схема
- •5. Смешанная краевая задача для уравнения параболического типа. Нестационарный теплообмен при перевозке нефти трубопроводом.
- •5.1. Постановка задачи
- •5.2. Математическая модель.
- •Систему линейных алгебраических уравнений перепишем в виде
- •5.4. Расчетная схема
- •5.5. Переменные и блок – схема
- •Блок-схема
- •5.6. Задания для лабораторной работы.
- •6. Обратная задача для уравнения теплопроводности
- •6.1. Постановка задачи
- •6.2. Обратная задача
- •6.3. Восстановление кусочно-постоянной среды
- •6.4. Алгоритм метода
- •6.5. Численная реализация
- •6.6. Связь между уравнениями
- •Литература
- •Дополнительная литература
1.3. Формула Симпсона
При аппроксимации интеграла заменяем функциюf(x) параболой, проходящей через точки (xI, f(xI)), I = i-1, i-0,5, i, т.е. представим приближенно f(x) в виде
Тогда
(27)
Вычислим
Из (27) получим, что
Таким образом, приходим к приближенному равенству
которое называется формулой Симпсона.
Погрешность этой формулы ψi оценивается так [1]:
На всем отрезке [a, в] формула Симпсона имеет вид
Погрешность этой формулы оценивается неравенством:
Из этой оценки видно, что с уменьшением шага h в два раза погрешность формулы Симпсона уменьшается примерно в 16 раз; поэтому значение интеграла, вычисленное с шагом содержащий на один верный знак больше, чем значение интеграла, вычисленное с шагомh. Это правило на практике очень удобно при оценке точности интеграла.
1.4. Задача 1
Между двумя параллельными сбросами инаходится нефтяная залежь В (рис.42) за пределами которой расположены бесконечно простирающая водоносная область. Стрелками показан приток воды из законтурной области. Ширина залежи в = 1000м, толщина пластаh =15м, проницаемость водоносной области k = 0,2·10-12м2, вязкость законтурной водыУпругоемкости β как нефтяной, так и водоносной частей одинаковы, причем β = 2,5·10-10 Па-1, вязкость нефти μн = 2мПа·С.
Рис. 3
Отбор жидкости из залежи изменяется во времени следующим образом
где – время ввода месторождения в разработку. Требуется определить изменение давления на контуре нефтеносности, т.е. по сравнению с начальным давлением после начала разработки залежи.
Решение. В начале определим пьезопроводность пласта по формуле
Для расчета изменения во времени давления на контуре нефтяной залежи используя аппроксимацию Карслоу и Егеря [2] имеем:
Данный интеграл вычисления одним из методов: метод прямоугольников, трапеции или Симпсона.
1.5. Постановка задачи (круговой контур)
Задача 2. Внешний и внутренний контуры нефтеносности одно-пластового нефтяного месторождения имеют форму, близкую к окружностям (рис.4). Площадь месторождения можно представить в виде круга радиусом R=2000м. Нефтяная залежь окружена обширной водоносной областью, из которой в нефтеносную часть пласта поступает вода при снижении пластового давление р0=20 М Па. По данным гидродинамических |
1
2
Рис.4 Контур нефтеносности: 1-внешний, 2-внутренний. |
и лабораторных исследований установлено, что средняя проницаемость как нефтеносной, так и водоносной частей пласта одинакова и составляет
0,5·10-12 м2. Толщина пласта в среднем h=10 м,
средняя пористость пласта m=0,3,
начальная нефтенасыщенность Sн=0,45,
насыщенность пласта связанной водой Sсв=0,05.
Вязкость нефти и воды в пластовых условиях равны соответственно: .
Коэффициент пьезопроводности .
Добыча жидкость из месторождения изменяется во времени следующим образом: .
где
время ввода месторождения в разработку .
Требуется определить в условиях разработки при упругом режиме в законтурной области пласта изменение пластового давления.